Transformada de Fourier

Transformada de Fourier
En matemtica, la transformada de Fourier, denominada as por Joseph Fourier, es una aplicacin que hace corresponder a una funcin f, con valores complejos y definida en la recta, con otra funcin g definida de la manera siguiente:

Donde f es

, es decir, f tiene que ser una funcin integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor,

que acompaa la integral en definicin facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la ms comnmente adoptada, no es universal. En la prctica las variables x y suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -herzios-,...) y entonces es correcto utilizar la frmula alternativa:

de forma que la constante beta cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional. La transformada de Fourier as definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. Adems, tiene una multitud de aplicaciones en muchas reas de la ciencia e ingeniera: la fsica, la teora de los nmeros, la combinatoria, el procesamiento de seales (electrnica), la teora de la probabilidad, la estadstica, la ptica, la propagacin de ondas y otras reas. En procesamiento de seales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposicin de una seal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la seal f. La rama de la matemtica que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada anlisis armnico. Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aqu algunas de ellas: .

Transformada de Fourier

Definicin
La transformada de Fourier es bsicamente el espectro de frecuencias de una funcin. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el odo humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposicin en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El odo humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existi la seal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un slo espectro de frecuencias para toda la funcin.

Definicin formal
Sea f una funcin Lebesgue integrable:

La transformada de Fourier de f es la funcin

La transformada de Fourier relaciona una funcin en el dominio del tiempo, mostrada en rojo, con una funcin en el dominio de la frecuencia, mostrado en azul. Las frecuencias componentes, extendidas para todo el espectro de frecuencia, son representadas como picos en el dominio de la frecuencia.

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una funcin integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una funcin acotada. Adems por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua. La transformada de Fourier inversa de una funcin integrable f est definida por:

Ntese que la nica diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversin de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolacin de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a travs de la aplicacin de la Varianza para cada funcin.

Propiedades bsicas
La transformada de Fourier es una aplicacin lineal:

Valen las siguientes propiedades para una funcin absolutamente integrable f: Cambio de escala:

Traslacin:

Traslacin en la variable transformada:

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

Transformada de Fourier Derivada de la transformada: Si f y t f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integracin por partes. En lo que sigue, definimos la convolucin de dos funciones f, g en la recta se define de la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolucin tambin es integrable, y vale la igualdad:

Tambin puede enunciarse un teorema anlogo para la convolucin en la variable transformada,

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definicin de la transformada de Fourier.

Tabla de transformadas bsicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de ingeniera el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de otro factor, slo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.
Funcin Transformada

, siendo frecuente en

en la transformada inversa. A

continuacin se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar

(Funcin unitaria de Heaviside)

Transformada de Fourier

Teorema de inversin
La idea del teorema de inversin es que dada una funcin f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la funcin original, en smbolos:

Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es vlido, porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos definido en el primer prrafo de este artculo no es invariante, o sea que la transformada de Fourier de una funcin integrable no es necesariamente integrable. Para formular el teorema de inversin necesitamos encontrar espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la ms natural del punto de vista tcnico siendo el espacio de Schwartz de funciones rpidamente decrecientes. Sin embargo aqu tomamos un camino ms directo para formular un enunciado: Teorema. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta tales que f y la transformada de Fourier de f sean integrables, es invariante tanto por la transformada de Fourier que por la transformada de Fourier inversa. Adems para una funcin f en este espacio, vale el teorema de inversin (1). Otra posibilidad para formular un teorema de inversin se fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene muchas extensiones naturales.

La transformada de Fourier en el espacio de Schwartz

El espacio de Schwartz consiste de las funciones tomando valores complejos, definidas en R e infinitamente diferenciables tales que para todo m, n enteros no negativos

donde (n) es la n-sima derivada de . Denotamos al espacio de Schwartz por el smbolo Teorema

Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

Adems vale la frmula de inversin:

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma

donde Pk son polinomios. Debido a las propiedades

la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teora que para su resolucin prctica.

Transformada de Fourier

Propiedades de homomorfismo
Debido a que las "funciones base" eikx son homomorfismos de la lnea real (ms concretamente, del "grupo del crculo") tenemos ciertas identidades tiles: 1. Si entonces 2. La transformada de Fourier es un morfismo:

Es decir, la transformada de Fourier de una convolucin es el producto de las transformadas de Fourier.

Uso en Ingeniera
La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio de la frecuencia una seal para as obtener informacin que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es ms fcil saber sobre qu ancho de banda se concentra la energa de una seal analizndola en el dominio de la frecuencia. Tambin sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseo de controladores clsicos de sistemas realimentados si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy til para el diseo de filtros de radiotransistores. La transformada de Fourier tambin se utiliza en el mbito del tratamiento digital de imgenes, como por ejemplo para mejorar o definir ms ciertas zonas de una imagen fotogrfica o tomada con una computadora.

Interpretacin geomtrica
Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera:

la transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la funcin x(t) y la exponencial compleja evaluado sobre todo el rango de frecuencias f. Por la interpretacin usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la transformada tiene un valor mayor, ms parecido tiene x(t) con una exponencial compleja.

Enlaces externos
Fourier Java Applet [1] Tables of Integral Transforms [2] en Ingls. Transformada de Fourier por John H. Mathews [3] The DFT Pied: Enseando la transformada de Fourier en un da [4] en The DSP Dimension (Ingls).

Referencias
[1] [2] [3] [4] http:/ / www. westga. edu/ ~jhasbun/ osp/ Fourier. htm http:/ / eqworld. ipmnet. ru/ en/ auxiliary/ aux-inttrans. htm http:/ / math. fullerton. edu/ mathews/ c2003/ FourierTransformMod. html http:/ / www. dspdimension. com/ admin/ dft-a-pied/

Fuentes y contribuyentes del artculo

Fuentes y contribuyentes del artculo

Transformada de Fourier Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=68425538 Contribuyentes: 2rombos, Alejandro-SB, Antur, Ascnder, Atherak, Biasoli, CSTAR, Cheveri, Chuck es dios, Cookie, DFTDER, Davius, Dmarcell, Dominio, Donpirracas, Emmanuele, Ezequiel3E, FCPB, Faelomx, Farisori, Federpico, Glicerico, Gusbelluwiki, HUB, Habermecanicus, Halloigel, Heffeque, Ibiltari, Imrathor, Jagarsoft, Javi1977, Jkbw, Jrspepe, Juan Mayordomo, Kved, Living001, Lourdes Cardenal, Matdrodes, Mathmagic, Matiasasb, Mexicumbia, Mr. Benq, NofxRancid891, P.o.l.o., Paintman, Petnapet, Piteryon, Ploncomi, PuercoPop, Plux, Raulshc, Ricardos, Rosarino, Sdevmdtk, Sergiovh, Sico, Sobreira, Squater, Temandocorreo, Tiaguito, Unaiaia, Unificacion, Vic Fede, Vitamine, Vivero, Wewe, Xasel, Xps210, Yucon, 133 ediciones annimas

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