I.

Introducción a los mecanismos y

a la cinemática
6. Inversión cinemática.
Un movimiento absoluto es una medida con respeto a El número de grados de libertad de un mecanismo
un marco estacionario. En tanto que, un movimiento también es llamado movilidad y se denota con el
relativo es una medida para un punto o eslabón con símbolo 𝑀 . Cuando la configuración de un
respecto a otro eslabón. En la medida que diferentes mecanismo es completamente definida por la
eslabones son seleccionados como marco, el posición de un eslabón, el sistema se dice tiene un
movimiento relativo de dichos eslabones no se ve grado de libertad. La mayoría de los mecanismos
afectado, pero el movimiento absoluto puede ser producidos comercialmente tiene un solo grado de
drásticamente diferente. La utilización de diferentes libertad.
eslabones como marco se conoce como inversión
Ecuación de Gruebler
cinemática.
Los grados de libertad de mecanismos planares
7. Movilidad.
unidos por juntas comunes pueden ser calculados a
Una propiedad importante en el análisis de partir de la ecuación de Gruebler.
mecanismos es el número de grados de libertad del
𝑀 = 3 𝑛 − 1 − 2𝑗𝑝 − 𝑗ℎ
eslabonamiento. El número de grados de libertad es el
número de entradas independiente requeridas para
Donde 𝑛 es el número total de eslabones en el
determinar con precisión la posición de todos los
mecanismo, 𝑗𝑝 es el número total de juntas primarias,
eslabones del mecanismo con respecto al marco de
y 𝑗ℎ es el número total de juntas de orden superior.
referencia. También puede ser definido como el
número de actuadores requeridos para operar el
mecanismo.
9
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
7. Movilidad.
Ecuación de Gruebler
Los mecanismos con grado de libertad igual a cero o
grado de libertad negativo se conocen como
mecanismos bloqueados. El mecanismo con grado de
libertad igual a cero se conoce como braguero.
Como ya se comentó, eslabonamientos con múltiples
grados de libertad requieren de más de un actuador
para ser operados con precisión.

10
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
8. Casos especiales de la ecuación de movilidad.
Juntas coincidentes. Excepciones a la ecuación de Gruebler.
Algunos mecanismos tienen tres eslabones que están Otro caso especial de movilidad puede ser
todos conectados a una misma junta de revolución. mencionado. Debido a que la ecuación de Gruebler
Físicamente una junta puede conectar a los tres no toma en cuenta la geometría de los eslabones, en
eslabones, sin embargo por definición, una junta de algunas ocasiones puede llevar a resultados erróneos.
revolución conecta dos eslabones. Para el análisis
cinemático, esta configuración debe ser modelada
matemáticamente como dos juntas separadas. Una
junta conecta el primer eslabón con el segundo y la
otra, entonces, conectará el segundo con el tercero.
Consecuentemente cuando tres eslabones están
conectado físicamente por una sola junta,
En la figura anterior, se tienen cinco eslabones y seis
matemáticamente esta debe ser modelada como dos
juntas. De acuerdo a la ecuación de Gruebler este
juntas separadas. eslabonamiento tiene cero grados de libertad y está
bloqueado. Sin embargo, si todos los eslabones
fueran del mismo tamaño, y la distancia entre cada
junta en el marco y cada junta de revoluta, en el
eslabón más largo, fuera la misma; este mecanismo
sería capaz de movimiento y tendría un solo grado de
libertad.
11
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
8. Casos especiales de la ecuación de movilidad.
Excepciones a la ecuación de Gruebler.
Aquí la inconsistencia con respecto a la ecuación de Para el caso anterior, la ecuación de Gruebler
Gruebler se debe a que el eslabón del centro es especificaría dos grados de libertad (4 eslabones, 3
redundante y no altera el movimiento del juntas primarias, y 1 junta de orden superior). Aquí la
eslabonamiento en vista de que tiene las mismas leva es accionada, el eslabón pivotado (balancín) al
dimensiones que los otros dos eslabones. marco se balancea, y el rodillo rota con respecto a su
centro. Se puede ver entonces que solo el movimiento
Grado de libertad inactivo
del balancín corresponde a la salida del mecanismo y
En algunos mecanismos, los eslabonamientos que la rotación del rodillo es un grado de libertad
exhiben un movimiento que no influye en la relación inactivo que no afecta el movimiento de salida del
de entrada y de salida del mecanismo. Estos grados mecanismo.
de libertad inactivos representan otra situación en 9. Mecanismo de cuatro barras.
donde la ecuación de Gruebler lleva a resultados
incorrectos. El eslabonamiento más simple y común es el de
cuatro barras. Esta es una combinación de cuatro
eslabones, una designado como el marco, y que están
conectados por cuatro juntas de rotación.

12
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
9. Mecanismo de cuatro barras.

Aquí típicamente el eslabón que no puede moverse

constituye el marco, el que está conectado al marco y
al cuál inicialmente da energía el actuador se llama
eslabón de entrada, el eslabón que entrega la fuerza o
el movimiento deseado se designa como el seguidor o
el eslabón de salida, y el que conecta el de entrada
con el de salida se conoce como brazo conector o
acoplador.
Criterio de Grashof

De acuerdo a la ecuación de Grubler, la movilidad de La siguiente nomenclatura es usada para describir la

este mecanismo de cuatro barras, estaría dada por: longitud de los cuatro eslabones: 𝑠 longitud del
eslabón más corto, 𝑙 longitud del eslabón más largo, 𝑝
𝑛 = 4, 𝑗𝑝 = 4, 𝑗ℎ = 0 → 𝑀 = 3 4 − 1 − 2 4 − 0 = 1
longitud de uno de los eslabones de longitud
Y producto de que el mecanismo de cuatro barras intermedia, y 𝑞 longitud del otro eslabón de longitud
solo tiene un grado de libertad, este puede ser intermedia.
completamente operando con un solo actuador (un
El teorema de Grashof establece que un mecanismo
motor eléctrico DC).
de cuatro barras tiene al menos un eslabón giratorio
si:
13
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
9. Mecanismo de cuatro barras.
Criterio de Grashof Doble manivela
𝑠+𝑙 ≤𝑝+𝑞 Una doble manivela o manivela-manivela tiene la
característica de que su eslabón más corto lo
Consecuentemente, los tres eslabones no fijos solo se
constituye el marco. En este mecanismo si uno de los
balancearan si:
eslabones rota continuamente, el otro eslabón
𝑠+𝑙 >𝑝+𝑞 también rotará de forma continua. Este mecanismo
también es llamado mecanismo de eslabón de
Todos los mecanismos de cuatro barras caen en
arrastre.
alguna de las cinco categorías listadas en la siguiente
tabla. Manivela-balancín
Este mecanismo tiene la particularidad de que el
eslabón más corto se encuentra adyacente al marco.
Si el eslabón más corto es continuamente rotado, el
eslabón de salida oscilará entre determinados límites.
Consecuentemente el eslabón más corto es llamado
manivela y el de salida es llamado balancín. El
mecanismo de limpia parabrisas es de este tipo.

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 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
9. Mecanismo de cuatro barras.
Doble balancín Mecanismo de cambio de punto
El caso de doble balancín o balancín-balancín tiene el Este mecanismo tiene la peculiaridad de que la suma
eslabón opuesto al más corto del mecanismo de cuatro de dos de los lados (el corto y uno de los intermedios
barras como el marco. En esta configuración, ninguno de o el largo y uno de los intermedios) es igual a la suma
los eslabones conectado al marco serán capaces de de los otros dos lados. Aquí el mecanismo será de
completar una oscilación completa y oscilarán entre doble manivela o manivela-balancín con punto de
límites o se balancearan. cambio, dos veces por revolución de la manivela de
entrada cuando todos los eslabones se vuelvan
colineales. En estos puntos el comportamiento de
salida es indeterminado (ya que puede tomar
cualquiera de las dos configuraciones) por lo que se
debe limitar el movimiento para evitar estos puntos.
Triple balancín
Este es el último caso de la tabla mostrada
previamente. Aquí ninguno de los eslabones es capaz
de completar una rotación completa y todos se
balancean.

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I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática

16
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
10. Mecanismo de deslizamiento-manivela.
Otro mecanismo que es comúnmente encontrado es el En general, el eslabón conectado al marco es llamado
mecanismo de deslizamiento-manivela. Este mecanismo la manivela, a pesar de que no siempre es capaz de
también consiste de una combinación de cuatro completar una revolución completa. El eslabón que se
eslabones, con uno designado como el marco. Este traslada linealmente es llamado deslizador.
mecanismo, sin embargo, es conectado por tres juntas de
11. Técnicas de análisis de mecanismos.
revolución y una junta de deslizamiento.
Técnicas de dibujo tradicional
Un ejemplo es el siguiente mecanismo, que es empleado
para bombear agua de forma manual. La mayoría de los análisis de mecanismos involucran
geometría y con frecuencia métodos gráficos son
empleados de manera tal que el movimiento del
mecanismo pueda ser visualizado con facilidad.
Soluciones gráficas involucran dibujar líneas
escaladas a ángulos específicos y este enfoque tiene
el mérito de facilitar la visualización de la solución.
Sin embargo, también presenta la desventaja de que
puede haber serios errores de precisión al comparar
estos métodos con las técnicas analíticas.
Este mecanismo también es de un grado de libertad y
El equipo de dibujo usado para dibujar las líneas
consecuentemente solo requiere de un actuador para ser
escaladas a ángulos específicos incluye: triángulos,
operado.
reglas, compases, y escalas ingenieriles.
17
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
11. Técnicas de análisis de mecanismos.
Sistemas CAD (dibujo asistido por computadora) Algunas herramientas computacionales incluyen:
hojas de cálculos, programas de análisis dinámico
El análisis gráfico de los mecanismos puede ser
(Working Model, ADAMS, Dynamic Designer), y
efectuado por medio de sistemas CAD, en donde con
códigos propios escritos en lenguajes como Matlab,
independencia del sistema, se pueden dibujar, con alta Scilab, Mathematica, VisualBasic, o C++.
precisión, líneas a determinados ángulos sin que exista la
necesidad de escalar dichas líneas.
Técnicas analíticas
Estas técnicas involucran principalmente a las teorías de
geometría y trigonometría. Y realmente constituyen el
complemento a las técnicas gráficas. Este enfoque tiene
la desventaja de que requiere se realicen cálculos
laboriosos para mecanismos complejos.
Métodos analíticos asistidos por herramientas
computacionales
En la medida que soluciones analíticas precisas sean
deseadas para varias posiciones de un mecanismo, el
número de cálculos que deben efectuarse aumenta.

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 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
12. Ejemplo.
1. La siguiente imagen muestra un dispositivo empleado para aplastar latas. Dibuje el diagrama
cinemático y considere que el final del agarradero será un punto 𝑿 de interés. También determine el
número de grados de libertad del mecanismo.
Suposiciones: Todas los elementos del dispositivo son
rígidos, el agarradero constituye un solo elemento, la base
del aplastador se encuentra fija y no se mueve.
Ecuación básica:
𝑀 = 3 𝑛 − 1 − 2𝑗𝑝 − 𝑗ℎ

Desarrollo:
a) Para dibujar el diagrama cinemático, en Eslabón 3: Bloque que sirve para aplastar las latas.
primer lugar se deben identificar los
Eslabón 4: Barra que conecta al eslabón 2 y al 3.
eslabones, las juntas, y los puntos de interés.
Eslabones:
Eslabón 1 o marco de referencia: Base del
aplastador.
Eslabón 2: Agarradero del aplastador. 19
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
12. Ejemplo.
1. La siguiente imagen muestra un dispositivo empleado para aplastar latas. Dibuje el diagrama
cinemático y considere que el final del agarradero será un punto 𝑿 de interés. También determine el
número de grados de libertad del mecanismo.
Desarrollo:
Juntas
Junta A: Junta de revolución entre los eslabones
1 y 2.
Junta B: Junta de revolución entre los eslabones
2 y 4.
Junta C: Junta de revolución entre los eslabones
3 y 4.
Junta D: Junta de deslizamiento entre los
eslabones 1 y 3.
Puntos de interés
El punto de interés 𝑋 se emplea designar el
movimiento en el extremo del agarradero.
Diagrama cinemático
20
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
12. Ejemplo.
1. La siguiente imagen muestra un dispositivo empleado para aplastar latas. Dibuje el diagrama
cinemático y considere que el final del agarradero será un punto 𝑿 de interés. También determine el
número de grados de libertad del mecanismo.
Desarrollo:
b) Para determinar el número de grados de
libertad se empleará la ecuación de Gruebler.
𝑀 = 3 𝑛 − 1 − 2𝑗𝑝 − 𝑗ℎ
𝑛 = 4, 𝑗𝑝 = 4, 𝑗ℎ = 0
𝑀=1

21
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
12. Ejemplo.
2. La siguiente figura muestra una presa mecánica. Dibuje el diagrama cinemático y considere que el final
del agarradero será un punto 𝑿 de interés. También determine el número de grados de libertad del
mecanismo.

Suposiciones: Todas los elementos del dispositivo son

rígidos, la base de la presa se encuentra fija y no se mueve.
Ecuación básica:
𝑀 = 3 𝑛 − 1 − 2𝑗𝑝 − 𝑗ℎ

Desarrollo:
a) Para dibujar el diagrama cinemático, en Eslabón 2: Agarradero de la presa.
primer lugar se deben identificar los
Eslabón 3: Brazo que conecta al agarradero a las otras barras.
eslabones, las juntas, y los puntos de interés.
Eslabón 4: Barra que conecta la base a las otras barras.
Eslabones:
Eslabón 5: Bloque o cabeza de la presa.
Eslabón 1 o marco de referencia: Base de la
presa. Eslabón 6: Barra que conecta el bloque a las otras barras. 22
 I. Introducción a los mecanismos y
a la cinemática
12. Ejemplo.
2. La siguiente figura muestra una presa mecánica. Dibuje el diagrama cinemático y considere que el final
del agarradero será un punto 𝑿 de interés. También determine el número de grados de libertad del
mecanismo.
Desarrollo:
Juntas
Junta A: Junta de revolución entre los eslabones 1 y 2.
Junta B: Junta de revolución entre los eslabones 2 y 3.
Junta C: Junta de revolución entre los eslabones 1 y 4.
Junta D: Junta de revolución entre los eslabones 5 y 6.
Junta E: Junta de revolución entre los eslabones 3 y 4.
Junta F: Junta de revolución entre los eslabones 4 y 6.
b) Para determinar el número de grados de
Junta G: Junta de deslizamiento entre los eslabones 1 y 5.
libertad se empleará la ecuación de Gruebler.
Puntos de interés 𝑀 = 3 𝑛 − 1 − 2𝑗𝑝 − 𝑗ℎ
El punto de interés 𝑋 se emplea designar el movimiento
𝑛 = 6, 𝑗𝑝 = 7, 𝑗ℎ = 0
en el extremo del agarradero.
𝑀=1
Diagrama cinemático 23