Sucesiones Y Progresiones Aplicadas A Las Finanzas

SUCESIONES Y PROGRESIONES
APLICADAS A LAS FINANZAS

1. Sucesiones numéricas reales
2. Progresión aritmética
3. Progresión geométrica
4. Sumas parciales finitas.
SUCESIÓN
• Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una
detrás de otra, en un cierto orden.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre,
es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada
término.
Ejemplo:
Completar la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}
Formular la regla
¿Cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Probamos la regla: 2n Probamos la regla: 2n+1

Notación
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1 xn = 2n+1
Calcular el 10º término

de la sucesión:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión

aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un
término y el siguiente es una constante.
Ejemplos: SUCESIONES REGULARES
DIFERENCIAS SON IDÉNTICAS
Determinar la regla de la siguiente sucesión:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... xn = 3n-2
3 3
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, … xn = 5n-2
5 5
SUCESIONES GEOMÉTRICAS
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el
anterior por un número fijo.
Ejemplos:
1RO 2DO 8VO 9NO
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... 512
2 2 2 2 2 2 2 2
IDENTIFICAR EL FACTOR ENTRE TÉRMINOS: tiene un factor 2
xn = 2n
SUCESIONES POTENCIAS
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... La regla es xn = 3n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... La regla es xn = 4 × 2-n
Sin embargo, no todas los términos Con la regla, puedes darte

inician en 1, prueba otra vez,
cuenta que no coincide
teniendo en cuenta que inicia desde
cero
0 1 2 4 5 SUCESIÓN DESCENDENTE
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

xn = 4 × 2-n
4𝑥 1 =4 4 1
0 5
4 𝑥 1= = =0.125
20
2
532 8
1
4𝑥 1 =2
21
4𝑥 1 =1
2
22
Sucesiones especiales
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de
Números triangulares puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total
encontramos el siguiente número de la sucesión.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
REGLA xn = n(n+1)/2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Paso 1 1
Paso 2 1+2
Paso 3 1+2+3
Paso 4 1+2+3+4
Paso 5 1+2+3+4+5
Antes de resolver, analizar el Acertijo de
Gauss
Sumar todos los números enteros del 1 al 100
1, 2 ,3, 4, 5 ……….. 95, 96, 97, 98, 99, 100

50
100 + 1 = 101
Emparejar 99 + 2 = 101 101
98 + 3 = 101
50 + 51 = 101
5050
Numero de parejas = 50
Triangulo de
pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 1
1 5 5 1
0 0
1 2 1
1 6 6 1
5 0 5
n +1
𝑏𝑥h
𝐴=
2
n
xn =
RECUERDA: Sucesiones son un conjunto de números que mantienen
una relación entre si.
1; 4; 8; 14; 24; … 42
SUCESIONES SON
1ra DIFERENCIA 3 4 6 10 18 DIFERENTES
SUCESIÓN ASCENDENTE
2da DIFERENCIA
1 2 4 8
2
Progresión aritmética:
Progresión en que cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia de la
progresión.
ECUACIÓN GENERAL
𝑎 𝑛=𝑎1 + ( 𝑛 −1 ) ∗ 𝑑
DIFERENCIA
𝑑=𝑎𝑛 − 𝑎 𝑛−1
EJEMPLO: Determine la n= 10 de la siguiente
sucesión
1; 6; 11; 16…
1ER PASO: COMPROBAR QUE ES UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia de la progresión.
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
1; 6; 11; 16…
DIFERENCIA 5 5 5
2DO. PASO: Determinar la diferencia
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
1; 6; 11; 16…
𝑑=𝑎𝑛 − 𝑎 𝑛−1 𝑑=6 −1=𝟓
Por lo tanto:
3RO. PASO: Determinar el término general
𝑎 𝑛=𝑎1 + ( 𝑛 −1 ) ∗ 𝑑 n-4
𝑎 𝑛=𝟏+ (𝑛 − 1 ) ∗ 𝟓
–4
n-5
Suma de n términos de una progresión aritmética (Sn)
Queremos calcular la suma de n términos de una progresión aritmética (Sn),

que puedo expresar de dos formas diferentes:
Sumando ambas expresiones tenemos:
Es decir, todos los sumandos que aparecen entre paréntesis
en la expresión de antes equivalen a (a1+an), por lo que…
y, dividiendo ambos términos entre dos, obtenemos:
Expresión con la que podemos calcular la suma de n términos

de una progresión aritmética (Sn) conociendo la diferencia d y
el primer y último términos (a1 y an
EJERCICIO: Determinar la suma de los n primero términos
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
1; 6; 11; 16… n-4
1+6+11+16= 34 𝑎 1=1
( 𝑎 1+ 𝑎𝑛 ) ∗ 𝑛
𝑆𝑛 =
2
( 𝟓𝒏𝟐 − 𝟑𝒏 )
( 𝟏+𝟓 𝒏−𝟒 ) ∗ 𝑛 𝑺𝒏 =
𝑆𝑛 = 𝟐
2
( 𝟓 𝒏−3 ) ∗ 𝑛 ( 𝟓(𝟒) −𝟑 (𝟒) )
𝟐
𝑆𝑛 = 𝑺𝟒 = =𝟑𝟒
2 𝟐
Calcula el término general (an) y la suma de los 15 primeros términos
(S15) de una progresión aritmética de primer y tercer término a1 = 14 y
a3 = 26.
1 3
𝒂𝟏 𝑎2 𝒂𝟑 𝑎4
14; __; 26; __; …
NO nos dan como dato la diferencia (d), así que es lo primero que tenemos que calcular.
𝒂𝟏 𝑎2 𝒂𝟑 𝑎4
1 𝑎 𝑝 =14
14; __; 26; __; … 𝑞=3 𝑎𝑞=26
26=14+ ( 3 −1 ) ∗ 𝑑
𝑎 𝑛=𝟏𝟒 + ( 𝑛 −1 ) ∗𝟔
26=14+ ( 2¿∗ 𝑑 )
𝑎 𝑛=𝟏𝟒 + ( 6 𝑛 −6 )
26=14+ 2 𝑑
𝒂 𝒏=𝟔 𝒏+𝟖
26 − 14
𝑑= 𝒅 =𝟔
2
Suma de los 15 primeros términos (S15) de la progresión
( 𝑎 1+ 𝑎𝑛 ) ∗ 𝑛 𝒂 𝒏=𝟔 𝒏+𝟖
𝑆𝑛 =
2 𝒂 𝟏=𝟏𝟒
( 14+𝟔 𝒏+𝟖 ) ∗𝑛
𝑆𝑛 = ( 𝟐𝟐 (𝟏𝟓)+𝟔 (𝟏𝟓 ) )
𝟐
2 𝑺 𝟏𝟓 =
𝟐
( 𝟐𝟐 𝒏+𝟔 𝒏 )
𝟐
𝑺𝒏 =
𝟐
= 840
https://matematicascercanas.com/2017/11/10/progresion-aritmetica/
RESUELVA
En la siguiente progresión aritmética: 3, 18, 33, 48, …
Calcular el término general de la progresión (an) y la suma de los 10 primeros
términos (S10).
Calcula el término general (an) y la suma de los 8 primeros términos

(S8) de una progresión aritmética de diferencia d = 4 y quinto
término a5 = 40.
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Una progresión geométrica es un tipo de sucesión, es decir, una
colección ordenada e infinita de números reales, donde cada
término se obtiene multiplicando una cantidad constante al
término anterior.
Sucesión geométrica; en la que cada término (excepto el primero)

se obtiene multiplicando el anterior por un número o cantidad fija
que llamamos razón
Si es una progresión geométrica hemos dicho que cada término (excepto el primero, a1) se obtiene
multiplicando el anterior por la razón, que vamos a designar con la letra r. Es decir…
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r
a4 = a3 · r
…
an = an-1 · r
Calcular un término cualquiera de la progresión a partir de otro conociendo la razón
(r), sin necesidad de que sean consecutivos.
Pues sabiendo esto podemos, por ejemplo, calcular el quinto término (a5) a partir del
segundo (a2) directamente sin tener que calcular previamente a3 ni a4.
Al avanzar 3 posiciones (5 – 2 = 3) lo que hacemos es multiplicar tres veces por la
razón (r · r · r = r3)…
a1; a2, a3; a4; a5; a6; a7; a8; …. ;
r r r r r r r r r r
𝒓 𝟓 − 𝟐 =𝒓 𝟑 𝒂 𝟓=𝑎 2 ∗𝒓 𝟑
Calcular la razón (r) conociendo dos términos cualesquiera de una progresión geométrica
(ap y aq),
Término general de una progresión geométrica (an)

La historia en la que el rey Sheram ofrece en agradecimiento a Sissa, que al descubrirle
el juego del ajedrez había conseguido aliviar en buena parte la pena que tenía por la
pérdida de su hijo, una recompensa. Y éste le pide un grano de trigo por la primera
casilla del tablero del ajedrez, dos granos por la segunda casilla, cuatro por la tercera,
ocho por la cuarta… y así (en cada casilla el doble de granos que en la casilla anterior)
hasta completar las 64 casillas del tablero.
18.446.744.073.709.551.615
Suma de n términos de una progresión geométrica (Sn)
Tarea: Investigar la deducción de las fórmulas de la suma de una

progresión aritmética
Calcular el total de granos de trigo del tablero de ajedrez
La razón la sabemos, r = 2, el número de términos es n = 64 (son 64 casillas), y el primer

término de la progresión geométrica es a1 = 1, así que la suma total será:
Suma de “todos” los términos de una progresión geométrica con -1 < r <
1 mediante la expresión:
si n→∞ entonces, tal y como hemos

visto, an→0, anulándose el segundo
término del numerador…
EJEMPLO 1
En la siguiente progresión geométrica: 4, 12, 36, 108, …
Calcular el término general de la progresión (an) y la suma de los 10 primeros términos
(S10).
4, 12, 36, 108, …
1ER PASO: DETERMINAR LA RAZÓN

2DO PASO: DETERMINAR EL TÉRMINO GENERAL (aN) 4, 12, 36, 108, …
Comprobación
3ER PASO: suma de los 10 primeros términos (S10)

EJEMPLO 2
Calcula el término general (an) y la suma de los 8 primeros términos (S8 ) de una progresión geométrica de
razón r = 4 y quinto término a5 = 256.
Ahora ya sí podemos calcular la expresión del término general (an) que, con a1 = 1 y r = 4, será:
Para calcular la suma de los 8 primeros términos (S8) de la progresión geométrica, partimos de la expresión
de Sn…
RESUELVA
Calcula el término general (an), la suma de los 5 primeros términos (S5) y la suma de
todos los términos (S) de una progresión geométrica de términos positivos con a 1 = 1 y
a3 = 1/4.

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SUCESIONES Y PROGRESIONES

APLICADAS A LAS FINANZAS

Probamos la regla: 2n Probamos la regla: 2n+1

Calcular el 10º término

x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... xn = 3n-2

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... 512

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... La regla es xn = 4 × 2-n

Sin embargo, no todas los términos Con la regla, puedes darte

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

REGLA xn = n(n+1)/2

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

1, 2 ,3, 4, 5 ……….. 95, 96, 97, 98, 99, 100

Queremos calcular la suma de n términos de una progresión aritmética (Sn),

y, dividiendo ambos términos entre dos, obtenemos:

Expresión con la que podemos calcular la suma de n términos

Calcula el término general (an) y la suma de los 8 primeros términos

Sucesión geométrica; en la que cada término (excepto el primero)

a1; a2, a3; a4; a5; a6; a7; a8; …. ;

Término general de una progresión geométrica (an)

Tarea: Investigar la deducción de las fórmulas de la suma de una

La razón la sabemos, r = 2, el número de términos es n = 64 (son 64 casillas), y el primer

si n→∞ entonces, tal y como hemos

4, 12, 36, 108, …

1ER PASO: DETERMINAR LA RAZÓN

3ER PASO: suma de los 10 primeros términos (S10)

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