ECUACIONES
ECUACIONES
ECUACIONES
TUTOR
RODOLFO LPEZ GARIBELLO
2
= , (0) = 1
() (0)
() =
=0 Ecuacin (1)
!
2
(1) (0) = (0) = 0 = 0 = 1 = 1 , sustituyendo a X por cero en la definicin de la
serie en (1)
2 2
"() = ( ) = (2) = 2 , derivando una vez.
2
"(0) = 2(0) 0 = 0 = 2 , sustituyendo a X por cero en la derivada.
2 2 2
() = 2 (2) 2 = (4 2 2), derivando la tercera vez.
2 2 2
(4) () = (4 2 2) (2) + (8) = (8 3 + 12)
4 4 2
(5) () = (8 3 + 12) (2) + (24 2 + 12) = (16 4 48 2 + 12)
2
= (32 5 + 160 3 120)
(6) (0) = 0 = 6
2 2
(7) () = (160 4 + 480 2 120) + (32 5 + 160 3 120) (2)
2
= (64 6 480 4 + 720 2 120)
La serie es entonces:
() = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 +
0 2 2 3 0 4 12 5 0 6 120 7
() = 1 + + + + + + +
2! 3! 4! 5! 6! 7!
2 12 120
R//ta: () = 1 + 3 + 5 7 + Ecuacin (2)
3! 5! 7!
1 1
= 1 2 + 2! 4 3! 6 + simplificando numeradores y denominadores.
1 1
= 1 ( 2 ) + 2! ( 2 )2 3! ( 2 )3 + ,tomando potencias de 2 .
()
= ( ) = , que es la derivada que expresa la ecuacin (1), lo que
!
verifica que la expresin (2) es la solucin de la ecuacin diferencial.
LUZ MARY ARCHILA GOMEZ CDIGO 37652093
!
=1
1
Que convergen si "" > 1. Puede verse que (+1)(+2)(+3) < = 2 porque
3
(n+1)(n+2)(n+3) > n3, y de dos fracciones con igual numerador, es menor la de mayor
denominador, as:
1
[ ] <
( + 1)( + 2)( + 3) 2
=1
=1
. [ ]
( + 1)( + 2)( + 3)
=1
Con la mayor converge, la menor tambin segn el criterio de comparacin directa.
1
. [ ]
2 +1
=1
Solucin: Se ve que
1 1
<
2 +1 2
Segn se razon atrs en el ejercicio b). la segunda serie es una serie geomtrica con
razn r=
1 1 1 1 1 1
=[ ] = + + [ ]
2 2 2 4 8 2
=1 =1
1
. [ ]
!
=1
Empleando el criterio del cociente:
+ 1 1 ! 1
| |= |(+1) ! |= |(+1)!| = |(+1)| =
!
1
=0
( + 1)
Entonces:
1
[ ] .
!
=1
= (2) = 1 (3)
=0 =1
1 + 2 = 0
=1 =0
+11
( + 1)+1 + 2 +1 = 0
+1=1 =0
( + 1)+1 + 2 1 1+1 = 0
=0 1=0
( + 1)+1 + 2 1 = 0
=0 =1
1 + ( + 1)+1 + 2 1 = 0
=1 =1
1 + [( + 1)+1 + 21 ] 0
=1
1 = 0
21
( + 1)+1 + 21 = 0 +1 =
( + 1)
Entonces tenemos que:
20
= 1, 2 = = 0
2
21
= 2, 3 = = 0, 1 = 0
3
22 1 1
= 3, 4 = = (0 ) = 0
4 2 2
23
= 4, 5 = =0
5
24 1 1 1
= 5, 6 = = ( 0 ) = 0
6 3 2 6
1
=
3! 0
Puede verse que 2 + 1, es decir, los coeficientes de subndice impar son nulos, ya que
2 , con k= 0,1,2 , siguen la secuencia del reciproco del factorial multiplicado por y
alternan el signo:
() = 0 + , + 2 2 + 3 3 +
1 1
() = 0 + 0 + (0 ) 2 + 0 + 2 , 0 4 + 0 , 0 6 + 0
3
2 2
Prueba: Si = 0 , = 20 llevndolo a:
2 2
= 2 = 0 20 + 2(0 ) = 0
=2 ( 1)
2
- =1 1-
=1
1
+ 2
=0 =x
+2
=( + 2)( + 1) + 2 -=1 -=0( + 1) + 1 +=0 =x
=2 - =2( + 1) + 1 + =2 2 =0
(22 -1 ) + (63 22 - 1 1) x +
=2[( + 2)( + 1) + 2 ( + 1)+1 + 2 ] =0
Se cumple que
22 -1 = 0 (5)
63 - 22 -1 1 = 0 (6)
( + 2)( + 1)+2 ( + 1)+1 + 2 = 0 (7)
1
De ah2 = 2 1
63 = 22 + 1 + 1 = 1 + 1 +1
1
3 = 6 (21 +1)
1 + 1
22 +33 0 1+ 0
2
Ahora, si n=2, 4 = =
3(4) 3(4)
41 20 +1
4 = 2(3)(4)
1 4120
33 +44 1 1+ + 1
2 2(3)
n=3, 5 = =
4(5) 4(5)
41 20 +1+3 41 20 +4
= =
4(5)(6) 2(3)(4)(5)
44 +55 2
n=4, 6 = =
(5)(6)
1 1 1
(41 20 +1)+5 (41 20 +4) 1
3(4) 4(5)(6) 2
= =
5(6)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + 0+ 0 +
3 1 6 0 12 6 1 12 6 2 1 4 4
= =
5(6) (5)(6)
1
0 + 0 1
4
6 = 4(5)(6) = 2(3)(4)(5)
41 20 +4) 10 1
55 +66 3 5 +6 1 20 +
2(3)(4)(5) 2(3)(4)(5) 3 6
N = 5, 7 = =
6(7) 6(7)
1 1 1 1 30 13
0+ 0 1+ +
2(3) 3(4) 4(5) 4(5) 3 6 6 10 60
= =
6(7) 6(7)
( 2 + 1) + = 0; Sabemos que:
=
=
= . 1
=1
= ( 1) 2
=2
( 2 + 1) + = ( 2 + 1) ( 1) 2 + . 1
=2 =1 =
= ( 1) + ( 1) 2 + .
=2 =2 =1 =
= 22 0 0 0 + 63 + 1 1 + ( 1) + ( 1) 2 +
=2 =4 =2 =2
= 22 0 + 63 + [( 1) + ( + 2)( + 1)+2 + ]
=2
1 1 1
4 = 2 = 0 = 2 0
4 2.4 2 2!
2
5 = 3 = 0
5
3 3 1.3
6 = 4 = 0 = 3 0
6 2.4.6 2 3!
4
7 = 5 = 0
7
5 3.5 1.3.5
8 = 6 = 0 = 4 0
8 2.4.6.8 2 4!
6
9 = 0 = 0
9
7 3.5.7 1.3.5.7
8 = 8 = 0 = 5
10 2.4.6.8.10 2 5! 0
= 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + 9 9 + 10 10 +
1 1 1.3 1.3.5 1.3.5.7 10
= 0 [1 + 2 2 4 + 3 6 6 4 8 8 + 5 + ] + 1
2 2 2! 2 3! 2 4! 2 5!
1 1.3.5 (2 3) 2
= 1 + 2 + (1)1
2 2 !
=2
PROBLEMA PROPUESTO
La fuerza de la gravedad que acta sobre una masa m que si est a una distancia se s
del centro de la tierra es directamente proporcional a m e inversamente proporcional a s 2.
a) Hallar la velocidad alcanzada por la masa si estando en reposo a una distancia 5R del
centro de la tierra se la deja caer sobre la superficie terrestre. b.
La fuerza de la gravedad a una distancia s del centro de la tierra es / 2 . Para
determinar k observamos que la fuerza es mg para = ; , = 2 , de
donde = 2 .La ecuacin de movimiento es la siguiente:
2
1) = = = = 2
2 2
1 2 1 1 4
= 2 ( ) =
2 5 5
8
2 (32)(4000)(5280)
5
= 2560165 = 780 165 0
, 6 = 9,656
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS