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Series y Sucesiones

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SERIES Y

SUCESIONES
¿Qué es una sucesión?

 Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra,


en un cierto orden.
Finita o infinita
 Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita.
Ejemplos
 {1, 2, 3, 4 ,...}
es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
 {20, 25, 30, 35, ...}
también es una sucesión infinita
 {1, 3, 5, 7}
es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión finita)
 {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
 {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
 {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético
 {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo"
En orden…

 Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que
decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
 Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el
mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
 Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería
sólo {0,1}
La regla…

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!

 Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
 10º término,
 100º término, o
 n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
 Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene
el término).
 Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
 Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la
regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
 Probamos la regla: 2n

n Término Prueba
1 3 2n = 2×1 = 2
2 5 2n = 2×2 = 4
3 7 2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona...

 pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que
vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla
1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!

 Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla
como
 La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
 Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º:
2 × 100 + 1 = 201
Notación

 Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término


Es normal usar xn para los términos:
• xn es el término
• n es la posición de ese término
Así que para hablar del "quinto término" sólo
tienes que escribir: x5
 Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:


x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término?
¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones
especiales y sus reglas:

TIPOS DE SUCESIONES
SUCESIONES ARITMÉTICAS:

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o


progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una
constante.
Ejemplos:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...


Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
SUCESIONES GEOMÉTRICAS

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplos:
 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
SUCESIONES ESPECIALES
Números triangulares

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.


Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de
la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla:


xn = n(n+1)/2
EJEMPLO:

El quinto número triangular es:

x5 = 5(5+1)/2 = 15

Y el sexto es:

x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...


El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
 La regla es xn = n2
Números de Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.

 El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)


 El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

 x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 3 + 2 = 5
Series
 "Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie
es la suma de una sucesión.

 Sucesión: {1,2,3,4}

 Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa
"súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión


2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...}


= 3+5+7+9

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