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U4 - Semana 14 - Sesión 14 - Distribución de Probabilidad Discreta
U4 - Semana 14 - Sesión 14 - Distribución de Probabilidad Discreta
U4 - Semana 14 - Sesión 14 - Distribución de Probabilidad Discreta
poisson.
(Variable discreta)
Clase 14
Dr. Felipe Núñez Chávez
PROPÓSITO
Notación factorial.
Se utiliza para representar las operaciones de multiplicación secuencial.
Su desarrollo significa el producto ordenado de los números enteros positivos, desde el que
indica el signo factorial, hasta llegar a 1.
Ejemplo:
Tres factorial 3! = 3x2x1 = 6
Cinco factorial 5! = 5x4x3x2x1 = 120
……..
N factorial N! = (N)(N-1)(N-2)x………x2x1
Por definición:
0! = 1
1! = 1
Combinaciones.
Es un método que nos permite agrupar un conjunto de elementos en diferentes formas sin
considerar el orden de colocación.
𝒏 𝒏!
𝑪 =
𝒙 𝒙 ! ( 𝒏− 𝒙 ) !
Ejemplo:
De un equipo multidisciplinario, formado por un economista, un sociólogo, un antropólogo.
¿Cuántos comités de dos profesionales pueden formarse?
Solución
Según datos: n = 3, x = 2
Luego la cantidad de comités a formarse, serían:
Estos experimentos con resultados Dicotómicos, se le conoce con el nombre de ensayo de BERNOULLI,
en honor al científico que lo descubrió.
III. Requisitos de una distribución de probabilidad binomial.
a) El procedimiento tiene un número fijo de ensayos.
b) Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo individual no afecta
las probabilidades de los demás ensayos).
c) Todos los resultados de cada ensayo deben clasificar en dos categorías (generalmente
llamadas éxito y fracaso)
d) La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos.
IV. Notación para la distribución de probabilidad binomial.
Al llevar a cabo un experimento aleatorio, siempre estamos interesados en que suceda uno de los
dos resultados, si el resultado que esperábamos efectivamente sucede, diremos que hubo ÉXITO.
Si el resultado que esperábamos no sucede, entonces diremos que hubo FRACASO. Estos dos
resultados, se designan en términos de probabilidad, como p y q.
Es decir:
RESULTADOS PROBABILIDAD
ÉXITO p PROBABILIDAD DE ÉXITO
Donde: p + q = 1
FRACASO q PROBABILIDAD DE FRACASO
V. Fórmula General para calcular las Probabilidades Binomiales.
𝒏 𝒙 (𝒏 − 𝒙 ) 𝒏! 𝒙 ( 𝒏− 𝒙 )
𝒑 ( 𝒙 )=𝑷 ( 𝑿=𝒙 )=𝑪 . 𝒑 . 𝒒 = .𝒑 .𝒒
𝒙 𝒙 ! ( 𝒏− 𝒙 ) !
Donde:
Ejemplo 1:
Supongamos en la comunidad “x”, donde a través de una muestra se encontró que el 30% de la
población en edad activa estaba desempleada. Calcular la probabilidad de seleccionar dos personas
ocupadas en esta población.
Solución
Según datos del problema:
n=2 entonces p = 0.70
x=2 personas ocupadas q = 0.30
Aplicando la fórmula:
Solución
Éxito Pagos de vencimientos de préstamos
Probabilidad de éxito (p) 0.20
Probabilidad de fracaso (q) 0.80
Número de ensayos (n) 8
Número de éxitos en los “n” ensayos (x) 3
Aplicando la fórmula:
1. Suponiendo que la probabilidad de que un automovilista respete la luz verde es de 0.75, utilice la
fórmula de probabilidad binomial para calcular la probabilidad de obtener exactamente 3
automovilistas que respeten la luz verde cuando va a cambiar de luz 5 segundos antes. Es decir,
calcule
I. Introducción.
La distribución de Poisson se usa para modelar situaciones en la que el número de pruebas es muy
grande y el número de éxitos es muy pequeño, situaciones en las que hay ocurrencias aleatorias de
sucesos por unidad de espacio o tiempo, y en donde se desea conocer la probabilidad de un número
especifico de éxitos.
El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración, por ejemplo, un minuto, un día, una
semana, etc. Así la variable aleatoria x puede representar el número de llamadas telefónicas por hora,
el número de pacientes fallecidos en un día determinado. El espacio podría ser un segmento de línea,
un área o volumen, un pedazo de material. Así, x podría representar el número de bacterias en un
determinado campo de cultivo.
II. El proceso de Poisson.
Las siguientes proposiciones describen lo que se conoce como proceso de Poisson:
a) Las ocurrencias de los eventos son independientes.
b) Teóricamente, debe ser posible un número infinito de ocurrencias del evento en el intervalo.
c) La probabilidad de una ocurrencia del evento en un intervalo dado es proporcional a la
longitud del intervalo.
La distribución de probabilidad de Poisson está dad por:
𝒆− 𝝁 . 𝝁 𝒙
𝒑 ( 𝒙 )=
𝒙!
𝒙=𝟎,𝟏,𝟐,…
Donde:
número de ocurrencias cuya probabilidad se desea conocer.
constante matemática = 2,71828.
número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio.
Media Varianza
Ejemplo 1:
La oficina de estadística del hospital ESSALUD ha estudiado el número de muertes debido a una
cierta enfermedad y ha llegado a la conclusión de que éstas están distribuidas de acuerdo con la ley de
Poisson. Los registros del hospital revelan que durante este período, el número de muertes ha sido en
promedio, de 3 por día. Si dicha oficina está en lo cierto, al suponer una distribución de Poisson, hallar
la probabilidad de que:
Reemplazando en la formula:
−𝟔 𝟐
𝒆 . 𝟔 (𝟐 .𝟕𝟏𝟖𝟑) .𝟔
−𝝁 𝒙 −𝟔 𝟐
𝒆 .𝝁
𝒑 ( 𝒙 )= 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 : 𝒑 (𝟐 )= = =𝟎 . 𝟎𝟒𝟒𝟔=𝟒 . 𝟒𝟔%
𝒙! 𝟐! 𝟐!
Interpretación:
La probabilidad de que en una hora, exactamente se reciban 2 llamadas por hora es de 4,46 %
Aplicando lo aprendido