Distribu

ción
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que nos dice el porcentaje en
que es probable obtener un resultado entre dos posibles al realizar un número n de pruebas.

Binomi
Una función de densidad de probabilidad más valiosa con muchas aplicaciones es la distribución
binomial. Esta distribución calculará las probabilidades de cualquier proceso binomial. Un proceso
binomial, a menudo llamado proceso de Bernoulli en honor a la primera persona que desarrolló

al
plenamente sus propiedades, es cualquier caso en el que solo hay dos resultados posibles en
cualquier ensayo, llamados éxitos y fracasos. Recibe su nombre del sistema numérico binario, en el
que todos los números se reducen a 1 o 0, que es la base de la tecnología informática y de las
grabaciones musicales en CD.

Fórmula binomial

b(x)=(nx)pxqn–x

La probabilidad de cada posibilidad no puede ser más grande que 1 y no puede ser negativa.

En estas pruebas deberemos tener sólo dos resultados posibles, como al lanzar una moneda que
salga cara o cruz o en una ruleta francesa que salga rojo o negro.

Cada experimento es independiente de los otros que hagamos y no influye en las probabilidades de
los siguientes, en cada uno la probabilidad de que se dé uno de los dos resultados será exactamente
la misma.

Por ejemplo, si lanzamos un dado la posibilidad de que el resultado sea par (2, 4 ó 6) o impar (1, 3 ó
5) será exactamente la misma si el dado está bien equilibrado, el 50% y por muchas veces que lo
lancemos la probabilidad, en cada una de esas veces, seguirá siendo el 50%.

Hay tres características de un experimento binomial

1. Hay un número fijo de ensayos. Piense en los ensayos como repeticiones de un

experimento. La letra n indica el número de ensayos.

2. La variable aleatoria, x, número de aciertos, es discreta.

3. Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La
letra p indica la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, y q la probabilidad de
fracaso en un ensayo cualquiera. p + q = 1.

4. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Piense en

esto como una extracción CON reemplazo. Como los n ensayos son independientes, el
resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es
que para cada ensayo individual la probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un
 fallo siguen siendo las mismas. Por ejemplo, estimar al azar una pregunta de estadística de
verdadero-falso solo tiene dos resultados. Si un acierto es estimar correctamente, un fallo es
estimar incorrectamente.

Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad

binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos
independientes.

Cualquier experimento que tenga las características tres y cuatro y en el que n = 1 se llama Ensayo
de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que los estudió ampliamente a finales de 1600. ). Un
experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de
Bernoulli.

Distribución de Poisson
Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson o distribución del tiempo de
espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja son necesarios para
mantener el tiempo de espera en la fila a niveles especificados, cuántas líneas telefónicas son
necesarias para evitar que el sistema se sobrecargue, y muchas otras aplicaciones prácticas. Una
modificación de la distribución de Poisson, la Pascal, inventada hace casi cuatro siglos, es utilizada
hoy en día por las compañías de telecomunicaciones de todo el mundo para los factores de carga,
los niveles de conexión de los satélites y los problemas de capacidad de internet. La distribución
recibe su nombre de Simeón Poisson, que la presentó en 1837 como una extensión de la
distribución binomial, que veremos que se puede estimar con la Poisson.

Hay dos características principales de un experimento de Poisson.

1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un

número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen
con una tasa promedio conocida.

2. Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por
ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas
incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras
mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay
relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos.

3. La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson

X ~ P(μ)
Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ);
μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que se producen
por término promedio durante el periodo del intervalo.

La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es:

P(x)=μxe–μx!

donde P(X) es la probabilidad de X aciertos, μ es el número esperado de aciertos basado en datos

históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de aciertos
por unidad, normalmente por unidad de tiempo.

Para utilizar la distribución de Poisson, deben cumplirse ciertos supuestos. Estos son: la
probabilidad de un éxito, μ, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos
dentro del intervalo y, por último, que la probabilidad de un éxito entre intervalos es independiente,
el mismo supuesto de la distribución binomial.

En cierto modo, la distribución de Poisson puede considerarse una forma inteligente de convertir
una variable aleatoria continua, normalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta al dividir
el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar en la Poisson nos ayuda a
entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta de la
distribución binomial. La Poisson pide la probabilidad de un número de aciertos durante un periodo
mientras que la binomial pide la probabilidad de un número determinado de aciertos para un
número dado de ensayos.

Mencionar al menos 2 aplicaciones, en donde convendría utilizar una distribución Binomial.

1. Número de transacciones fraudulentas

Los bancos utilizan la distribución binomial para modelar la probabilidad de que una determinada
cantidad de transacciones con tarjeta de crédito sean fraudulentas.

Por ejemplo, suponga que se sabe que el 2% de todas las transacciones con tarjeta de crédito en una
determinada región son fraudulentas. Si hay 50 transacciones por día en una región determinada,
podemos usar una Calculadora de distribución binomial para encontrar la probabilidad de que
ocurran más de un cierto número de transacciones fraudulentas en un día determinado:

P (X> 1 transacción fraudulenta) = 0,26423

P (X> 2 transacciones fraudulentas) = 0.07843
P (X> 3 transacciones fraudulentas) = 0.01776

2. Número de correos electrónicos no deseados por día

Las empresas de correo electrónico utilizan la distribución binomial para modelar la probabilidad de
que una cierta cantidad de correos electrónicos no deseados lleguen a una bandeja de entrada por
día.

Por ejemplo, suponga que se sabe que el 4% de todos los correos electrónicos son spam. Si una
cuenta recibe 20 correos electrónicos en un día determinado, podemos usar una Calculadora de
distribución binomial para encontrar la probabilidad de que una cierta cantidad de esos correos
electrónicos sean spam:

P (X = 0 correos electrónicos no deseados) = 0,44200

P (X = 1 correo electrónico no deseado) = 0,36834

P (X = 2 correos electrónicos no deseados) = 0,14580

Mencionar 2 aplicaciones en donde convendría utilizar una distribución de Poisson.

1. Llamadas por hora a un centro de llamadas

Los centros de llamadas utilizan la distribución de Poisson para modelar la cantidad de llamadas
esperadas por hora que recibirán para saber cuántos representantes del centro de llamadas deben
mantener en el personal.

Por ejemplo, suponga que un centro de llamadas determinado recibe 10 llamadas por hora. Podemos
usar una calculadora de distribución de Poisson para encontrar la probabilidad de que un centro de
llamadas reciba 0, 1, 2, 3… llamadas en una hora determinada:

P (X = 0 llamadas) = 0.00005

P (X = 1 llamada) = 0,00045

P (X = 2 llamadas) = 0,00227

P (X = 3 llamadas) = 0,00757

2. Número de fallos de red por semana

Las empresas de tecnología utilizan la distribución de Poisson para modelar el número de fallas de
red esperadas por semana.

Por ejemplo, suponga que una empresa determinada experimenta un promedio de 1 falla de red por
semana. Podemos usar la calculadora de distribución de Poisson para encontrar la probabilidad de
que la empresa experimente un cierto número de fallas en la red en una semana determinada:

P (X = 0 fallas) = 0.36788

P (X = 1 falla) = 0.36788

P (X = 2 fallas) = 0.18394