Clase Distribución de Probabilidades-1

CARRERA
INGENIERÍA AMBIENTAL
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL
Docente: Cecilia Parra Ferié

PhD. Doctora en Ciencias Técnicas
cparra@espam.edu.ec
Distribución de probabilidad
discreta y continua
Para una mejor comprensión de este contenido, es
necesario que revisen de manera detallada el capítulo 4
Distribuciones de probabilidad, página 177 del libro de
texto de la asignatura.
Ya conocemos las una distribución de
entonces
distribuciones de probabilidad es una
frecuencias a partir de distribución de
conjuntos de datos para frecuencias teórica.
indicar la frecuencia
observada.
Una distribución de frecuencias teórica es una

distribución de probabilidades que describe la forma
en que se espera varíen los resultados.
Una distribución de frecuencias Una distribución de probabilidad
es un listado de las
es un listado de las probabilidades de
frecuencias observadas de los
todos los posibles resultados que
resultados de un evento,
podrían obtenerse si el evento o
fenómeno o variable
fenómeno se llevará a cabo.
estudiada que se presentaron
realmente cuando se efectuó
éste.
Qué es una variable aleatoria???????
Una variable aleatoria es cualquier función que
asigna un valor numérico a cada posible
resultado del espacio muestral (Johnson, 2012).
Las variables aleatorias se clasifican de acuerdo con el tipo
numérico de valores que pueden asumir en su rango:
Variables Variables
aleatorias aleatorias
discretas continuas
son aquellas que pueden son aquellas que pueden
asumir un número asumir un número
contable de valores incontable de valores

dentro de un rango
Resumiendo
Las variables aleatorias discretas se Las variables aleatorias continuas

relacionan con valores que podemos contar se relacionan con mediciones de
como número de personas, cantidad de magnitudes como tiempo, peso,
casas, cantidad de carros vendidos, número talla, volumen, pH del agua,
de estudiantes en un grupo. volumen, entre otros.
Distribuciones o funciones de probabilidad de
variables aleatorias
La función asigna la probabilidad a cada posible resultado x
denominándose distribución de probabilidad. Es una lista de los posibles
valores de x junto a sus probabilidades (Johnson, 2012).
La distribución de probabilidad siempre debe cumplir con las siguientes

condiciones:
 La probabilidad de cada valor tiene que estar entre 0 y 1

0 ≤ f(x) ≤ 1
 La suma de las probabilidades asignadas a cada valor de la variable aleatoria

debe ser 1
∑ f(x) = 1
Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Es una función que asigna probabilidades a los valores de la variable discreta.

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado
resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio. Por lo
que entonces:
numero de casos favorables de A

𝑃(𝐴) =
número total de casos posibles
Como ya sabemos
Entonces podemos formar las funciones de probabilidad como sigue:

1
f(1)=𝑃(𝑎 = 1) = 7 Representando la distribución de probabilidad
1 a 1 2 3 4 5 6 7
f(2)=𝑃(𝑎 = 2) = 7
1
f(a) 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7
f(3)=𝑃(𝑎 = 3) = 7
1
f(4)=𝑃(𝑎 = 4) = 7 Debemos revisar si se cumplen las dos condiciones de cualquier función de probabilidad:
 La probabilidad de cada valor tiene que estar entre 0 y 1
1
f(5)=𝑃(𝑎 = 5) = 7 0 ≤ f(x) ≤ 1 0 ≤ 1/7 ≤ 1
 La suma de las probabilidades asignadas a cada valor de la variable aleatoria debe ser 1
f(6)=𝑃(𝑎 = 6) = 7
1 ∑ f(x) = 1 7/7 = 1
1
f(7)=𝑃(𝑎 = 7) = 7
Entonces la función de probabilidad de este ejemplo quedaría:
= 1/7
Estamos ante la presencia de una Distribución uniforme discreta porque todos los valores de A tienen la
misma probabilidad.
Representación gráfica de una distribución uniforme discreta.
Función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta
La función de distribución acumulada especifica la probabilidad de que

una variable aleatoria sea menor o igual que un valor dado. Se denomina
como F(x).
F(x) = P( X ≤ x)
Veamos un ejemplo:
Lo valores de la variable aleatoria X y las funciones de probabilidad de cada valor son
x f(x) F(x)
F(0) = P (X ≤ 0) = P (x=0) = f(0) =0,5
0 0,5 0,5
1 0,3 0,8 F(1) = P (X ≤ 1) = P (x=0 o 1) = f(0) + f(1) = 0,5 + 0,3 = 0,8
2 0,2 1 F(2) = P (X ≤ 2) = P (x=0, 1 o 2)) = f(0) + f(1) + f(2) = 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1
∑ 1
La función acumulativa sería:
0; x<0
0,5 ; 0 ≤ x < 1
F(x)
0,8; 1 ≤ x < 2
1; x ≥ 2
Algo importante a tener en cuenta que la función acumulativa

siempre toma valores entre 0 y 1
0 ≤ F(x) ≤ 1
Veamos otro ejemplo.
Se tiene la siguiente función acumulativa de una variable
aleatoria discreta X que toma valores de 1,2,3 y 4.
0; x<1
0,06 ; 1 ≤ x < 2
F(x) = 0,46 ; 2 ≤ x < 3

0,96 ; 3 ≤ x < 4
1; x ≥ 4
Determine:
a) f(2)
b) P (x ≤ 3)
c) P (1 < x ≤ 3)
d) P (1 < x ≤ 4)
e) P (x ≥ 2, 35)
Formamos entonces una tabla de la siguiente manera:
x f(x) F(x) Una vez que hemos ubicado en la

tabla los valores de F(x), debemos
1 0,06 0,06
determinar los valores de f(x),
2 0,40 0,46 realizando una operación inversa a
3 0,50 0,96 la acumulada.
4 0,04 1
Como x toma valores de 1 a 4, 0; x<1

la primera línea 0,06 ; 1 ≤ x < 2
correspondiente al primer F(x) = 0,46 ; 2 ≤ x < 3
intervalo no se tendrá en 0,96 ; 3 ≤ x < 4
cuenta, como se muestra a
1 ; x≥4
continuación.
x f(x) F(x)
1 0,06 0,06
2 0,40 0,46
3 0,50 0,96
4 0,04 1
Entonces:
a) f(2) = 0,4
b) P (x ≤ 3) ya conocemos que F(x) = P( X ≤ x)

sustituyendo: F(3) = P (X ≤ 3)
0,96 = P (X ≤ 3)
Por tanto: P (X ≤ 3)= 0,96
c) P (1 < x ≤ 3)
Para dar respuesta a este inciso debemos conocer que existe una
expresión muy utilizada que es:
P (a < x ≤ b) = F(b) – F(a)
Siempre y cuando los signos sean los que resaltamos en la expresión.

Por tanto, si sustituimos, tenemos
P (1 < x ≤ 3) = F(3) – F(1)

= 0,96 – 0,06
= 0,90
A modo de comprobación podemos sumar en la tabla los valores de la
función de probabilidad f(x) para x= 2 y 3 dándonos 0,90.
d) P (1 < x ≤ 4) procedemos igual al inciso anterior
P (1 < x ≤ 4) = F(4) – F(1)

= 1 – 0,06
= 0,94
Igual que el inciso anterior podemos comprobar sumando en la tabla los valores de
la función de probabilidad f(x) para x= 2, 3 y 4 dándonos 0,94.
e) P (x ≥ 2,35)
Para dar respuesta a este inciso, buscamos en la tabla que valores de x cumplen la
condición de ser ≥ 2,35.
Estos valores serían 3 y 4, por lo que entonces: x f(x) F(x)
P (x ≥ 2,35) = P(x= 3) + P(x=4) 1 0,06 0,06
= f(3) + f(4) 2 0,40 0,46
= 0,50 + 0,04 3 0,50 0,96
= 0,54 4 0,04 1
Tipos de distribuciones de probabilidad discretas
Dentro de las distribuciones discretas, se pueden encontrar
(Johnson, 2012), página 85:
 Distribución binomial
 Distribución multinomial
 Distribución hipergeométrica
 Distribución geométrica
 Distribución binomial negativa
 Distribución Poisson
Función de probabilidad de una variable aleatoria continua
En la districución de probabilidad de una variable continua, se denomina a f(x)
como función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria.
De esta manera se puede calcular la probabilidad de que la variable X asuma

valores en el intervalo que entre a y b:
P (a ≤ x ≤ b)
Esta probabilidad de manera gráfica puede obtenerse a partir de determinar el

área bajo la curva en un intervalo entre a y b, como se muestra en la siguiente
figura.
De manera algebraica puede entonces

Representación gráfica de determinarse que:
la curva de densidad y del
área bajo la curva 𝑏
P a ≤ 𝑥≤ b = 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
En la función de densidad deben cumplirse dos
condiciones:
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo valor de 𝑥

∞
2. −∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
Veamos un ejemplo:
La variable aleatoria continua X tiene la siguiente función de densidad de
probabilidad f(x):
0,30 ; si 0 ≤ x ≤ 4
f(x) = 0 ; para valores de x fuera de este rango
Calcular:
a) P (1≤ x ≤ 3)
b) P (x=1)
c) P (1 < x ≤ 3)
Respuesta inciso a)
𝑏
P a ≤ 𝑥≤ b = 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
recordemos que nos
3
dicen que la funciòn de
P 1 ≤ 𝑥≤ 3 = 0,30 𝑑𝑥 densidad es 0,30 para
1 cuando x toma valores
entre 0 y 4. Por tanto si
a=1 y b=3 están en ese
intervalo
Se forma una integral definida de una constante, por lo que podemos realizar el
siguiente cálculo:
𝑏
𝐶𝑑𝑥 = 𝐶 (𝑏 − 𝑎)
𝑎
P 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 = 0,30 (3-1)
= 0,60
b) P (x=1)
Debemos entender y memorizar que cuando trabajamos con densidad de
probabilidad, es decir, estamos ante la presencia de variables aleatorias
continuas, solo y bajo estas condiciones se cumple que
P(x=a) = 0
siendo a un valor único, por lo que si graficamos la función nos da una sola
recta vertical, no se puede observar un área bajo la curva, por lo que es 0.
Por tanto, para este inciso
P(x=1) = 0
Veamos un ejemplo:
Se realiza un experimento donde se necesita medir pH del agua potable que llega a las
casas de una comunidad determinada. Se define como variable aleatoria continua H.
Determine P(h=7,67)
Para demostrar esta situación debemos conocer que el pH para el agua potable está en
un rango de valores de 6,5 a 8,5. De manera lógica es incontable o infinito los valores de
pH que pueden estar en este rango o intervalos de valores, por lo que podemos decir
que:
P(h=7,67)= 0  si sabemos que probabilidad es
1
Entonces sería P(h=7,67) = =0
∞
Inciso c) P (1 < x ≤ 3)
Fijémonos que los signos no son iguales al inciso a.

Pero la regla mencionada “la Probabilidad de que una variable aleatoria
continua tome un único valor es cero”, trae como consecuenca que:
P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x ≤ b) por tanto, sustituyendo:

P(1 < x ≤ 3) = P(1 ≤ x ≤ 3)
P(1 < x ≤ 3) = 0,60 (ya se respondió en el inciso a)
Pero supongamos que nos pidieran P(1 < x ≤ 4) =?????
Se procede igual:
𝑏
P(1 < x ≤ 4) = P(1 ≤ x ≤ 4) recordemos que nos dicen que la
funciòn de densidad es 0,30 para 𝐶𝑑𝑥 = 𝐶 (𝑏 − 𝑎)
4 cuando x toma valores entre 0 y 4. 𝑎
P 1 ≤ 𝑥≤ 4 = 1
0,30 𝑑𝑥
Por tanto si a=1 y b=4 están en ese
intervalo P 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 = 0,30 (4 -1)
= 0,90
Tipos de distribuciones de probabilidad continuas
Entre las distribuciones continuas se pueden encontrar las que

mostramos a continuación. De todas ellas la más utilizada es la
distribución normal.
 Distribución normal
 Distribución uniforme o rectangular
 Distribución exponencial
 Distribución ji-cuadrado
 Distribución t de Student
 Distribución F de Snedecor
 Distribución Pareto

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CARRERA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL

Docente: Cecilia Parra Ferié

Una distribución de frecuencias teórica es una

son aquellas que pueden son aquellas que pueden

asumir un número asumir un número

contable de valores incontable de valores

Las variables aleatorias discretas se Las variables aleatorias continuas

La distribución de probabilidad siempre debe cumplir con las siguientes

 La probabilidad de cada valor tiene que estar entre 0 y 1

 La suma de las probabilidades asignadas a cada valor de la variable aleatoria

Es una función que asigna probabilidades a los valores de la variable discreta.

numero de casos favorables de A

Entonces podemos formar las funciones de probabilidad como sigue:

La función de distribución acumulada especifica la probabilidad de que

Algo importante a tener en cuenta que la función acumulativa

F(x) = 0,46 ; 2 ≤ x < 3

x f(x) F(x) Una vez que hemos ubicado en la

Como x toma valores de 1 a 4, 0; x<1

b) P (x ≤ 3) ya conocemos que F(x) = P( X ≤ x)

P (a < x ≤ b) = F(b) – F(a)

Siempre y cuando los signos sean los que resaltamos en la expresión.

P (1 < x ≤ 3) = F(3) – F(1)

P (1 < x ≤ 4) = F(4) – F(1)

De esta manera se puede calcular la probabilidad de que la variable X asuma

Esta probabilidad de manera gráfica puede obtenerse a partir de determinar el

De manera algebraica puede entonces

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo valor de 𝑥

Debemos entender y memorizar que cuando trabajamos con densidad de

probabilidad, es decir, estamos ante la presencia de variables aleatorias

continuas, solo y bajo estas condiciones se cumple que

recta vertical, no se puede observar un área bajo la curva, por lo que es 0.

Por tanto, para este inciso

Fijémonos que los signos no son iguales al inciso a.

P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x ≤ b) por tanto, sustituyendo:

Pero supongamos que nos pidieran P(1 < x ≤ 4) =?????

Entre las distribuciones continuas se pueden encontrar las que

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