Base Ortonormal, Proceso de Ortonormalizacion de Gram-Schmidt

BASE ORTONORMAL, PROCESO DE
ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA

JESUS ANGEL RUIZ VELEZ
Algebra Lineal
Catedrático:
Ing. Josué Mancilla Cerezo
2° “A”
DESARROLLO
En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un
espacio vectorial con producto interno, otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
Conjuntos de vectores ortogonales y ortonormales, son ortogonales si u ⋅ v = 0. Geométricamente esto significa que el ángulo entre u y v es π/2
radianes o equivalentemente de 90 grados.
A partir de una base cualquiera puede calcularse, una base

ortogonal utilizando el método de Gram-Schmidt,
consiste en ir modificando los vectores dados
convenientemente para que cada uno sea ortogonal
con los anteriores.
¿Cómo se obtiene la base ortonormal?
Construcción
• 1.-Escoger arbitrariamente un par de vectores, por ejemplo v1 y v2.
• 2.-Calcular la proyección ortogonal de v2 sobre v1.
• 3-Tomar otro vector v3 y calcular su proyección ortogonal sobre el subespacio
• 4.-vectorial de V generado por v1 y v2.
• 5.-Se sigue el proceso de la misma manera con v4, v5.

El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe
un único numero complejo (U,V), llamado el producto interior de U y V, tal que si U, V y W están en V y si α ∈c.
(v,v)≥0
(v,v)=0
(u,v+w)=(u,v)+(u,w)
(u+v,w)=(u,w)+(v,w)
(u,v)=(v,u)
(αu,v)=α(u,v)
(u,αv)=α(u,v)
Sea V un espacio con producto interior y supongamos que u y v están en V.
ENTONCES:
U y V son ortogonales si ( U , V )= 0
La norma de U denota por U, esta dada por: U = √ ( U , U )
Es el conjunto de vectores [v1, v2 , Vn] es un conjunto ortonormal en V. Cualquier conjunto finito y linealmente independiente en un
espacio con un producto interior puede transformarse en un conjunto ortonormal por medio del proceso de Gram-Schmidt.
Conjuntos ortogonales y ortonormales
Recuerda que V es un espacio vectorial sobre R con producto interior, así
que induce una norma ‖⋅‖.
Definición. Sea S un conjunto de vectores en V. Decimos que S es
• Ortogonal si cualquier par de vectores distintos de S es ortogonal, es
decir, si para todo v,w en S, con v≠w se tiene que⟨v,w⟩=0.
• Ortonormal si es ortogonal, y además todo vector de S tiene norma 1.
En otras palabras, S es ortonormal si para todo v en S se tiene ⟨v,v⟩=1 y
para v y w en S distintos se tiene ⟨v,w⟩=0.
Bases ortogonales y ortonormales
Cuando una base de un espacio vectorial es ortogonal (o bien, ortonormal), pasan varias cosas buenas. Esto amerita una definición por separado.
Definición. Sea S un conjunto de vectores en V. Decimos que S es:
•Una base ortogonal si S es una base de V y es un conjunto ortogonal.

•Una base ortonormal si S una base de V y es un conjunto ortonormal.
• Ejemplo. En la base canónica es una base ortonormal.
• En el conjunto S={(2,3),(9,−6)} es un conjunto ortogonal. Además, se puede verificar fácilmente que son dos vectores linealmente independientes. De este modo, S es una base
ortogonal.
Sin embargo, S no es una base ortonormal pues el primero de ellos tiene norma 22+32=13. Si quisiéramos convertir a S en una base ortonormal, podemos normalizar a cada uno de sus
elementos.
En la sección anterior vimos que los conjuntos ortonormales son linealmente independientes. Otro corolario de este resultado es lo siguiente.
Corolario. En un espacio Euclidiano de dimensión n, un conjunto ortonormal de n vectores es una base ortonormal.
La importancia de las bases ortogonales yace en que dada una base ortonormal B y un vector v, podemos encontrar varias propiedades de v en términos de B fácilmente. Por ejemplo, veremos
más adelante que:
•Las coordenadas de v con respecto a la base B son sencillas.

•Hay una fórmula simple para la norma de v en términos de sus coordenadas en la base B.
•Si B es una base de un subespacio W de V, entonces es fácil encontrar la distancia de v a W.
Mejor aún, las bases ortonormales siempre existen.
EJEMPLOS:
• Ortogonalidad
Se dice que dos vectores u y v son ortogonales si el producto interno de ellos

es igual a cero. Es decir (u, v) = 0. Ortogonal significa que el ángulo entre
los vectores es de 90°.Ejemplo: determine si los vectores u= (2, -3) v =
(3,2) son ortogonales. El producto interno de ellos es (u, v)= (2)(3)+(-3)
(2)=6-6 = 0, por lo tanto los vectores son ortogonales ya que su producto
interno es igual a cero.
• Decimos que B={, } es una base ortogonal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si. Es decir, y forman
un ángulo de 90∘.
Ejemplo
=(3,0), =(0,−2) forman una base ortogonal ya que el producto escalar entre ellos es cero y ésta es una condición suficiente
para ser perpendiculares:
=3⋅0 + 0⋅(−2)=0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Decimos que B={, } es una base ortonormal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si y tienen módulo 1.
Es decir, y forman un ángulo de 90∘ y ||=1, ||=1.
Ejemplo
(1,0), =(0,−1) forman una base ortonormal ya que los vectores son perpendiculares (su producto escalar es cero) y ambos
vectores tienen módulo 1.
Perpendicularidad: ⋅= 1⋅0 + 0⋅(−1)=0.
Vectores unitarios: ||=12+02=1=1, ||=02+(−1)2=1=1.
CONCLUSIÓN
Como bien sabemos y tenemos mas en claro el significado del tema “BASE ORTONORMAL,
PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT”, se basa en un resultado de
geometría euclidea, el cual establece la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, de igual
manera el algoritmo que se utiliza para poder construir parte de el conjunto de vectores en el cual
existe un espacio de vectores con producto interno.
Estos conceptos son importantes tanto para espacios
de dimensión finita como de dimensión infinita.
No obstante, en la vida cotidiana podemos
encontrar como bien sabemos las proyecciones
ortogonales aplicadas en el dibujo Industrial,
en el dibujo arquitectónico y en los planos de edificios.
Pero más en general están en la base de los sistemas de coordenadas cartesianas de manera que
todo lo que emplea matemáticas o sea toda la ciencia y la técnica hace uso diario de proyecciones
ortogonales.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TEPEACA

A partir de una base cualquiera puede calcularse, una base

¿Cómo se obtiene la base ortonormal?

• 1.-Escoger arbitrariamente un par de vectores, por ejemplo v1 y v2.

• 2.-Calcular la proyección ortogonal de v2 sobre v1.

• 3-Tomar otro vector v3 y calcular su proyección ortogonal sobre el subespacio

• 4.-vectorial de V generado por v1 y v2.

• 5.-Se sigue el proceso de la misma manera con v4, v5.

La norma de U denota por U, esta dada por: U = √ ( U , U )

Definición. Sea S un conjunto de vectores en V. Decimos que S es:

•Una base ortogonal si S es una base de V y es un conjunto ortogonal.

• Ejemplo. En la base canónica es una base ortonormal.

•Las coordenadas de v con respecto a la base B son sencillas.

Se dice que dos vectores u y v son ortogonales si el producto interno de ellos

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