Base Ortonormal

Objetivos
El siguiente trabajo busca estudiar y aprender que es la base de ortonormalizacion, y la base

octogonal y el proceso de ortornormalizacion de GramSchmidt que permite construir de
una lista de vectores (a1, . . . , an ) a una lista ortogonal (b1, . . . , bn )que genere al
mismo subespacio.
Introduccion
En esta seccion suponemos que V es un espacio vectorial complejo o real con un producto
interno. En el caso complejo suponemos que el producto interno es lineal con respecto al
segundo argumento.
Aqu se encuentran los conceptos principales para el entendimiento de la base ortonormal y

todos los procesos que se llevan a cabo para la ortornormalizacion de Gram-Schmidt
Y algunos ejemplos de su aplicacion.

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalizacin de
Gram-Schmidt.
Una base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno(producto escalar) en el
que los elementos son mutuamente ortogonales y normales ,es decir, de magnitud unitaria.
Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es
muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto
por un escalar apropiado y una base ortonormal se transforma: por medio de una base
ortogonal.
As, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma(longitud o magnitud
del vector) de cada elemento que la compone es unitaria.
Las bases ortonormales estn formadas por vectores ortogonales y unitarios. La base de la
figura es la base cannica del espacio R3 formada por 3 vectores unitarios y ortogonales,
(1,0,0) (0,1,0) y (0,0,1,).
Los vectores que forman una base ortonormal son perpendiculares entre s, y adems tienen
de mdulo la unidad.
Definicin. Longitud y norma.
Longitud: norma o mdulo de un vector u, y se representa por |||| | |, a la raz cuadrada
positivo del producto escalar a la raz cuadrada positivo del producto escalar o , es decir,
Propiedades de la norma.
Conjunto ortonormal en Rn
Se dice que un conjunto de vectores S= {u1, u2, , uk} en Rn es un conjunto ortonormal si
(1) (2).
Si solo satisface la ecuacin (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

Si u, v y w en Rn y es un nmero real, entonces (3) (4) (5) (6) (7).
Si vRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, est dada por (8)
Nota: Si entonces: v*v= Esto significa que (9)

.
De esta forma se puede obtener la raz cuadrada en (8), y se tiene (10) (11)
TEOREMA: si S= es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero,

entonces S es linealmente independiente.
Suponga que
Entonces, para cualquier i=1,2,,k
Como v0 por hiptesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,,k, lo que
completa la prueba.
Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt
Sea H un subespacio de dimensin m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal.
Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo una base
ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasos para esta construccin, se
observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no
contiene al vector cero.
Paso 1: Eleccin del primer vector unitario
Sea (12)
Entonces
De manera que |u|=1.
Paso 2: Eleccin de un segundo vector ortogonal a u.
Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este
caso es la proyeccin de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.
Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v estn en Rn para cualquier n2.
Obsrvese que como u es un vector unitario, para cualquier vector v.
Sea(13) entonce
s de manera que v es
ortogonal a u. ms aun, por el teorema, u y v son linealmente independientes. v0 porque
de otra manera lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3: Eleccin de un segundo vector unitario.
Sea (14) entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.
Suponga que se han construido los vectores u1, u2,,uk(k<m) y que forman un conjunto
ortonormal. Se mostrara como construir uk+1.
Paso 4: Continuacin del proceso.
Sea (15) entonces para
i=1,2,,k
Pero Por lo
tanto, .
As, es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y vk+10.

Paso 5
Sea
Entonces es claro que es un conjunto ortonormal y se puede

continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.
Nota: Como cada u es una combinacin lineal de vectores v, gen es un

subespacio de gen y como cada espacio tiene dimensin k, los espacios
son iguales.
Es posible transformar cualquier base en R (no ortogonal y, por lo tanto, no ortonormal) en
una base ortonormal usando el proceso de ortonormalizacin de Gram Schmidt. Este
mtodo fue desarrollado por Jorgen Gram (1850-1916), actuario dans, y Erhardt Schmidt
(1876-1959), matemtico alemn.
Las frmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), as

como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales.
Consideremos el proceso para n = 3.
Sean los vectores . Obtendremos una base ortonormal a

partir de estos vectores.
Primer paso.
Obtener un primer vector unitario
Segundo paso.
Tercer paso.
Cuarto paso.
Quinto paso.
BIBLIOGRAFIA
George Nakos y David Joyner, lgebra Lineal con Aplicaciones, Primera

edicin en espaol , Thomson Editores. (1999)
George Nakos y David Joyner, lgebra Lineal con Aplicaciones, Primera

edicin en espaol , Thomson Editores. (1999)
Stanley I. Grossman, Aplicaciones del Algebra Lineal, Grupo Editorial

Iberoamrica, 2a. Edicin.

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Objetivos

El siguiente trabajo busca estudiar y aprender que es la base de ortonormalizacion, y la base

Aqu se encuentran los conceptos principales para el entendimiento de la base ortonormal y

Y algunos ejemplos de su aplicacion.

Si solo satisface la ecuacin (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

Nota: Si entonces: v*v= Esto significa que (9)

TEOREMA: si S= es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero,

Paso 2: Eleccin de un segundo vector ortogonal a u.

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este

caso es la proyeccin de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Obsrvese que como u es un vector unitario, para cualquier vector v.

de otra manera lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Sea (15) entonces para

As, es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y vk+10.

Entonces es claro que es un conjunto ortonormal y se puede

Nota: Como cada u es una combinacin lineal de vectores v, gen es un

Las frmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), as

Consideremos el proceso para n = 3.

Sean los vectores . Obtendremos una base ortonormal a

George Nakos y David Joyner, lgebra Lineal con Aplicaciones, Primera

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Stanley I. Grossman, Aplicaciones del Algebra Lineal, Grupo Editorial

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