Espacio Vectorial Con Producto Interno

4.
5 Espacio vectorial con producto

interno y sus propiedades.
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si
para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo
nico (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w estn en
V y C, entonces
La barra es las condiciones V y VII denota el conjugado complejo.

Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la
barra en v).
EJEMPLO: Producto interno de dos vectores en C3

En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estn en V.
entonces
Nota 1. Aqu se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar
confusin con el valor absoluto. Por ejemplo sen t denota la norma
de sen t como un vector en C[0, 2] mientras que |sen t| denota el
valor absoluto de la funcin sen t.
Nota 2. La ecuacin anterior tiene sentido ya que (u, u)0.
EJEMPLO: Dos vectores ortogonales en C2

En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque
Conjunto ortonormal
El conjunto de vectores
es un conjunto ortonormal en V si
y
Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: Cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de
cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.
TEOREMA: Cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio
con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el
proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto
interno tiene una base ortonormal.
Proyeccin ortogonal
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal
Si vV, entonces la proyeccin ortonormal de v sobre H denotada por proyHv

est dada por (6)
Las demostraciones
contrapartes en Rn.
de
los
siguientes
teoremas
son
idnticas
sus
TEOREMA: sea H un subespacio de dimensin finita con producto interno V.

suponga que H tiene dos bases ortonormales
Sea vV. entonces:
Complemento ortogonal
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el
complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)
TEOREMA: Si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces
TEOREMA DE PROYECCIN: Sea H un subespacio de dimensin finita del

espacio con producto interno V y suponga que vV. entonces existe un par
nico de vectores h y p tales que hH, pH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.
Si V tiene dimensin finita, entonces p=proyHv.
TEOREMA: Sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios
linealmente independientes si y solo si multiplicidad geomtrica de cada valor
propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores
propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos
(ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).
4.6 Base ortonormal, proceso de

ortonormalizacin de Gram-Schmidt.
Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden
no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base
ortogonal.
Recurdese que dos vectores u y v en

si u v = 0.
son ortogonales si y slo
Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en

, y se quiere verificar
que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones
de los productos punto:
uv , uw , vw
EJEMPLO 1:
Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), son un
conjunto ortogonal?
Al realizar los productos punto
uv=0 , uw=0 , vw=0
Nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de
vectores es ortogonal.
Un conjunto de n vectores en
El conjunto es base de
Es un conjunto ortogonal.
es una base ortogonal si:

y
Ejemplo 2:
Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos
determinar si son una base ortogonal de
Son 3 vectores en
, se forma la matriz
cuyo determinante detA = 24 (diferente de cero) , lo que implica que los

vectores son linealmente independientes, y el conjunto es base de
Realizamos los productos punto y obtenemos que
u v = 0,
uw=0
vw=0
por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.
Un conjunto de n vectores en
es una base ortonormal si:
El conjunto es base de
Es un conjunto ortogonal y
Sus vectores son unitarios
EJEMPLO 3:
En el ejemplo 2 se determin que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w =

(1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere saber si son base ortonormal,
esto es, hay que calcular sus magnitudes.
Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto no es una base

ortonormal.
Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la misma

direccin de un vector dado, dividindolo entre su magnitud:
Vector unitario =
Se dice que el nuevo vector est normalizado.
EJEMPLO 4:
Al normalizar los vectores de la base ortogonal de los ejemplos 2 y 3 ,
u =
v =
w=
se obtiene una nueva base ortonormal.
EJEMPLO 5:
Sean los vectores
. Forman estos vectores
una base ortonormal en
Son tres vectores en

, y la matriz
que obtenemos al poner los
vectores como columnas es la matriz identidad, cuyo determinante vale
1. Esto implica que los vectores forman una base en
Los productos punto

son todos cero.
vectores unitarios, por lo que la base es ortonormal.
A esta base de
Y los tres son
se le conoce como la base cannica.
Proceso de ortonormalizacin de Gram - Schmidt
Es posible transformar cualquier base en

(no ortogonal y, por lo tanto, no
ortonormal) en una base ortonormal usando el proceso de ortonormalizacin de
Gram Schmidt. Este mtodo fue desarrollado por Jorgen Gram (1850-1916),
actuario dans, y Erhardt Schmidt (1876-1959), matemtico alemn.
Las frmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios),

as como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores
ortogonales.
Consideremos el proceso para n = 3.

Sean los vectores
,
y
una base de
ortonormal a partir de estos vectores.
. Obtendremos una base
Primer paso.
Obtener un primer vector unitario
Segundo paso.
Obtener un vector
ortogonal a
Tercer paso.
Normalizar
Cuarto paso.
Obtener un vector
ortogonal a
y a
Quinto paso.
Normalizar
Ejemplo 5.
Considere los vectores
= (1, 0, 1),
= (0, 1, 1) y
= (1, 0, 0) base
de
. Transformar esta base en una base ortonormal por el proceso de Gram
Schmidt.
Primer paso.
Obtener un primer vector unitario
Segundo paso.
Obtener un vector
ortogonal a
Tercer paso.
Normalizar
Cuarto paso.
Obtener un vector
ortogonal a
y a
Quinto paso.
Normalizar
Finalmente, el conjunto de vectores

de
, y
es una base ortonormal

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4.

5 Espacio vectorial con producto

La barra es las condiciones V y VII denota el conjugado complejo.

EJEMPLO: Producto interno de dos vectores en C3

EJEMPLO: Dos vectores ortogonales en C2

Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

Si vV, entonces la proyeccin ortonormal de v sobre H denotada por proyHv

TEOREMA: sea H un subespacio de dimensin finita con producto interno V.

Sea vV. entonces:

TEOREMA: Si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIN: Sea H un subespacio de dimensin finita del

4.6 Base ortonormal, proceso de

Recurdese que dos vectores u y v en

son ortogonales si y slo

Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en

Al realizar los productos punto

uv=0 , uw=0 , vw=0

es una base ortogonal si:

cuyo determinante detA = 24 (diferente de cero) , lo que implica que los

Realizamos los productos punto y obtenemos que

por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.

es una base ortonormal si:

Sus vectores son unitarios

En el ejemplo 2 se determin que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w =

Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto no es una base

Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la misma

Se dice que el nuevo vector est normalizado.

Al normalizar los vectores de la base ortogonal de los ejemplos 2 y 3 ,

se obtiene una nueva base ortonormal.

. Forman estos vectores

una base ortonormal en

Son tres vectores en

Los productos punto

Y los tres son

se le conoce como la base cannica.

Proceso de ortonormalizacin de Gram - Schmidt

Es posible transformar cualquier base en

Las frmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios),

Consideremos el proceso para n = 3.

. Obtendremos una base

Finalmente, el conjunto de vectores

es una base ortonormal

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