VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION

1. Método del disco

 𝑦
2
𝑉
  𝑘 𝜋 𝑟 𝑘 ∆𝑘 𝑥

𝑉  𝑘  𝑦=𝑓 ( 𝑥) 𝑛 𝑛
  2 2
𝑉 ∑ 𝜋 𝑟 𝑘 ∆ 𝑘 𝑥=∑ 𝜋 ( 𝑓 ( 𝑥 𝑘 ) ) ∆ 𝑘 𝑥
𝑘=1 𝑘=1

𝑛
  2
𝑟 𝑘 𝑉 = lim ∑ 𝜋 ( 𝑓 ( 𝑥𝑘 )) ∆𝑘 𝑥
𝑛 →+∞ 𝑘=1
𝑎  ∆  𝑘 𝑥 𝑏   𝑥
𝑏
  2
𝑉 =𝜋 ∫ ( 𝑓 ( 𝑥 ) ) 𝑑𝑥
𝑎
∆  𝑘 𝑥
OBSERVACION

  f y g son dos funciones continuas en el intervalo , cuyas graficas se encuentran a un mismo lado de la
Si
recta y=c talque:

 𝑦

 𝑦= 𝑓 ( 𝑥 )
𝑏
  2 2
𝑉 =𝜋 ∫ {[ 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑐 ] − [ 𝑔 ( 𝑥 ) − 𝑐 ] } 𝑑𝑥
𝑎
𝑎  𝑏   𝑥
 𝑦=𝑔 ( 𝑥 )
 𝑦=𝑐
EJEMPLO
 Calcular el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de la región limitada por
las gráficas:
a) , , ,

SOLUCIÓN
 𝑦 𝑥
 𝑦  𝑦= 𝑒 1
  2𝑥
𝑉 =𝜋 ∫ 𝑒 𝑑𝑥
𝑥
 𝑦= 𝑒 0

1 2𝑥 1
  =𝜋
𝑉
[ 2
𝑒
]
0

𝜋 2
  =
𝑉 ( 𝑒 − 1 ) 𝑢3
1   𝑥 2

1   𝑥
EJEMPLO

 
Calcular el volumen del solido de revolución generada al rotar la región limitada por , , x=2 que gira
alrededor del eje x
SOLUCION

 𝑦
2
 𝑦=𝑥
1 2
𝑥=2
    2 2 2 2 2 2
𝑉 =𝜋 ∫ [ ( √ 𝑥 ) − ( 𝑥 ) ] 𝑑𝑥 +𝜋 ∫ [ ( 𝑥 ) − ( √ 𝑥 ) ] 𝑑𝑥
0 1

1 2
  4 4
𝑉 =𝜋 ∫ 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥+ 𝜋 ∫ 𝑥 − 𝑥𝑑𝑥
 𝑦= √ 𝑥
0 1

  3𝜋 47 𝜋
𝑉= +
1  2   𝑥 10 10

  = 50 𝜋 𝑢3
𝑉
10
 EJEMPLO

 
Calcular el volumen del solido de revolución generada al rotar la región limitada por , , x=1 , x=0 que gira
alrededor del eje y

SOLUCION 𝑏
  2 2
 𝑦 𝑉 =𝜋 ∫ {[ 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑐 ] − [ 𝑔 ( 𝑥 ) − 𝑐 ] } 𝑑𝑥
𝑎

3
 𝑦= 𝑥
1
 𝑉 =𝜋 { [ 𝑥3 +2 ]2 − ( 𝑥 − 1 ) +2 2 } 𝑑𝑥
 𝑦= √ 𝑥 − 1 ∫ [√ ]
0
<
1   𝑥
  = 97 𝜋 𝑢3
𝑉
42
−2
 
2. Método de la corteza cilíndrica

𝑦  ∆
  𝑘 𝑥 = 𝑥𝑘 − 𝑥 𝑘 − 1
2 2
𝑉
  𝑘 = 𝜋 𝑥 𝑘 𝑓 ( 𝜉 𝑘 ) − 𝜋 𝑥 𝑘 −1 𝑓 ( 𝜉𝑘 )
𝑓  ( 𝜉𝑘 )
 𝑦=𝑓 ( 𝑥 ) 2 2

<<   𝑘 = 𝜋 𝑓 ( 𝜉 𝑘 ) [ 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘 −1 ]
𝑉

𝑉
  𝑘 = 𝜋 𝑓 ( 𝜉 𝑘 ) [ 𝑥 𝑘 + 𝑥𝑘 −1 ][ 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘 −1 ]

  =2 𝜋 𝑓 ( 𝜉 ) [ 𝑥 𝑘 + 𝑥 𝑘 −1 ]
<< 𝑉 𝑘 𝑘 [ 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘 −1 ]
𝑥  𝑘 −1 𝑥  𝑘 2
𝑎  𝑏  𝑥 
𝑉
  𝑘 =2 𝜋 𝑓 ( 𝜉 𝑘 ) 𝜉 𝑘 ∆𝑘 𝑥
𝑛
 
𝑉 ∑𝑉𝑘
𝜉  𝑘 𝑘=1
𝑉  𝑘 𝑛
 
𝑉 ∑ 2 𝜋 𝑓 (𝜉𝑘 ) 𝜉𝑘 ∆𝑘 𝑥
𝑘=1
𝑛 𝑏
 
𝑉 = lim ∑ 2 𝜋 𝑓 ( 𝜉 𝑘 ) 𝜉 𝑘 ∆𝑘 𝑥=2 𝜋 ∫ 𝑥𝑓 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
𝑛 →+∞ 𝑘=1 𝑎
 𝑦 
OBSERVACION
  Si la región que gira alrededor del eje x=c esta limitada por
1.  𝑦=𝑓 ( 𝑥)
las funciones , , x=a , x=b y el eje de giro esta a la izquierda
de la región:  𝑦=𝑔 (𝑥 )
𝑥  − 𝑐
𝑏
 
𝑉 =2 𝜋 ∫ ( 𝑥 − 𝑐 ) [ 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑔 ( 𝑥 ) ] 𝑑𝑥 , 𝑥 ∈ [ 𝑎 , 𝑏 ] 𝑐  𝑎  𝑥  𝑏  𝑥 
𝑎

𝑦 
  Si la región que gira alrededor del eje x=c esta limitada por las
2.
funciones , , x=a , x=b y el eje de giro esta a la derecha de la
región:  𝑦=𝑓 ( 𝑥)

𝑏
   𝑦=𝑔 (𝑥 )
𝑉 =2 𝜋 ∫ ( 𝑐 − 𝑥 ) [ 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑔 ( 𝑥 ) ] 𝑑𝑥 , 𝑥 ∈ [ 𝑎 , 𝑏 ]
𝑎 𝑐  − 𝑥 𝑥 
𝑎  𝑥  𝑏  𝑐 
 EJEMPLO

 
Hallar el volumen del solido engendrado al girar sobre el eje Y, la región limitada por la curva , el eje x y la
recta x=3 𝑏
 
𝑉 =2 𝜋 ∫ 𝑥𝑓 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
SOLUCION 𝑎
3
  3
𝑉 =2 𝜋 ∫ 𝑥 ( 𝑥 − 2 ) 𝑑𝑥
2
𝑦  3
 𝑦=( 𝑥 − 2 )
  +2 7𝜋 3
  =
𝑉 𝑢
1  5

𝑏
  ∗ 2 ∗ 2
2  3  𝑥  𝑉 =𝜋 ∫ [ 𝑓 ( 𝑦 ) −0 ] − [ 𝑔 ( 𝑦 ) −0 ] 𝑑𝑦
𝑎
1
  3+2   2 3 2
𝑉 =𝜋 ∫ [ 3 − 0 ] − [( √ 𝑦 +2)− 0 ] 𝑑𝑦
  1 0

  = 7𝜋 3
 1 𝑉 𝑢
5
 EJEMPLO

 
Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por las graficas de: , , alrededor de la
recta y=3.
𝑦 
SOLUCION
 Completando cuadrados en
2
  33 3
𝑥 − =− 𝑦 +
4 2 ( ) 3 
1.4
 
  = 33 , − 3
𝑉 (
4 2 ) 1 

Intercepto con el eje y 3  6  33 𝑥 

3  
2 −  4
 𝑦 +3 𝑦 −6=0 2
 𝑦= −3 ± √ 33 −3
 
2
2
Intercepto de la parábola y la recta: −
  𝑦 − 3 𝑦+6=3 − 𝑦 1
2
  2
𝑉 =2 𝜋 ∫ (3 − 𝑦 ¿) [ ( 6 − 3 𝑦 − 𝑦 ) − ( 3 − 𝑦 ) ] 𝑑𝑦 ¿
 𝑦 +2 𝑦 −3=0 −3

 𝑦=− 3   = 256 𝜋 𝑢 3
𝑉
 𝑦=1 3
 EJEMPLO

 
Hallar el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por las graficas de: , , x=0, x=3 alrededor de
la recta .

𝑦  2
 𝑦= 𝑥 + 1 𝑏
 
𝑉 =2 𝜋 ∫ ( 𝑥 − 𝑐 ) [ 𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑔 ( 𝑥 ) ] 𝑑𝑥 , 𝑥 ∈ [ 𝑎 , 𝑏 ]
𝑎

 𝑦= √ 𝑥 3
1    2
𝑉 =2 𝜋 ∫ ( 𝑥+1 ) [ ( 𝑥 +1 ) − √ 𝑥 ] 𝑑𝑥
0

−1
  3  𝑥    735 − 112 √ 3
( 10 )
𝜋 𝑢3

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