S2-PPT-Magnitudes Proporcionales

COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS
Magnitudes Proporcionales
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
La carga máxima que puede soportar una columna con sección circular varía
en forma directa con la cuarta potencia del diámetro de esta e inversamente
proporcional con el cuadrado de su altura.
Una columna de 9 metros de altura y diámetro de 1 metro, soportará 8

toneladas métricas.
¿Cuántas toneladas métricas soportará

una columna de 12 metros de alto y
diámetro de 2/3 de metro?
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
Quince arquitectos pueden hacer 30 maquetas urbanísticas en 18

días.
Determine ¿cuántos días demoraran 10 arquitectos de doble
eficiencia en hacer 40 maquetas, si la dificultad es la tercera parte de
la anterior?
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante usa la regla de tres y proporción

áurea, en la resolución de problemas de proporcionalidad relacionados a su
especialidad, identificando el tipo de relación proporcional existente, Sigue un
proceso lógico fundamentado en la obtención de la solución y muestra sus cálculos
con orden y pertinencia.

SABERES PREVIOS
Debes recordar los siguientes temas:

✔Simplificación de fracciones.
✔Resolución de ecuaciones lineales.
✔Operaciones Básicas.
TEMARIO
❖ Razón.
❖ Proporción.
❖ Magnitud:
⮚ Magnitud directa e inversa.
⮚ Relación entre magnitudes.
⮚ Propiedades.
❖ Regla de tres:
⮚ Simple – Compuesta.
❖ Solución de la situación problemática.
❖ Evaluación de clase.
1. RAZÓN
Es el resultado de comparar dos cantidades, por medio de una

diferencia o un cociente.
1. Por Diferencia: 2. Por Cociente:

“Razón Aritmética” “Razón Geométrica”
Ejemplo: Ejemplo:
12 – 5 = 7
2. PROPORCIÓN
Proporción Aritmética: Proporción Geométrica:

Es la comparación de dos Es la comparación de dos
razones geométricas iguales, en
razones aritméticas iguales, en la
la cual se cumple la siguiente
cual se cumple la siguiente propiedad fundamental: “El
propiedad fundamental: “La producto de los términos medios
suma de los términos medios es es igual al producto de los
igual a la suma de los extremos”, extremos”, o sea:
o sea:
medio
s
medios
extremos
extremos
3. MAGNITUD
Es
Estoda
todapropiedad
propiedadde
de
los
loscuerpos
cuerposque
quepuede
puede
ser
sermedida.
medida.
3.1 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si al aumentar o disminuir una de las magnitudes, la otra también

aumenta o disminuye en la misma proporción.
NÚMERO DE
COSTO TOTAL
CELULARES
$ 1440
3.1 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Magnitud:
Nivel del Magnitud:
líquido Volumen
(A) Nivel del líquido (cm) 3 6 9

(B) Volumen (dl) 1 2 3
Si A es DP a B entonces:
3 6 9 Constante de
= = =
1 2 3 3 proporcionalidad
(K)
3.2 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta

en proporción inversa.
NÚMERO DE NÚMERO DE
OBREROS DÍAS
DIÁ DIÁ DIÁ

1 2 3
DIÁ DIÁ DIÁ

4 5 6
3.2 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Magnitud:
Magnitud: Tiempo
Velocidad
(A) Velocidad (km/h) 5 10 30

(B) Tiempo (h) 12 6 2
Si A es IP a B entonces:
(5x12) = (10x6) = (30x2) = 60
Constante de
proporcionalidad (K)
RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
1. Magnitudes Directamente Proporcionales (D. P.)

Dos magnitudes se llaman directamente proporcionales por que
el cociente de sus valores correspondientes es una cantidad
constante.
Ejercicio:
Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, entonces si A =

90, B = 30, hallar B cuando A = 21.
RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
2. Magnitudes Inversamente Proporcionales (I. P.)

Dos magnitudes se llaman inversamente proporcionales, cuando el
producto de sus valores correspondientes es una cantidad
constante.
Ejercicio:
Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, entonces si A =

40, B = 30, hallar A cuando B = 15.
EJEMPLOS DE MAGNITUDES DP – IP
Obreros D.P. Obra
Obreros I.P. Tiempo
Tiempo D.P. Obra
Dificultad I.P. Obra
Dificultad D.P. Tiempo
Tiempo I.P. Eficiencia

PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES
1. Si una magnitud A es D.P. con otra B y también con C, entonces A

será D.P. al producto (B×C), es decir:
1. Si una magnitud A es I.P. con otra B y también con C, entonces A

será I.P. al producto (B×C), es decir:
1. Si una magnitud A es D.P. con B y A es I.P. con C, entonces A es

D.P. con B/C, es decir:
PROBLEMA
Suponiendo que el precio de los terrenos varía D.P. a su área

e I.P. a la distancia que lo separa de una ciudad A.
En estas condiciones un terreno de forma cuadrada que se
encuentra a 180 Km. al sur de esta ciudad está
valorizada en S/ 5 000. ¿Qué precio tendría un terreno de
forma cuadrada cuyo lado sea la tercera parte del anterior
y se encuentra a 100 Km. de esta ciudad?
S0LUCIÓN:
3.3 REGLA DE TRES
La regla de tres es una forma de resolver problemas de

proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita. En ella
se establece una relación de linealidad(proporcionalidad) entre los
valores involucrados.
3.3.1 REGLA DE TRES SIMPLE
Es una forma de resolver problemas de

proporcionalidad entre tres valores conocidos y una
incógnita, estableciendo una relación de
proporcionalidad entre todos ellos. En la regla de tres
simple se establece, por tanto, la relación de
proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B , y
conociendo un tercer valor C, se calcula un cuarto
valor ”x”.
Será directa cuando, dentro de esa proporcionalidad, a un mayor

valor de A le corresponda también un mayor valor de B (o a un menor
valor de A le corresponda un menor valor de B), y será inversa,
cuando a un mayor valor de A le corresponda un menor valor de B (o
a un menor valor de A le corresponda un mayor valor de B).
PROBLEMA. EJEMPLO 1
Para cubrir de cerámica un piso se necesitan 200 baldosas cuadradas de 8

cm de lado. ¿Cuántas unidades se necesitarán para cubrir la misma
superficie si se utilizaran baldosas cuadradas de 16 cm de lado?
PROBLEMA – EJEMPLO 2
Se sabe que 6 arquitectos pueden realizar el mantenimiento a 14

esculturas arquitectónicas. Si se incorporan 9 de ellos más, ¿a cuántas
esculturas se podrán realizar el mantenimiento, en el mismo tiempo que
en la situación anterior?
SOLUCIÓN: NÚMERO DE DP NÚMERO DE

ARQUITECTOS ESCULTURAS
6 14
15 X
Se cumple:
(6).(X) = (15).(14)
Se podrán realizar
(15).(14) mantenimiento a 35
X= = 35 esculturas.
(6)
PROBLEMA - EJEMPLO
Una empresa constructora tiene 3 ingenieros civiles, los cuales

pueden terminar en 6 días el diseño del plano de un condominio que
piensan construir. ¿Cuántos días tardarían si solo trabajaran 2
ingenieros civiles?
SOLUCION: NÚMERO DE IP NÚMERO DE

INGENIEROS DÍAS
3 6
2 X
Se cumple:
(3).(6) = (2).(X)
Dos ingenieros
(3) . (6) podrán terminar el
X= =9 diseño en 9 días.
(2)
3.3.3 REGLA DE TRES COMPUESTA
MÉTODO DE LOS SIGNOS
Con este método se resuelven cualquier tipo de problemas de Regla

de tres Compuesta, para lo cual se debe tomar en cuenta las
siguientes características:
❖ Forman las proporciones a partir del planteo.
❖ Ubicar los términos en la ecuación mediante la ayuda de los signos
(+) y (-).
❖ Los signos (+) multiplican en el numerador y signos (-) multiplican
en el denominador.
PROBLEMA - EJEMPLO
300 obreros pueden hacer 600 metros de pista en 30 días, 700

obreros. ¿Cuántos metros de pista podrán hacer en 15 días?
Solución:
OBREROS LONGITUD DIAS
300 (-) 600 (+) 30(-)
700 (+) x (-) 15(+)
Rpta:
Podrán hacer 700m de
pista
PROBLEMA
Tres hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 m de una obra

en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas
diarias para hacer 60 metros de la misma obra?
PROPORCIÓN AUREA
La proporción áurea es un número irracional que descubrieron

pensadores de la Antigüedad al advertir el vínculo existente entre dos
segmentos pertenecientes a una misma recta.
PROPORCIÓN AUREA - ARQUITECTURA
El Templo de Ceres en Paestum (460

a.C.) tiene su fachada construida
siguiendo un sistema de triángulos
áureos, al igual que los mayores
templos griegos, relacionados, sobre
todo, con el orden dórico.
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
Será desarrollado por los estudiantes con la guía del docente

EVALUACIÓN DE CLASE
Forman equipos de trabajos (máx. 4 integrantes) para medir el logro de la

sesión de clase, cuyos ítems (los mismos ejercicios y problemas para todos
los grupos) serán tomados de la hoja de trabajo.
Material elaborado para uso exclusivo del curso de
Complementos de Matemática para Arquitectura y Diseño,
2020 – 1.
Universidad Privada del Norte

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COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICAS

Una columna de 9 metros de altura y diámetro de 1 metro, soportará 8

¿Cuántas toneladas métricas soportará

Quince arquitectos pueden hacer 30 maquetas urbanísticas en 18

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante usa la regla de tres y proporción

Debes recordar los siguientes temas:

Es el resultado de comparar dos cantidades, por medio de una

1. Por Diferencia: 2. Por Cociente:

Proporción Aritmética: Proporción Geométrica:

Si al aumentar o disminuir una de las magnitudes, la otra también

(A) Nivel del líquido (cm) 3 6 9

Si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta

DIÁ DIÁ DIÁ

DIÁ DIÁ DIÁ

(A) Velocidad (km/h) 5 10 30

1. Magnitudes Directamente Proporcionales (D. P.)

Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, entonces si A =

2. Magnitudes Inversamente Proporcionales (I. P.)

Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, entonces si A =

Obreros D.P. Obra

Obreros I.P. Tiempo

Tiempo D.P. Obra

Dificultad I.P. Obra

Dificultad D.P. Tiempo

Tiempo I.P. Eficiencia

1. Si una magnitud A es D.P. con otra B y también con C, entonces A

1. Si una magnitud A es I.P. con otra B y también con C, entonces A

1. Si una magnitud A es D.P. con B y A es I.P. con C, entonces A es

Suponiendo que el precio de los terrenos varía D.P. a su área

La regla de tres es una forma de resolver problemas de

Es una forma de resolver problemas de

Será directa cuando, dentro de esa proporcionalidad, a un mayor

Para cubrir de cerámica un piso se necesitan 200 baldosas cuadradas de 8

Se sabe que 6 arquitectos pueden realizar el mantenimiento a 14

SOLUCIÓN: NÚMERO DE DP NÚMERO DE

Una empresa constructora tiene 3 ingenieros civiles, los cuales

SOLUCION: NÚMERO DE IP NÚMERO DE

MÉTODO DE LOS SIGNOS

Con este método se resuelven cualquier tipo de problemas de Regla

300 obreros pueden hacer 600 metros de pista en 30 días, 700

Tres hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 m de una obra

La proporción áurea es un número irracional que descubrieron

El Templo de Ceres en Paestum (460

Será desarrollado por los estudiantes con la guía del docente

Forman equipos de trabajos (máx. 4 integrantes) para medir el logro de la

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