5to Uni X Sem 2 - Divisiones Algebraicas
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MUNDO MEJOR
División Algebraica de Polinomios
36 x 5 17 x 4 4 x 3 18 Dividendo D(x)
Q( x) 4 x 3 x 2 2 x Cociente
R( x) 8 x 18 Resto o Residuo
¿
La Identidad fundamental de la división algebraica determina la siguiente
propiedad:
Grado Q( x) Grado D( x) Grado d ( x)
Tipos de División
Exacta. Cuando R( x) 0
Por consecuencia:
Gradomax. R( x ) Grado d ( x) 1
Métodos para dividir
Los demás 1ª 2ª 3ª
coeficientes
del divisor : x +
con el signo
cambiado
Se repite el proceso
C o c i e n t e Resto
Proceso : método de Horner
Dividir: 6 x 4 10 x x 3 5 5 x 2
3 2 x 2 x
x -1 -3 9
2 +
-6
x 3
-3 9
3 -2 3 1 4
Luego:
Q( x) 3x 2x 3 …Cociente
2
R ( x) x 4 …Resto
Método de Ruffini
Esquema de Ruffini
D i v i d e n d o
ax b 0
+ .. … …. … … …
b
x
a
x D Resto
a
Cociente
Dividir: 3x 4 7 x3 3x 2 x 7
3x 2
3 7 -3 1 7 Por lo tanto:
3x 2 0
x
2 2 6 2 2 Q( x) x 3 3x 2 x 1
3
R ( x) 9
3 9 3 3 9
x
3
1 3 1 1
Teorema del Resto
Proceso
4 x 40 8 x39 1
Calcule el resto de la siguiente división
x2
Resolución
1. Igualamos el divisor a cero: x20
2. Despejamos x: x 2
Operamos:
22.240 23.239 1
R( x) 1
2 2 1
42 42
Observación: Si el divisor no es de primer grado, generalmente se despeja el termino de mayor potencia
para luego reemplazarlo en el dividendo. En algunos casos es necesario preparar al dividendo para que
dicho reemplazo sea practico.
Ejemplo:
x 70 x 60 x 40 x 20 7
Halle el resto de la siguiente división:
x10 1
Resolución
4. Reemplazamos :
(1) 7 (1)6 (1)4 ( 1)2 7 R( x) 9
Problemas-pagina 9
Resolución
4 12 -14 15 -n k
2 6 -3
n=6 , k=2 luego: n+k=8
-4 2
-1
4 -2
3 -2 2 0 0
-1 3 0 10 m
-1 3 -12
3 -12 m=22
4
-3 -3 1 10
2 2 1 2 -1 m 2
x 2 1 0
2 2 2 1 1 2 2 2
x 2 1
1 -1 2 7
m 2 2 27 m=9
Sea el polinomio P(x):
Por el teorema del resto:
P (3) 13
P(x) x-5
P(5) 3
3
Por la identidad fundamental:
P( x) x 2 x 152
P( x) ( x 2 2 x 15) Q
( x) ax b
R( x) ax b cociente
por ... propiedad
P( x) ( x 3)( x 5) Q
( x) ax b
cociente
Evaluamos:
x 3 : P(3) 3a b 13 8a 16 a 2
R ( x) 2 x 7
x 5 : P (5) 5a b 3 b 7
1
Por el teorema del resto: x y z 0 Lo cual implica que: x y z ( x y z )
4 4 4 2 2 2 2
2
1
Si sustituimos en el dividendo obtenemos: ( x 2 y 2 z 2 ) 2 m. ( x 2 y 2 z 2 )2
2
m m
( x 2 y 2 z 2 ) 2 1 0 1 m 2
2 2
Tarea