Matemática 5to Práctico 8

Colegio Nacional “Rafael Hernández”
MATEMÁTICA 5to - 2021
TRABAJO PRÁCTICO N°8
Tema: Funciones polinómicas. División de polinomios. Regla de Ruffini . Teorema del

resto.
Objetivos:
Se espera que el alumno:
-Realice divisiones con polinomios, teniendo en cuenta ciertas condiciones iniciales.
-Conozca las ventajas del uso de la Regla de Ruffini y el Teorema del resto
Luego de haber visto las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios,

continuaremos analizando la división entre los mismos. Veamos…
Para comenzar debes tener en cuenta que:
Para dividir polinomios el grado del polinomio divisor debe ser igual o menor que el del
polinomio dividendo.
El cociente de dos polinomios es otro polinomio. Su grado es la diferencia de los grados

del dividendo menos el del divisor. Por ejemplo x³:x=x²
El resto es también un polinomio cuyo grado debe ser menor que el del divisor (porque si
fuera mayor podría continuarse la división).
Se cumple siempre la máxima (algoritmo de la división):
Dividendo = divisor  cociente + resto
Siempre ordenar (en sentido decreciente) y completar con ceros el polinomio

dividendo y ordenar el polinomio divisor(éste último puede completarse o no).
Ejemplo 1. Calcular el cociente y el resto de dividir T ( x) = 2 x3 − 3x2 − 5x − 5 (dividendo) por
U ( x) = x 2 + x (divisor).
1. Dividimos el primer monomio del dividendo

2x − 3x − 5x − 5
3 2
x +x
2
( 2x3 )por el primer monomio del divisor ( x 2 ).
El resultado ( 2x ) es el primer monomio del cociente.
−2x 3 − 2x 2   2x − 5 → Cociente
Lo multiplicamos por el divisor, al polinomio obtenido
0x 3 − 5x 2 − 5x 
le cambiamos de signo ( −2 x3 − 2 x2 ) y lo sumamos al
5x 2 + 5x  dividendo.
0x 2 + 0x − 5 → Resto de la división. (También se podría multiplicar por el divisor y restar el
polinomio obtenido al dividendo).
2. Como el nuevo dividendo ( −5x2 − 5x ) no es de grado menor que el divisor( x2 + x ), repetimos

el procedimiento con el primer monomio del nuevo dividendo ( −5x2 ).
3. Obtuvimos un dividendo (-5) que es de grado menor que el divisor. Entonces, ese es el resto
R(x)=-5 y termina la división. El cociente es C ( x) = 2 x − 5
Según el algoritmo de la división podemos escribir que,
T ( x) = U ( x).C( x) + R( x)
2 x3 − 3x2 − 5x − 5 = ( x2 + x).(2 x − 5) − 5
Ejemplo 2.
3x 4 − 5x 3 + 4x 2 x2
− 3x 4   3x 2 − 5x + 4 → Cociente
0 x − 5x
4 3

5x 3 
0x 3 + 4x 2
- 4x 2
0x 2 → Re sto  es exacta.
( )
3x 4 − 5x 3 + 4 x 2 = x 2  3x 2 − 5x + 4 + 0 = 3x 4 − 5x 3 + 4 x 2
Observación: En este caso, que se trata de dividir un polinomio por un monomio, lo que hace no
es más que aplicar la propiedad distributiva, ya que:
(3x 4
) ( )
− 5x 3 + 4 x 2  x 2 =
3x 4 − 5x 3 + 4x 2 3x 4 5x 3 4x 2
x2
= 2 − 2 + 2
x x x
3x 4 5x 3 4x 2
2 1
Simplificando: 2
− 2
+ 2
= 3x 2 − 5x + 4
x x x
CONCLUSIÓN: dividir un polinomio por un monomio no es más que aplicar la propiedad

distributiva y simplificar la fracción algebraica correspondiente.
Ejemplo 3. Sean A( x) = x6 − 3x − x3 + 1 y B( x) = −3 + x 2 , hallar A(x):B(x) e informar el resto
Lo primero es ordenar y completar, como ya dijimos:
(x 6
) (
+ 0 x 5 + 0 x 4 − x 3 + 0 x 2 − 3x − 3  x 2 + 0 x − 3 )
x 6 + 0 x 5 + 0 x 4 − x 3 + 0 x 2 − 3x − 3 x 2 + 0 x − 3
− x 6 - 0x 5 + 3x 4     x 4 + 3x 2 − x + 9 → Cociente.
0 x + 0 x + 3x − x + 0 x
6 5 4 3 2
 
− 3x 4 + 0 x 3 + 9 x 2  
0x 4 − x 3 + 9 x 2 − 3x 
x 3 + 0 x 2 − 3x 
0x 3 + 9x 2 − 6x − 3
− 9x 2 + 0 x + 27
0x 2 − 6 x + 24 → Re sto.
( )( )
Se cumple que, x 2 − 3  x 4 + 3x 2 − x + 9 + (− 6 x + 24 ) =
= x 6 + 3x 4 − x3 + 9x 2 − 3x 4 − 9x 2 + 3x − 27 − 6x + 24 =
= x 6 + (3 − 3)x 4 − x 3 + (9 − 9)x 2 + (3 − 6 )x + (− 27 + 24 ) =
= x 6 − x3 − 3x − 3
Actividad 1.
a) Hallar el cociente y el resto de cada una de estas divisiones. Indica si la división es exacta en
algún caso.
a) (8 + 2 x + 16 x + 10 x ) : ( 2 x + 4 ) =
3 2
b) (15x + 8x + 8 + 4 x ) : (3x + 2 ) =
3 2 2
b) Calcula el dividendo de una división, sabiendo que el divisor es x2+5, el cociente es 2x2-1 y el
resto -3.
c) Determinar si P(x)= x4-16 es divisible por Q(x)=x2+4
(Un polinomio A(x) es divisor de otro B(x), si el resto de dividir A(x) por B(x) es cero. En otros
términos, si la división es “exacta”)
Sigamos…
Vamos a realizar a continuación, el cociente entre P(x)=2x2+3x3-1 y Q(x)= x–2, entonces, luego
de completar y ordenar a cada uno de estos polinomios, nos queda:
3x3+2x2+0x-1 x-2
-3x3+6x2 3x2+8x+16
8x2+0x -1
-8x2+16x
16x -1
-16x +32
31
Por lo tanto, el cociente es C(x) = 3x2+8x+16 y el resto: 31
Ahora bien, para el caso de la división de un polinomio por otro de la forma (x – a) , con a
perteneciente al conjunto de los números reales (como en el ejemplo anterior), se puede utilizar
un procedimiento más simplificado que veremos con detalle.
El procedimiento fue ideado por un matemático italiano, Paolo Ruffini, y lo llamamos simplemente
“regla de Ruffini”.
Te mostramos cómo es, teniendo en cuenta los polinomios P y Q del ejercicio anterior. En este
caso se puede aplicar debido a que Q es de la forma (x–a)
Luego, si P(x)= 2x2+3x3-1 y Q(x)= x–2, hallaremos el cociente y resto usando “regla de Ruffini”.
Deberás tener la precaución de que el polinomio dividendo, en este caso P, esté ordenado y
completo (si el término independiente fuera cero deberás escribirlo para que esté completo), es
decir P(x) = 3x3+2x2+0x-1
✓ Trazar una cruz y sobre uno de los brazos colocar

el valor de a. En nuestro caso a= 2.
✓ Copiar todos los coeficientes del polinomio

dividendo en primera fila.
✓ Bajar directamente el primer coeficiente como

muestra la flecha azul.
✓ Multiplicar este número por 2 y el resultado sumarlo con el 2do coeficiente y así
sucesivamente hasta terminar con todos los valores.
✓ Los números obtenidos en la fila final son los coeficientes del cociente y su grado es el
grado del polinomio dividendo menos uno. El último de estos números es el resto (en este
caso 31).
Por lo tanto , el cociente nos queda, C(x) = 3x2+8x+16 y el resto 31, coincidiendo con el primer
ejercicio.
Para tener en cuenta:

La regla de Ruffini solo se aplica cuando el divisor es de la forma (x–a). En caso de no serlo,
deberás usar el procedimiento visto en la clase anterior.
La regla de Ruffini solo ofrece los coeficientes de cociente. El polinomio cociente debe armarse
teniendo en cuenta el grado del dividendo.
Veamos otro ejemplo: Hallar cociente y resto de dividir A(x) = 5x-x4-1 por B(x) = x+1
Se puede aplicar Ruffini porque B es de la forma requerida, siendo en este caso a=-1
B(x) = x+1 = x – (-1) →a=-1
Completando y ordenando A(x) nos queda, A(x) = -x4+0x3+0x2+5x-1
-1 0 0 5 –1
-1 1 -1 1 -6
-1 1 -1 6 -7
Luego, procedemos a armar C(x) con los coeficientes encontrados, (tené en cuenta que el grado
de C es uno menos que el de A) entonces,
C(x) = -x3+x2-x+6 y el resto es –7
Actividad 2
a) Hallar cociente y resto de dividir P(x) por Z(x) :
i. P(x)= -2+x4-2x2 Z(x)=x+3
3
ii. P(x) = x + 2x Z(x) = x-2
iii. P(x) = x3 + 1 Z(x) = 1+x
Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x) por un polinomio de la forma (x – a), (donde a es un
número real cualquiera), es igual a P(a).
Ejemplo:
Si P(x) = 4x3 - 2x2 + 4x - 3 y Q(x) = x-2 , hallar el resto de la división P(x):Q(x)
Para calcular el resto de esta división, sin resolver la división, usamos el teorema del resto:
R=P(2)= 4.23 – 2.22 + 4.2 - 3 = 4.8-2.4+8-3 = 32 – 8 + 8 – 3 = 29
Rta.: El resto de esta división es 29.
Ejemplo: Hallar M para que la división entre P(x)= 2 x3 -Mx +10 y Q(x)=x+3 tenga resto 4.
El resto de esta división es P(-3), si queremos que sea 4, entonces plateamos P(-3)=4
2 (-3)3 –M.(-3) +10=4
2.(-27) +3.M = 4 – 10
-54 + 3 M = –6
3 M = –6 + 54
M = 48/3
M = 16
Rta.: Para que el resto de la división sea 4, M debe ser igual a 16
Actividad 3:
a) Hallar el resto de la división P(x) : Q(x), siendo P(x)= 27x-9x2+x3-27 y Q(x) = x-3
Deteminar si P(x) es divisible por Q(x)
b) Determina H, sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30.
P(x) = 3.x³ – H.x ² – x + 2 Q(x) = x + 2
c) Encontrar el valor de T para que Q(x) sea divisor de P(x)
P(x) = –2x + T x2 – 3x3 Q(x) = x – 2

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Tema: Funciones polinómicas. División de polinomios. Regla de Ruffini . Teorema del

Se espera que el alumno:

-Realice divisiones con polinomios, teniendo en cuenta ciertas condiciones iniciales.

Luego de haber visto las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios,

Para comenzar debes tener en cuenta que:

El cociente de dos polinomios es otro polinomio. Su grado es la diferencia de los grados

Se cumple siempre la máxima (algoritmo de la división):

Dividendo = divisor  cociente + resto

Siempre ordenar (en sentido decreciente) y completar con ceros el polinomio

1. Dividimos el primer monomio del dividendo

2. Como el nuevo dividendo ( −5x2 − 5x ) no es de grado menor que el divisor( x2 + x ), repetimos

Según el algoritmo de la división podemos escribir que,

CONCLUSIÓN: dividir un polinomio por un monomio no es más que aplicar la propiedad

Ejemplo 3. Sean A( x) = x6 − 3x − x3 + 1 y B( x) = −3 + x 2 , hallar A(x):B(x) e informar el resto

Lo primero es ordenar y completar, como ya dijimos:

✓ Trazar una cruz y sobre uno de los brazos colocar

✓ Copiar todos los coeficientes del polinomio

✓ Bajar directamente el primer coeficiente como

Para tener en cuenta:

C(x) = -x3+x2-x+6 y el resto es –7

Teorema del resto

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