Introducción a la

Programación Lineal
La programación Lineal tiene como objetivo el
estudio de una categoría particular de la
programación matemática, consistente en
optimizar una función lineal, las relaciones
entre las variables siendo igualmente lineares
en relación a las variables.
 Forma estándar de los
modelos de Programación Lineal

Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

sujeto a las restricciones:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn  b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn  b2
.
.
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn  bm
y
x1  0, x2  0, ..., xn  0
Ejemplo
Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.
Cada muñeco:
• Produce un beneficio neto de 3 €.
• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.
Cada tren:
• Produce un beneficio neto de 2 €.
• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.
Cada semana Gepetto puede disponer de:
• Todo el material que necesite.
• Solamente 100 horas de acabado.
• Solamente 80 horas de carpinteria.
También:
• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).
• La demanda de muñecos es como mucho 40.

Gepetto quiere maximizar sus beneficios.

¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?
Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).

Variables de Función Objetivo. En cualquier Restricciones

Decisión PPL, la decisión a tomar es Son desigualdades que
como maximizar (normalmente el limitan los posibles
x = nº de muñecos beneficio) o minimizar (el costo) valores de las variables
producidos a la de alguna función de las de decisión.
semana variables de decisión. Esta En este problema las
y = nº de trenes función a maximizar o minimizar restricciones vienen
producidos a la se llama función objetivo. dadas por la
semana disponibilidad de horas
El objetivo de Gepetto es de acabado y carpintería
elegir valores de x e y para y por la demanda de
maximizar 3x + 2y. Usaremos muñecos.
También suele haber
la variable z para denotar el restricciones de signo o
valor de la función objetivo. La no negatividad:
función objetivo de Gepetto es: x≥0
y≥0

Max z = 3x + 2y
 Restricciones
Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece.
Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los
valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:
Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.
Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas.
Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.

Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente

por las siguientes desigualdades:
Restricción 1: 2 x + y ≤ 100
Restricción 2: x + y ≤ 80

Restricción 3: x ≤ 40

Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0

 Formulación matemática del PPL
Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana
y = nº de trenes producidos a la semana

Muñeco Tren

Beneficio 3 2 Max z = 3x + 2y (función objetivo)

Acabado 2 1 ≤ 100 2 x + y ≤ 100 (acabado)

Carpintería 1 1 ≤ 80 x + y ≤ 80 (carpinteria)

Demanda 1 ≤ 40 x ≤ 40 (demanda muñecos)

x ≥0 (restricción de signo)

y ≥0 (restricción de signo)
 Formulación matemática del PPL

Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de

signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones,
tenemos el siguiente modelo de optimización:

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

Sujeto a (s.a:)
2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)
x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria)
x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)
x ≥0 (restricción de signo)
y ≥0 (restricción de signo)
 Región factible

La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos

que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano
delimitada por el sistema de desigualdades que forman las
restricciones.

x = 40 e y = 20 está en la región Restricciones de Gepetto

factible porque satisfacen todas 2x + y ≤ 100 (restricción finalizado)
las restricciones de Gepetto. x + y ≤ 80 (restricción carpintería)
Sin embargo, x = 15, y = 70 no x ≤ 40 (restricción demanda)
está en la región factible porque x ≥0 (restricción signo)
este punto no satisface la y ≥0 (restricción signo)
restricción de carpinteria
[15 + 70 > 80].
 Solución óptima
Se puede demostrar
Para un problema de maximización, una solución
que la solución
óptima es un punto en la región factible en el cual
óptima de un PPL
la función objetivo tiene un valor máximo. Para un
está siempre en la
problema de minimización, una solución óptima es
frontera de la región
un punto en la región factible en el cual la función
factible, en un
objetivo tiene un valor mínimo.
vértice (si la
La mayoría de PPL tienen solamente una solución solución es única) o
óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen en un segmento
solución óptima, y otros PPL tienen un número entre dos vértices
infinito de soluciones. contiguos (si hay
infinitas soluciones)
Más adelante veremos que la solución del PPL de
Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un
valor de la función objetivo de:
z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €

Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima,

estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la
función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.
 Representación Gráfica de las restricciones
Y
Cualquier PPL con sólo dos
variables puede resolverse
100
gráficamente. 2x + y = 100

Por ejemplo, para representar 80

gráficamente la primera
restricción, 2x + y ≤ 100 :
60
Dibujamos la recta 2x + y = 100

Elegimos el semiplano que 40

cumple la desigualdad: el
punto (0, 0) la cumple
(2·0 + 0 ≤ 100), 20

así que tomamos el

semiplano que lo contiene.
20 40 60 80 X
 Dibujar la región factible

Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver

gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos
que satisfacen las restricciones:

2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)
x ≤ 40 (restricción de demanda)
x ≥0 (restricción de signo)
y ≥0 (restricción de signo)

Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.

 Dibujar la región factible
Y

100
2x + y = 100
Restricciones
2 x + y ≤ 100
80
x + y ≤ 80
x ≤ 40
60
x ≥0
y ≥0
40

Teniendo en
cuenta las 20
restricciones de
signo (x ≥ 0, y ≥ 0),
nos queda: 20 40 60 80 X
 Dibujar la región factible
Y

100

Restricciones 80

2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80 60 x + y = 80
x ≤ 40
x ≥0 40

y ≥0

20

20 40 60 80 X
 Dibujar la región factible
Y

100

Restricciones 80
x = 40
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80 60

x ≤ 40
x ≥0 40

y ≥0

20

20 40 60 80 X
 Dibujar la región factible
Y
La intersección
de todos estos
semiplanos 100
2x + y = 100
(restricciones)
nos da la región
80
factible x = 40

60

x + y = 80
40

Región
20 Factible

20 40 60 80 X
 Vértices de la región factible
Y Restricciones
La región factible (al
2 x + y ≤ 100
estar limitada por
rectas) es un polígono. 2x + y = 100 x + y ≤ 80
100
En esta caso, el x ≤ 40
polígono ABCDE. x ≥0
80 E x = 40
Como la solución y ≥0
óptima está en alguno
D
de los vértices (A, B, C, 60

D o E) de la región
x + y = 80
factible, calculamos 40
esos vértices.
Región
20 Factible C

B
A 20 40 60 80 X
 Vértices de la región factible
Y
Los vértices de la región factible
son intersecciones de dos
rectas. El punto D es la 100
intersección de las rectas 2x + y = 100

2x + y = 100 x = 40
80 E(0, 80)
x + y = 80
La solución del sistema x = 20,
D (20, 60)
y = 60 nos da el punto D. 60

B es solución de
40
x = 40
y=0
Región
C es solución de C(40, 20)
20 Factible
x = 40 x + y = 80

2x + y = 100 B(40, 0)
E es solución de A(0, 0) 20 40 60 80 X
x + y = 80
x=0
 Resolución gráfica
Y
Max z = 3x + 2y

Para hallar la 100

solución óptima,
(0, 80)
dibujamos las 80
rectas en las
cuales los puntos (20, 60)
tienen el valor de 60

z.
La figura muestra 40

estas lineas para

Región
z = 0, z = 100, y z (40, 20)
20 Factible
= 180
(40, 0)
(0, 0) 20 40 60 80 X
z = 180
z=0 z = 100
 Resolución gráfica
Y

Max z = 3x + 2y
100

La última recta de (0, 80)

80
z que interseca
(toca) la región (20, 60)
factible indica la 60

solución óptima
para el PPL. Para 40
el problema de
Gepetto, esto Región
(40, 20)
ocurre en el 20 Factible
punto D (x = 20, y
(40, 0)
= 60, z = 180).
(0, 0) 20 40 60 80 X
z = 180
z=0 z = 100
 Resolución analítica
Y
Max z = 3x + 2y
También podemos encontrar la 100
solución óptima calculando el
valor de z en los vértices de la
80
(0, 80)
región factible.

Vértice z = 3x + 2y (20, 60)

60
(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0
(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120
(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160 40

(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180

Región
(0, 80) z = 3·0+2·80 = 160 (40, 20)
20 Factible
La solución óptima es:
(40, 0)
x = 20 muñecos
y = 60 trenes (0, 0) 20 40 60 80 X
z = 180 € de beneficio
Hemos identificado la región factible para
el problema de Gepetto y buscado la
solución óptima, la cual era el punto en la
región factible con el mayor valor posible
de z.
Recuerda que:

• La región factible en cualquier PPL

está limitada por segmentos (es un
polígono, acotado o no).

• La región factible de cualquier PPL

tiene solamente un número finito de
vértices.

• Cualquier PPL que tenga solución

óptima tiene un vértice que es óptimo.
Un problema de minimización

Dorian Auto fabrica y vende coches y

furgonetas.La empresa quiere emprender una
campaña publicitaria en TV y tiene que decidir
comprar los tiempos de anuncios en dos tipos
de programas: del corazón y fútbol.

• Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y 2
millones de hombres.
• Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.
• Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 $ y un anuncio del fútbol
cuesta 100.000 $.
• Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por por lo menos 30 millones de
mujeres y 24 millones de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de
programa para que el costo de la campaña publicitaria sea mínimo.
 Formulación del problema:

• Cada anuncio del programa del

corazón es visto por 6 millones de
mujeres y 2 millones de hombres.
• Cada partido de fútbol es visto por 3
millones de mujeres y 8 millones de
hombres. Corazón Fútbol
• Un anuncio en el programa de (x) (y)
corazón cuesta 50.000 $ y un anuncio
del fútbol cuesta 100.000 $.
• Dorian Auto quisiera que los mujeres 6 3 6x + 3y ≥ 30
anuncios sean vistos por por lo menos
30 millones de mujeres y 24 millones
hombres 2 8 2x + 8y ≥ 24
de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos
anuncios debe contratar en cada tipo Costo
50 100 50x +100y
de programa para que el costo de la 1.000$
campaña publicitaria sea mínimo.
 Formulación del problema:

Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón

y = nº de anuncios en fútbol

Min z = 50x + 100y (función objetivo en 1.000 €)

s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres)
2x + 8y ≥ 24 (hombres)
x, y ≥ 0 (no negatividad)
 Dibujamos la región factible.
Y

14

Min z = 50 x + 100y 12
6x + 3y = 30
s.a. 6x + 3y ≥ 30
10
2x + 8y ≥ 24
x, y ≥ 0 8

4
2x + 8y = 24
2

X
2 4 6 8 10 12 14
 Calculamos los vértices de la región factible:
Y
El vértice A es solución del
La región factible
sistema 14
no está acotada
6x + 3y = 30
12
x=0
Por tanto, A(0, 10) A
10
Región
El vértice B es solución de 8
Factible
6x + 3y = 30
2x + 8y = 24 6

Por tanto, B(4, 2)

4

El vértice C es solución de B
2
2x + 8y = 24
C
y=0
X
Por tanto, C(12, 0) 2 4 6 8 10 12 14
 Resolvemos por el método analítico

Evaluamos la función objetivo z en los vértices.

Y
Vértice z = 50x + 100y
14
z = 50·0 + 100·10 =
A(0, 10)
= 0+10000 = 1000 12

z = 50·4 + 100·2 = 10
A(0, 10)
B(4, 2) Región
= 200+200 = 400
8
Factible
z = 50·12 + 100·0 =
C(12, 0)
= 600+0 = 6 00 6

El costo mínimo se obtiene en B. 4

B(4, 2)
Solución: 2
x = 4 anuncios en pr. corazón C(12, 0)
y = 2 anuncios en futbol X
Costo z = 400 (mil $) 2 4 6 8 10 12 14
 Resolvemos por el método gráfico
Min z = 50 x + 100y Y

s.a. 6x + 3y ≥ 30 14

2x + 8y ≥ 24
12
x, y ≥ 0

10 A(0, 10)
El costo mínimo Región
8
se obtiene en el Z = 600 Factible
punto B.
6
Z = 400
4

B(4, 2)
2
Solución:
x = 4 anuncios en pr. corazón C(12, 0)
y = 2 anuncios en futbol X
2 4 6 8 10 12 14
costo z = 400 (mil €)
 Número de Soluciones de un PPL

Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y Dorian Auto,

tienen, cada uno, una única solución óptima.
No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar
también las siguientes posibilidades:
• Algunos PPL tienen un número infinito de
soluciones óptimas (alternativas o múltiples
soluciones óptimas).
• Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no
tienen región factible).
• Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en
la región factible con valores de z arbitrariamente
grandes (en un problema de maximización).
Veamos un ejemplo de cada caso.
 Número infinito de soluciones óptimas
Y
Consideremos el siguiente 60
problema:
50
C
max z = 3x + 2y
40
s.a: 3x + 2y ≤ 120
x + y ≤ 50
B
x,y≥0 30 Región
Factible
z = 120
Cualquier punto (solución) 20

situado en el segmento AB
puede ser una solución óptima z = 60
10
de z =120. z = 100

A
10 20 30 40 50 X
 Sin soluciones factibles
Y
Consideremos el siguiente 60
problema: No existe
Región Factible
max z = 3x1 + 2x2 50
x ≥ 30
s.a: 3x + 2y ≤ 120 40
x + y ≤ 50 x + y ≤ 50 y ≥ 30

x ≥ 30
y ≥ 30 30

x,y≥0
20

10 3x + 2y ≤ 120

No existe región factible

10 20 30 40 50 X
 PPL no acotado (no existe límite para la función objetivo)

max z = 2x – y Y
s.a: x–y≤1 6
Región Factible
2x + y ≥ 6
5
x, y ≥ 0

La región factible es no 4
acotada. Se muestran en el z=4
gráfico las rectas de nivel
3
para z = 4 y z = 6. Pero
podemos desplazar las
rectas de nivel hacia la 2

derecha indefinidamente sin z=6

abandonar la región factible. 1
Por tanto, el valor de z
puede crecer
indefinidamente. 1 2 3 4 5 X