Programación de metas

La La
maximización minimización En que se Desviaciones
minimiza las
de las de los
Para intentar
Costos alcanzar un
Utilidades Programación nivel
lineal
No siempre son
los únicos Trabajo de Difiere de la satisfactorio
Charnes y
Cooper en
1961 Problemas de que implican
Objetivos
decisión
Múltiples
Que establecen una Pioneros
maneja metas
Programación
Compañía de metas Por ello, es necesario establecer una

Algunas veces son jerarquía de

importancia
Contradictorias de modo que se
satisfagan primero las
como de mayor

Bajar el nivel satisfacer

mantener el Prioridad
de ruido en el otras metas no
pleno empleo
vecindario económicas
El ganador del premio Nobel de
Economía, Herbert A. Simon, de la
Carnegie-Mellon University, afirma
que posiblemente los gerentes
modernos no sean capaces de
optimizar, sino que en cambio
quizá tengan que “satisfacer” o
“acercarse tanto como sea posible”
al logro de sus metas.

En la programación por metas, las

variables de desviación en general son
las únicas variables en la función
objetivo, y el objetivo es minimizar el
total de esas variables de desviación.
Los objetivos son lo que se espera lograr en el futuro,
hacia ellos se dirigen todos los esfuerzos de la
organización.
Cuando un objetivo se cuantifica a fecha precisa,
estamos en presencia de una meta. Esa operación de
cuantificar y fijar límites a los objetivos se denomina
proyección.
Un ejemplo contribuirá a clasificar la diferencia entre
objetivos y metas. Una empresa productora de artículos de
consumo se propone como objetivo a mediano plazo
aumentar la producción en un lapso de tres años; tal
aumento está por encima de la producción promedio de cada
año, ahora bien, se fijan la metas siguientes: 1)se aumentará
5.000 unidades en los tres años, 2) Durante el primer año se
producirá 1.500 unidades por encima de la producción
ordinaria, lo mismo el segundo año, y el último año se
producirá el complemento de las unidades señaladas. Se
observa que el objetivo es el aumento de la producción y ésta
se cuantificó y proyectó, es decir, se establecieron metas
precisas
La programación de metas también es aplicable en las
siguientes áreas, entre otras:
Mercadeo: Donde las metas conflictivas podrían ser: maximizar la
participación del mercado, minimizar los costos de publicidad,
maximizar el margen de ganancia por artículo vendido.

Control de inventario: Donde es necesario minimizar el número de

faltantes y minimizar el costo de almacenaje.

Producción: Donde es necesario minimizar el control de calidad, y

maximizar la utilización de recursos.
 Modelo Matemático
Se define como programación de metas múltiples al siguiente problema

Minimizar σ𝑛𝑖=0 (𝑑𝑖 − + 𝑑𝑖 + )

Sujeto a
𝑎11𝑋1 + 𝑎12𝑋2 + … 𝑎1𝑛𝑋𝑛 + 𝑑1− − 𝑑2+ ≷ 𝑏1
𝑎21𝑋1 + 𝑎22𝑋2 + … 𝑎2𝑛𝑋𝑛 + 𝑑1− − 𝑑2+ ≷ 𝑏2

𝑎𝑚1𝑋1 + 𝑎𝑚2𝑋2 + … 𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 + 𝑑𝑚− − 𝑑𝑚+ ≷ 𝑏𝑚

𝑋1 ≥ 0, 𝑋2 ≥ 0,… 𝑋𝑛 ≥ 0
𝑑1− ≥ 0, 𝑑2− ≥ 0, … 𝑑𝑚− ≥ 0
𝑑1+ ≥ 0, 𝑑2+ ≥ 0, … 𝑑𝑚+ ≥ 0

Donde 𝑑𝑖 − 𝑦 𝑑𝑖 + son las variables asociadas a las desviaciones de una meta. La variable
𝑑1− indica la desviación en defecto (hacia abajo) de una meta (lo que no se consiguió),
mientras que 𝑑𝑖 + es la desviación en exceso (hacia, lo que se excedió) . Es obvio que ambas
deben satisfacer la relación
𝑑𝑖 − ∗ 𝑑𝑖 + = 0
Ya que si 𝑑𝑖 −>0, entonces 𝑑𝑖 + = 0 y viceversa; ambas pueden ser nulas simultáneamente
Ejemplo de programación de metas:
La compañía Harrison Electric, localizada en el área antigua de Chicago, fabrica
dos productos que son populares con los restauradores de casas: candelabros y
ventiladores de techo de estilo antiguo. Tanto los candelabros como los
ventiladores requieren un proceso de producción de dos pasos, que implica
cableado y ensamble. Se requieren 2 horas para cablear cada candelabro y 3 para
cablear un ventilador de techo. El ensamble final de los candelabros y los
ventiladores requiere de 6 y 5 horas, respectivamente. La capacidad de
producción es tal que solamente están disponibles 12 horas de cableado y 30
horas de ensamble. Si cada candelabro producido reditúa a la empresa $7 y cada
ventilador $6, la decisión de mezcla de producción de Harrison se formula con PL
como sigue:

Maximizar Z = 7x1 + 6x2

Sujeta a
2x1 + 3x2 <= 12
6x1 + 5x2 <= 30
x1>=0, x2>=0
x1= número de candelabros
x2= número de ventiladores de techo producido
Vimos que si la gerencia de Harrison tenía un solo objetivo, por ejemplo las
utilidades, se podía utilizar PL para encontrar la solución óptima. Sin embargo,
suponga que la firma se va a mudar a otro lugar durante cierto periodo de
producción y considera que la maximización de las utilidades no es una meta realista.
La gerencia establece las siguientes metas:
Meta 1: generar una utilidad de $30 si es posible durante el periodo de ajuste.
Meta 2: utilizar por completo las horas disponibles en el departamento de cableado
Meta 3: evitar el tiempo extra en el departamento de ensamble
Meta 4: satisfacer el requisito contractual de fabricar por lo menos siete ventiladores
de techo
Las variables de desviación se definen como:
d1– = resultado por debajo de la utilidad objetivo
d1+ = resultado por arriba de la utilidad objetivo
d2– = tiempo ocioso del departamento de cableado (subutilización)
d2+= tiempo extra del departamento de cableado (sobreutilización)
d3– = tiempo ocioso del departamento de ensamble (subutilización)
d3+ = tiempo extra del departamento de ensamble (sobreutilización)
d4– = resultado por debajo de la meta de ventiladores de techo
d4+ = resultado por arriba de la meta de ventiladores de techo
A la gerencia no le preocupan que el resultado esté por arriba de la meta de utilidad,
el tiempo extra del departamento de cableado, el tiempo ocioso del departamento
de ensamble, o que se fabriquen más de siete ventiladores de techo: por lo tanto,
d1+, d2+, d3– y d4+ se pueden omitir de la función objetivo.
Orientaciones para construir la función objetivo

En general, una vez que se identifican todas las metas y restricciones en

un problema, la gerencia debería analizar cada meta para saber si el
resultado por abajo o por arriba de lo esperado en esa meta es una
situación aceptable. Si el resultado excedente en el logro es aceptable, la
variable d+ adecuada se puede eliminar de la función objetivo. Si es
aceptable el resultado por debajo de lo esperado, la variable d– debería
eliminarse. Si la gerencia busca alcanzar una meta con exactitud, tanto
d– como d+ tienen que aparecer en la función objetivo.
Clasificación de metas por niveles de prioridad
En la mayoría de los problemas de programación por metas, una será
más importante que otra, la que a su vez será más importante que una
tercera. La idea es que las metas se pueden clasificar en cuanto a su
importancia ante los ojos de la gerencia. Las metas de menor grado se
consideran tan solo después de que se satisfacen las de mayor grado.
Se asignan prioridades (Pi) a cada variable de desviación, donde P1 es
la meta más importante, P2 la siguiente más importante, en seguida P3
y así sucesivamente.
Supongamos que Harrison Electric establece las prioridades que se
muestran en la tabla siguiente:
Lo anterior significa que, en efecto, la prioridad de satisfacer la meta de utilidades
(P1) es infinitamente más importante que la meta de cableado (P2) que, a su vez,
es infinitamente más importante que la meta de ensamble (P3), que es
infinitamente más importante que fabricar por lo menos siete ventiladores de
techo (P4).
Con base en la clasificación de metas considerada, la nueva función objetivo es:
Minimizar la desviación total = P1(d1-) + P2(d2-) + P3(d3+) + P4(d4-)
Sujeta a
7x1+ 6x2 +(d1-) – (d1+)=30
2x1 + 3x2 +(d2-) – (d2+)= 12
6x1 + 5x2 + (d3-) – (d3+)= 30
x2 +(d4-) – (d4+) = 7 Implementando el
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 software Ds for
𝑑1− ≥ 0, 𝑑2− ≥ 0, … 𝑑𝑚− ≥ 0 Windows
𝑑1+ ≥ 0, 𝑑2+ ≥ 0, … 𝑑𝑚+ ≥ 0
 Resultados

Los resultados indican que la meta de utilidades se supera en 6 unidades

monetarias (d1+=6), no se subutilizan las horas para cableado, inclusive se
necesita de 6 horas extras de trabajo (d2+=6). Se cumple con la tercera
meta de no usar tiempo extra en el ensamble. Sólo se pueden fabricar 6
ventiladores de pared y no se fabrican candelabros.
Programación por metas con metas ponderadas
Cuando los niveles de prioridad se utilizan en la programación por metas,
cualquier meta en el nivel de prioridad superior es infinitamente más
importante que los objetivos en los niveles de menor prioridad.
Sin embargo, quizás haya ocasiones en que una de las metas o uno de los
objetivos sea más importante que otra(o), pero tan solo puede ser dos o
tres veces más importante. En vez de colocar estas metas en niveles de
prioridad diferentes, se colocarían en el mismo nivel de prioridad aunque
con diferentes pesos.
Cuando se utiliza programación por metas ponderadas, los coeficientes de la
función objetivo para las variables de desviación incluyen tanto el nivel de
prioridad como el peso. Si todas las metas están en el mismo nivel de
prioridad, simplemente es suficiente utilizar las ponderaciones de los
coeficientes de la función objetivo.
Considere el ejemplo de Harrison Electric, donde la meta menos importante es la
4 (fabricar por lo menos siete ventiladores de techo). Supongamos que Harrison
decide agregar otra meta de producir al menos dos candelabros. La meta de siete
ventiladores de techo se considera dos veces más importante que esta meta, por
lo que ambos deberían estar en el mismo nivel de prioridad. A la meta de 2
candelabros se le asigna un peso de 1, en tanto que a la meta de los 7
ventiladores de techo se le dará un peso de 2. Ambas metas tendrán un nivel de
prioridad 4. Se agregaría una nueva restricción (meta):
X1 + (d5-) – (d5+) = 2
El valor de la nueva función objetivo sería:
Minimizar la desviación total = P1(d1-) + P2(d2-) + P3(d3+) + P4(2d4-) + P4d5-
Observe que la meta de ventiladores de techo tiene un peso de 2. El peso de la
meta de candelabros es 1. Técnicamente, en los demás niveles de prioridad a
todas las metas también se les asignan pesos de 1.
Modelo de programación de metas

Resultados
Los resultados indican que la meta
de utilidades se supera en 6
unidades monetarias (d1+=6), no
se subutilizan las horas para
cableado, inclusive se necesita de
6 horas extras de trabajo (d2+=6).
Se cumple con la tercera meta de
no usar tiempo extra en el
ensamble. Sólo se pueden fabricar
6 ventiladores de pared y no se
fabrican candelabros.
Retomando el problema de programación por metas de la compañía
Harrison Electric. Su formulación de programación lineal fue:

Maximizar Z = 7x1 + 6x2

Sujeta a
2x1 + 3x2 <= 12
6x1 + 5x2 <= 30
x1>=0, x2>=0
x1= número de candelabros
x2= número de ventiladores de techo producido

Reformule el problema de Harrison Electric como un modelo de

programación por metas usando las siguientes
metas:
Prioridad 1: Fabricar por lo menos 4 candelabros y 3 ventiladores de
techo.
Prioridad 2: Limitar el tiempo extra a 6 horas en el departamento de
cableado y a 10 horas en el departamento de ensamble.
Prioridad 3: Generar una utilidad de $30 si es posible durante el periodo
de ajuste
Con base en la clasificación de metas considerada, la nueva función objetivo
es:
Minimizar la desviación total = P1(d1- + d2-) + P2(d3+ + d4+) + P3(d5-)
Sujeta a
x1 + (d1-) – (d1+) =4
x2 + (d2-) – (d2+)=3
2x1 + 3x2 +(d3-) – (d3+)= 18
6x1 + 5x2 + (d4-) – (d4+)= 40
7x1+ 6x2 +(d5-) – (d5+)=30
Modelo de programación de metas

Resultados
Se deberían fabricar 4
candelabros y 3 ventiladores
para techo. La primera meta
se satisface. Las variables de
desviación asociadas a la
segunda meta (d3-= 1 y d4-=
1), indican que solo se
utilizaron 5 horas extras en el
departamento de cableado y
9 horas extras en el
departamento de ensamble.
Y se superó la meta de
utilidades en d5+=16
 Ejercicio
1)Una empresa fabrica dos tipos de archivos metálicos. La demanda
de su modelo de dos cajones es hasta de 600 archiveros por semana;
la demanda del archivo de tres cajones está limitada a 400 por
semana. La capacidad semanal de operación de empresa es de 1,300
horas y el archivo de dos cajones requiere 1 hora para fabricarse y el
archivo de tres cajones requiere 2 horas. Cada modelo de dos
cajones que se vende genera una utilidad de $10 y la utilidad del
modelo grande es de $15. Se listaron las siguientes metas en orden
de importancia:
1. Alcanzar una utilidad semanal tan cercana a los $11,000 como sea
posible.
2. Evitar la subutilización de la capacidad de producción de la
empresa.
3. Vender tantos archivos de dos y tres cajones conforme la demanda
lo indique.
Formule este como un problema de programación por Metas