Microsoft Word - Programaci N Por Metas

CAPÍTULO III
OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVA CON PROGRAMACIÓN POR

METAS
3.1 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVA CON

PROGRAMACIÓN DE METAS
Hasta el capítulo anterior se ha supuesto que los modelos elaborados tienen un solo
objetivo como maximizar ganancias o minimizar costos, pero en muchos de los problemas
con los que se enfrentan las empresas ó las personas tienen objetivos múltiples. Estos
objetivos pueden ser igualmente importantes ó tener diferente grado de importancia.
Una empresa puede considerar por ejemplo: maximizar las ganancias, minimizar sus
desperdicios y minimizar el uso de horas extras. Una alcaldía para buscar la forma de
mejorar su estructura tributaria puede tener como objetivos: reducir los impuestos sobre la
propiedad. Minimizar la carga fiscal para las familias de bajos ingresos y Minimizar la fuga
de empresas y de los compradores quienes emigran a otras ciudades para huir de los altos
impuestos sobre las ventas.
Los objetivos múltiples, a menudo, entran en conflicto entre si y sólo se podría

optimizar un objetivo a expensas de los otros. Por ejemplo, para lograr la mayor
recuperación esperada, en general, tendrá como resultado una cartera de alto riesgo. De
manera similar, una cartera que minimice los riesgos puede lograrse a expensas de la
recuperación esperada.
La programación por metas se aplica normalmente a modelos lineales; y se

considera una extensión de la programación lineal que permite a la persona ó empresa
aproximarse lo más posible para satisfacer diversas metas y restricciones. Con dicha
extensión la persona que toma las decisiones puede incorporar, por lo menos en un sentido
heurístico, su propio sistema de preferencias al enfrentarse a múltiples metas antagónicas.
Algunas veces se considera que es un intento de colocar en un contexto de programación
matemática el concepto de la satisfacencia (combina las ideas de satisfacción y
complacencia). Este término fue acuñado por Herbet Simon, ganador del premio Nóbel de
economía, para transmitir la idea de que en algunas ocasiones las personas no buscan las
soluciones óptimas, sino mas bien soluciones “suficientemente buenas” o “aproximaciones
aceptables”; en otras palabras ese término se refiere al deseo de maximizar varios objetivos
en forma simultanea a niveles mínimamente satisfactorios.
3.2 TIPOS DE RESTRICCIONES
En el enfoque de programación por metas hay dos tipos de restricciones a

considerar, estas son:
3.2.1 LAS RESTRICCIONES DEL SISTEMA
Denominadas también restricciones duras, son aquellas que se caracterizan porque

no pueden ser violadas. Ejemplo de ésta restricción es la restricción (1):
a11X1 + a12X2 + a13x3 <= b1 (1)
En este caso las suma de los tres términos de ninguna manera puede sobrepasar el
valor de b1, por eso se denomina restricción dura
3.2.2 LAS RESTRICCIONES META
Denominadas también restricciones blandas, son aquellas que se caracterizan

porque podrían ser violadas en caso necesario. Ejemplo de ésta restricción es la restricción
(2):
a11X1 + a12X2 + a13X3 +n1 – p1= b1 Min (n1) (2)
Donde n1 representa el faltante y p1 representa el exceso. Ambas variables se

denominan variables desviacionales.
Las condicionantes para el uso de éstas variables son:
a) La multiplicación de n por p debe ser siempre cero.

b) Las variables n y p deben ser mayores ó iguales a 0
En el caso de la restricción (2), se pretende que la suma de los términos asociados a

las variables originales al menos iguale el valor de la meta b1, pero hay la posibilidad de
que quede por debajo de ésta, por esta razón se considera una restricción blanda.
3.2.2.1 TIPOS DE RESTRICCIONES METAS POSIBLES:
Existen tres tipos
Una meta unilateral inferior: Establece un límite inferior por debajo del cual no se
quiere caer (pero esta bien excederlo).
Una meta unilateral superior: Establece un límite superior que no se debe exceder
(pero esta bien quedar por debajo del mismo).
Una meta bilateral: Establece un blanco específico que no se quiere perder hacia
ningún lado.
3.2.2.2 CONSIDERACIONES DE LAS RESTRICCIONES META:
a) Una meta unilateral inferior:

c11x1 + c12x2 + c13x3 >= b1
Restricción meta asociada

c11x1 + c12x2 + c13x3 + n1 – p1= b1 -> Min (n1)
b) Una meta unilateral superior:

c21x1 + c22x2 + c23x3 <= b2

c21x1 + c22x2 + c23x3 + n2 – p2= b2 -> Min (p2)
c) Una meta bilateral:

c31x1 + c32x2 + c33x3 <= b3

c31x1 + c32x2 + c33x3 + n3 – p3= b3 -> Min (n3+p3)
3.3 LA FUNCIÓN OBJETIVO
La función objetivo es siempre de minimización, ya que ésta se refiere a las

penalizaciones por no cumplir las metas y las ponderaciones de las variables desviacionales
se asignan de acuerdo a la importancia relativa de cada una de ellas.
A partir de las restricciones meta, se formula una sola función objetivo compuesta
únicamente por variables desviacionales que se ponderan de acuerdo a las metas.
3.4 EL ENFOQUE BÁSICO DE PROGRAMACIÓN POR OBJETIVOS
a) Formular las funciones objetivo

b) Para cada uno de los objetivos fijar una meta
c) A estas funciones objetivo agregar las variables desviacionales e igualar a
la meta establecida
d) Construir una función objetivo en base a las variables desviacionales de
las restricciones meta
e) Buscar una solución que minimice la suma (ponderada) de las
desviaciones sujeta a las restricciones del sistema y restricciones meta.
3.5 CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN POR METAS
Los problemas de acuerdo a la importancia se puede clasificar en:
3.5.1 PROGRAMACIÓN POR METAS SIN PRIORIDADES
Todas las metas tienen una importancia comparable
3.5.2 PROGRAMACIÓN POR METAS CON PRIORIDADES
Existe una jerarquía de niveles de prioridad para las metas, de manera que las metas
de primordial importancia reciben atención con primera prioridad, las de importancia
secundaria reciben atención con segunda prioridad, etc.
3.6 LA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA UN PROBLEMA

DE PROGRAMACIÓN MULTIOBJETIVA SIN PRIORIDADES.
Cuando se plantea un problema con múltiples objetivos y éstos tienen una

importancia comparable, debemos trasformar a un modelo de Programación lineal con las
siguientes características:
Objetivo
Min
z = ∑ wi v i
Sujeta a:
Restricciones del sistema
ai1 X1 + ai2X2 + ai3X3 (<=, =, >=) bi
Restricciones meta
ai1X1 + ai2X2 + ai3X3 + ni – pi = bi
∀ Xi, ni , pi >= 0
donde :
wi = ponderación de la variable desviacional

υi = variable desviacional (ni ó pi)
aij = coeficientes tecnológicos
bi = recursos
xi = variable de decisión
ni = variable desviacional de faltante
pi = variable desviacional de exceso
Ejemplo 3.1
El Departamento de Nutrición del Hospital General de nuestra ciudad está

preparando un menú de comida que será servido un día cada mes. El departamento ha
determinado que esta comida deberá proporcionar 10 mg de hierro, 15 mg de niacina 1 mg
de tianina, 50 mg de vitamina C y la cantidad deseable de proteínas debe ser entre 80000 y
100000 mg. Para lograr este objetivo, la comida debe consistir en una cierta cantidad de
espagueti, carne de pavo, papas gratinadas, espinacas y pastel de manzana- Cada 100
gramos de estos alimentos proporcionan la cantidad de cada nutriente que se indica en la
tabla 3.1.
Tabla 3.1
Nutrientes proporcionados por los diferentes alimentos ( mg. / 100 gramos)
Proteínas Hierro Niacina Tianina Vitamina Grasa Costo
C ($/100gr)
Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000 0.15
Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000 0.80
Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900 0.12
Espinacas 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300 0.20
Pastel de 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300 0.51
manzana
El departamento sabe que debe presentar una comida bien balanceada que guste al
paciente. Con este objetivo en mente, el departamento no servirá más de 300 gramos de
espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100
gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrición se le pide que
determine la composición de una comida que satisfaga los requerimientos nutricionales y
proporcione la mínima cantidad de grasa al costo mínimo.
Solución
Para la formulación del modelo seguimos los 5 pasos:
Paso 0: A diferencia de los casos anteriores podemos plantear ahora múltiples objetivos:
Minimizar la cantidad de grasa

Minimizar el costo total
Paso 1: Definir las variables de decisión

Xi = Unidades de 100 gramos del ingrediente i a colocar en la comida
Paso 2: Plantear la función objetivo
Función objetivo relacionado a la grasa

Min
Xo = 5,000X1 +5,000X2 + 7,900 X3 +300X4 + 14,300X5
Función objetivo relacionado al costo

Min
Yo = 0.15 X1 + 0.80 X2 + 0.12 X3 + 0.20 X4 + 0.51 X5
Paso 3: Plantear las restricciones estructurales
Cantidad de Hierro
1.1 X1 + 1.8 X2 + 0.5 X3 + 2.2 X4 + 1.2 X5 >= 10
Cantidad de Niacina
1.4 X1 + 5.4 X2 + 0.9 X3 + 0.5 X4 + 0.6 X5 >= 15
Cantidad de Tianina
0.18 X1 + 0.06 X2 + 0.06 X3 + 0.07 X4 + 0.15 X5 >= 1
Cantidad de Vitamina C
0 X1 + 0 X2 + 10.0 X3 + 28.0 X4 + 3.0 X5 >= 50
Cantidad de proteínas
5000 X1 +29,300 X2 + 5,300 X3 + 3,000 X4 + 4,000 X5 >=80,000
5000 X1 +29,300 X2 + 5,300 X3 + 3,000 X4 + 4,000 X5 <=100,000
X1 <= 3
X2 <= 3
X3 <= 2
X4 <= 1
X5 <= 1
paso 4: Plantear las condiciones técnicas
∀ Xj >=0
Si consideramos de manera individual cada uno de los objetivos y resolvemos éstos

mediante un paquete computacional encontramos los resultados de la tabla 3.2:
Tabla 3.2
Variables Sólo primer Objetivo Sólo segundo objetivo

Espagueti 3.0000 3
Pavo 2.3269 2
Papas 1.9309 2
Espinacas 1.0000 1
P. de manzana 0.8969 1
Xo 55,014.08 55400
Yo 3.20 3.00
Como se puede observar, los dos objetivos están en conflicto, puesto que si nos
basamos únicamente en el primer objetivo de minimizar la cantidad de grasa, ésta
disminuirá a 55,014.08, pero a un costo total de 3.20. Mientras si nos fijamos únicamente
en el segundo objetivo el costo se reducirá a 3.00 pero la cantidad de grasa se incrementará
a 55,400.
Para manejar el equilibrio de estos objetivos en conflicto utilizamos la optimización

multiobjetiva y debemos identificar lo siguiente:
Una meta en la forma de un valor objetivo numérico específico que definirá el

tomador de decisiones a partir de los resultados óptimos que se obtuvo para cada uno de los
objetivos de manera independiente
Una penalización numérica para cada unidad que el objetivo se encuentre por debajo
de la meta si el objetivo es maximizar ó por encima de la meta si el objetivo es minimizar.
Ejemplo:
Restricción meta respecto a la cantidad de grasa
5,000X1 +5,000X2 + 7,900 X3 +300X4 + 14,300X5 + n1 – p1 = 55000 Min (p1)
Restricción meta respecto al costo total
0.15 X1 + 0.80 X2 + 0.12 X3 + 0.20 X4 + 0.51 X5 + n2 – p2 = 2.00 Min (p2)
Las penalizaciones de las variables desviacionales se asignan de la siguiente manera:
A una de ellas se asigna el valor de 1, asumamos que a la segunda restricción meta,

que significa penalizar con Bs.1 por cada boliviano que se exceda a la meta establecida.
Para asignar la penalización a la primera restricción meta se debe preguntar hasta

cuanto se esta dispuesto a incrementar el precio por cada 10 mg. de grasa reducida.
Se define Bs. 0.90, por lo que la penalización por cada mg. de grasa que exceda la
meta establecida será de 0.90/10 = 0.09 $/mg.
Una vez establecidas las penalizaciones se forrmula el programa lineal.
Objetivo:
Min
Z0 = 0.09 p1 + 1 p2
Sujeta a:
1.1 X1 + 1.8 X2 + 0.5 X3 + 2.2 X4 + 1.2 X5 >= 10

1.4 X1 + 5.4 X2 + 0.9 X3 + 0.5 X4 + 0.6 X5 >= 15
0.18 X1 + 0.06 X2 + 0.06 X3 + 0.07 X4 + 0.15 X5 >= 1
0 X1 + 0 X2 + 10.0 X3 + 28.0 X4 + 3.0 X5 >= 50
5000 X1 +29,300 X2 + 5,300 X3 + 3,000 X4 + 4,000 X5 >=80,000
5000 X1 +29,300 X2 + 5,300 X3 + 3,000 X4 + 4,000 X5 <=100,000
X1 <= 3
X2 <= 3
X3 <= 2
X4 <= 1
X5 <= 1
Restricciones meta
5,000X1 +5,000X2 + 7,900 X3 + 300X4 + 14,300X5 + n1 – p1 = 55000

0.15 X1 + 0.80 X2 + 0.12 X3 + 0.20 X4 + 0.51 X5 + n2 – p2 = 2.00
Condiciones técnicas
∀ Xi, ni, pi >=0
La solución del modelo de programación por metas con los valores óptimos, se
muestra en la tabla 3.3.
Tabla 3.3
Variables Sólo primer Sólo segundo Objetivo de programación

Objetivo objetivo por metas
Espagueti 3.0000 3 3.0000
Pavo 2.3269 2 2.3269
Papas 1.9309 2 1.9309
Espinacas 1.0000 1 1.0000
P. de manzana 0.8969 1 0.8969
p1 1.2006
p2 14.0754
Xo 55,014.08 55,400
Yo 3.20 3.00
Zo 2.4674
Mientras mayor sea el valor de la penalización de la variable desviacional respecto a
la penalización de las otras variables desviacionales, más se aproximará a cumplir con la
meta asociada. El valor de Zo es el resultado de la suma de todas las penalizaciones, por lo
que siempre se Minimizará.
Ejemplo 3.2:
La compañía MTV produce tres tipos de tubos: A que vende a $10 el pie, B que vende a
$12 el pie y C que vende a $ 9 el pie. Para manufacturar un pie del tubo A se requieren 0.5
minutos de procesamiento en cierta máquina formadora. Un pie de tubo B necesita 0.45
minutos y un pie de tubo C 0.6 minutos de la misma máquina. Después de la producción,
cada pié de tubo independientemente del tipo, requiere una onza del material de soldadura.
El costo de producción total esta estimado, en $3, $4 y $4 por pie de tubo A, B y C
respectivamente.
Para la semana siguiente, MTV ha recibido un pedido excepcionalmente grande consistente

en 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como en la presente
semana sólo hay disponibles 40 horas de tiempo máquina y solamente 5500 onzas de
material de soldadura se encuentran en inventario, el departamento de producción no será
capaz de cumplir con la demanda que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y
11000 onzas de material de soldadura. Debido a que la administración no espera que
continúe el nivel de demanda tan alto, no desea extender las instalaciones de producción,
pero tampoco quiere perder el contrato. Por consiguiente, esta considerando la posibilidad
de adquirir algunos tubos de proveedores japoneses al costo de entrega de $6 por pie de
tubo A, $6 por pie de tubo B y $7 por pie de tubo C.
El Objetivo consiste en determinar cuánto de cada tipo de tubo producir y cuánto adquirir
del Japón de modo que se puedan cumplir las demandas y maximizar las ganancias de la
Compañía. Sin embargo un segundo objetivo surge cuando el director ejecutivo le informa
que el gobierno ha pedido un esfuerzo voluntario para reducir la cantidad de gasto
monetario en importaciones.
Paso 0: Maximizar las ganancias y Minimizar los costos de importación

Xi = Cantidad de pies de tubo i a producir
Yi = Cantidad de pies de tubo i a importar
Paso 2: Plantear las Funciones Objetivo
Max
Xo = 7X1 + 8X2 + 5X3 + 4Y1 + 6Y2 + 2Y3

Min
Yo = 6Y1 + 6Y2 + 7Y3
Paso 3: Plantear las restricciones estructurales

Sujeta a:
Restricciones de demanda
X1 + Y1 =2000
X2 + Y2 = 4000
X3 + Y3 = 5000
Restricciones de Recursos
0.5 X1 + 0.45 X2 + 0.6 X3 <= 2400

X1 + X2 + X3 <= 5500
Paso 4: Plantear las condiciones técnicas
∀ Xi, Yi >= 0
Resolviendo el problema para cada función objetivo, se tiene los resultados en la tabla 3.4.
Tabla 3.4
Variables Sólo primer Objetivo Sólo segundo objetivo

X1 2000 1200
X2 0 4000
X3 2333.33 0
Y1 0 800
Y2 4000 0
Y3 2666.67 5000
Xo 55,000 53,600
Yo 42,666.67 39,800
Como se puede observar en la tabla 3.4 hay conflicto entre los dos objetivos y se
procederá a definir las metas para cada uno de estos objetivos. Como la máxima ganancia
que se lograría es de 55,000 se fijará este valor como un valor meta. Como el costo de
importación mínimo es de 39,800 se podría fijar este valor como un valor meta, pero
también se puede estar conforme si el costo mínimo es de 40,000 y se fija este valor como
la meta.
Restricción meta de ganancias
7X1 + 8X2 + 5X3 + 4Y1 + 6Y2 + 2Y3 + n1 – p1 = 55,000 Min (n1)
Restricción meta de Costos
6Y1 + 6Y2 + 7Y3 + n2 – p2 = 40,000 Min (p1)
Para definir las penalizaciones o ponderaciones para las variables desviacionales se

propone lo siguiente:
Penalizar la ganancia con Bs.2 por cada boliviano que este por debajo de los 55,000
Penalizar el costo de importación con Bs.1 por cada boliviano que este por encima de los
40,000.
El modelo lineal correspondiente sería:

Objetivo:
Min.
Zo= 2n1 + p2
Sujeta a:
X1 + Y1 = 2000
X2 + Y2 = 4000
X3 + Y3 = 5000
0.5 X1 + 0.45 X2 + 0.6 X3 <= 2400
X1 + X2 + X3 <= 5500
Restricciones meta
7X1 + 8X2 + 5X3 + 4Y1 + 6Y2 + 2Y3 + n1 – p1 = 55,000

6Y1 + 6Y2 + 7Y3 + n2 – p2 = 40,000
Condiciones técnicas
∀X, n, p >= 0
La solución del modelo de programación por metas con los valores óptimos se muestra en
la tabla 3.5.
Tabla 3.5
Variables Sólo primer Sólo segundo Objetivo de programación

Objetivo objetivo por metas
X1 2000 1200 2000
X2 0 4000 3,111.11
X3 2333.33 0 0
Y1 0 800 0
Y2 4000 0 888.89
Y3 2666.67 5000 5000
n1 7000
n2 0
p1 0
p2 1000
Xo 55,000 53600 54,222.22
Yo 12,666.67 39,800 40,333.33
Zo 15,000
Mientras mayor sea el valor de la penalización de la variable desviacional respecto a

la penalización de las otras variables desviacionales, más se aproximará a cumplir con la
meta asociada. El valor de Zo es el resultado de la suma de todas las penalizaciones, por lo
que siempre se Minimizará.
3.7 LA FORMULACIÓN DE PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN

MULTIOBJETIVA CON PRIORIDADES.
En los dos ejemplos anteriores se hizo la suposición de que se podría determinar con
exactitud la importancia relativa de las dos metas. Sin embargo, en muchos casos es posible
que quien toma decisiones no pueda determinar exactamente la importancia relativa de las
metas. Cuando éste es el caso, puede ser que la programación por metas con prioridades sea
una herramienta útil.
Recuerde que entre los tipos de soluciones que se pueden dar a problemas de PL
está la solución óptima finita única, óptima múltiple, ilimitada e inconsistente. Para éste
último caso es posible que la programación por metas prioritarias pueda dar una solución
“razonable”.
Para aplicar ésta técnica el tomador de decisiones debe categorizar sus metas desde
la más importante hasta la menos importante. Esto quiere decir que la meta con Prioridad 1
tiene mucha mayor importancia que la meta con prioridad 2 y ésta a su vez mayor prioridad
que la meta con Prioridad 3.
El modelo correspondiente es:
Objetivo
Min
z = ∑ Pi (v i )
Sujeta a:
ai1 x1 + ai2x2 + ai3x3 (<=, =, >=) bi
Restricciones meta
ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ni – pi = bi
∀ xi, ni , pi >= 0
donde :
Pi = prioridad asociada a la(s) variable(s) desviacional(es)

vi = variable desviacional (ni ó pi)
aij = coeficientes tecnológicos
bi = recursos
xi = variable de decisión
ni = variable desviacional de faltante
pi = variable desviacional de exceso
Ejemplo 3.3
Fruit Computer Company está lista para efectuar su compra anual de chips de
microprocesador. Fruit puede comprar chips en lotes de 100 a sus tres proveedores. La
calidad de cada chip se califica como excelente, buena o mediocre. Durante el año próximo,
Fruit necesitará 5 000 chips excelentes, 3 000 buenos y 1000 mediocres. Las características
de los chips que se compran con cada proveedor se muestra en la Tabla 3.6. Cada año, Fruit
destina 28 000 dólares para chips. Si la compañía no obtiene los chips suficientes de
determinada calidad, puede hacer un pedido especial por chips adicionales a 10 dólares por
cada chip excelente, 6 dólares por cada bueno y 4 dólares por cada chip mediocre. Fruit
impone una multa de 1 dólar por cada dólar que la cantidad pagada a los proveedores 1 a 3
excede al presupuesto anual.
a) Formule y resuelva una programación lineal que ayude a Fruit a mantener al
mínimo la multa asociada al cumplimiento de las necesidades anuales de chips.
b) También, mediante una programación de metas prioritarias determine una estrategia
de compra. La prioridad máxima la tiene la restricción de presupuesto, seguida por
las restricciones de chips excelentes, buenos y mediocres, en ese orden.
Tabla 3.6
Características de un lote de 100 chips Precio por 100

chips
(dólares)
Excelentes Buenos Mediocres
Proveedor 1 60 20 20 400
Proveedor 2 50 35 15 300
Proveedor 3 40 20 40 250
a) Formulación de Programación lineal.
Paso 0: Minimizar las penalizaciones

Xi = Cantidad de lotes, de 100 chips, a comprar del proveedor i
Paso 2: Plantear las restricciones del sistema y restricciones meta
Restricciones meta
60 X1 + 50 X2 + 40 X3 + n1 – p1 = 5000 Min (n1)

20 X1 + 35 X2 + 20 X3 + n2 – p2 = 3000 Min (n2)
20 X1 + 15X2 + 40 X3 + n3 – p3 = 1000 Min (n3)
400 X1 + 300 X2 + 250 X3 + n4 – p4 = 28,000 Min (p4)
∀ X, n, p >= 0
Paso 4: Formular la Función Objetivo
Min
Zo = 10n1 + 6n2 + 4n3 + p4

b) Formulación por metas prioritarias
Paso 0: Minimizar las penalizaciones

Xi = Cantidad de lotes, de 100 chips, a comprar del proveedor i
Paso 2: Plantear las restricciones del sistema y restricciones meta
Restricciones meta
60 X1 + 50 X2 + 40 X3 + n1 – p1 = 5000 Min (n1)

20 X1 + 35 X2 + 20 X3 + n2 – p2 = 3000 Min (n2)
20 X1 + 15X2 + 40 X3 + n3 – p3 = 1000 Min (n3)
400 X1 + 300 X2 + 250 X3 + n4 – p4 = 28,000 Min (p4)
∀ X, n, p >= 0
Paso 4: Formular la Función Objetivo
Min
Zo = P1( p4) + P2(n1) + P3(n2) + P4(n3)
3.8 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN POR

METAS PRIORITARIAS
Para la resolución de modelos de programación por metas prioritarias se presentan

los siguientes métodos:
Método Gráfico de programación por metas

Método Simplex de programación por metas
3.8.1 MÉTODO GRÁFICO DE PROGRAMACIÓN POR METAS
El interés de incorporar el método gráfico es para facilitar básicamente la

comprensión de las complejidades asociadas con la resolución de problemas de
programación por metas prioritarias.
Las características que deben tener los problemas de PLE para ser resueltos por esta
metodología es:
Objetivo: Minimización, ya que esta asociada a penalidades

Variables: Un máximo de dos variables originales
Restricciones : No hay límite, y pueden ser una combinación de restricciones del sistema
y restricciones meta
Al igual que en el método gráfico para problemas de PL continua, cada variable se

asigna a un eje de coordenadas, se grafican las restricciones del sistema y las restricciones
meta.
Determinación de mejoría de Zo
Para determinar la mejoría de Zo se debe minimizar las variables desviacionales de

acuerdo a su prioridad e ir reduciendo el área factible hasta determinar la solución del
problema.
Si la función objetivo es
Min
Zo= P1( p1) + .....
S.A.
Restricción meta
4x1 + 5x2 + n1 – p1 = 20 (Min p1)
…..
El área factible se representa de forma sombreada en el gráfico 3.1. En esta región

cualquier punto para x1 y x2 hará que n1 tome un valor de 0 ó positivo, por lo que p1
siempre tomará el valor de 0 y esto, a su vez, indica que la meta se cumple en un 100%
X2
4
p1
n1
5 X1
Gráfico 3.1
Entre las soluciones que se pueden hallar están: Solución óptima única, Solución
múltiple y solución ilimitada.
Ejemplo 3.4
Resolver el siguiente problema de programación por metas prioritarias mediante el

método gráfico
Min
Zo = P1(n1) + P2 (n2) + P3( n3)
Sujeta a:
7x1 + 3X2 + n1 – p1 = 40
10 X1 + 5X2 + n2 – p2 = 60
5X1 + 4X2 + n3 – p3 = 35
100 X1 + 60 X2 <= 600
X,n,p, >= 0
En primera instancia se debe graficar las restricciones del sistema como se muestra
en el gráfico 3.2
13
12
11
10
9
8
7 Restricción
del sistema
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
Gráfico 3.2
Para graficar una restricción meta únicamente consideramos las variables originales,
y las variables desviacionales toman valores positivos hacia las áreas laterales de la
restricción como se indica en el gráfico 3.3 , pero ¿Cómo definir el área para una variable
desviacional? Considere la primera restricción meta.
7x1 + 3X2 + n1 – p1 = 40
Ubicamos en el gráfico 3.3 un punto cualquiera, por comodidad el punto (0,0) y este
punto evaluamos en la restricción meta, con lo que quedaría:
7(0) + 3(0) + n1 – p1 = 40
n1 – p1 = 40
Como n * p debe ser igual a 0, para que se iguale la ecuación necesariamente n1

toma el valor positivo de 40, esto a su vez indica que n1 debe tomar valor positivo hacia el
punto seleccionado, en este caso (0,0) y se representa en el gráfico 3.3. Para el resto de las
restricciones meta se procede de igual manera como se muestra en los gráficos 3.4 y 3.5
13 p1
12 n1
Incorporando la primera
11 restricción meta
10
9
87
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
Gráfico 3.3
13 p1
12 n1
Incorporamos la segunda
10
9
8 p2
7 n2
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
Gráfico 3.4
13 p1
12 n1
Incorporamos la tercera
10
9
8 p2
7 n2
6
5
4
3 P3
2
1 n3
1 2 3 4 5 6 7
Gráfico 3.5
Una vez graficadas las restricciones (del sistema y metas) se procede a encontrar la
solución del problema con los siguientes pasos:
a) Encontrar el área factible de las restricciones del sistema como se muestra en el

gráfico 3.6
13 p1
12 n1
11
10
9
8 p2
7 n2
6
5
4
3 P3
2
1 n3
1 2 3 4 5 6 7
Gráfico 3.6
b) Proceder con la priorización de las variables desviaciones de acuerdo a la

función objetivo:
Min
Zo = P1(n1) + P2 (n2) + P3( n3)
La función objetivo indica que debemos minimizar n1 como primera prioridad y

obtenemos el gráfico 3.7
13
p1
12
11 n1
10
9
8 p2
7 n2
6
5
4 A
3 P3
2
1 n3
1 2 3 4 5 6 7
Gráfico 3.7
En éste gráfico se puede apreciar que hay un área común entre la restricción del
sistema y la primera restricción meta.
Se procede ahora con la meta de prioridad 2 que corresponde a minimizar n2.

(Minimizar n2 significa que sin desmejorar la solución hasta la prioridad anterior tratar de
cumplir con esta segunda prioridad) El punto factible se observa en el gráfico 3.8
Una vez encontrado un punto factible, las siguientes metas no modificarán esta
solución, por lo que la solución óptima corresponde al punto (6,0)
13
12 p1
11 n1
10
9
8 p2
7 n2
6
5
4 A
3
P3
2
1 n3
1 2 3 4 5 6 7
Gráfico 3.8
3.9 MÉTODO SIMPLEX DE PROGRAMACIÓN POR METAS PRIORITARIAS
Para la resolución de problemas de programación por metas prioritarias que

involucran 2 o más variables originales se utiliza en el método Simplex Tabular, haciendo
alguna modificación para incorporar las prioridades. Es importante también recordar la
metodología del simplex matricial cuyas fórmulas principales son las siguientes:
El valor de la función objetivo Xo se halla multiplicando el vector de coeficientes

básicos por el vector de variables básicas.
Xo = cB xB
Donde XB= B-1b
El efecto neto de las variables no básicas representadas por φj se obtiene como:
φ j = c J − c B B −1a j
Si se define
α j = B −1a j
entonces
φ j = c J − c Bα j
o bien, si definimos que:
w = C B B −1
entonces:
φ j = c J − wa j
Esto elementos se ubican en la tabla 3.7 del simplex de programación por metas prioritarias
Tabla 3.7
cj c1 c2 c3 cn
P1 Base X1 X2 X3 ..... Xn Solución
α 11  α 12  α 13  α 1n 
α  α  α  α 
Cb T Xb  21   22   23  .......  2n  B-1 b
...  ...  ...  ... 
       
α m1  α nm  α m3  α mn 
P1 φ1 φ2 φ3 φn CBXB
La metodología de resolución se basa en trabajar por prioridades y aplicar la

metodología del simplex tabular en cada prioridad. Los pasos se resumen a continuación
Paso 1: Encontrar la solución básica factible inicial (SBFI)
A partir del modelo se plantea la solución básica factible inicial donde las variables
básicas están compuestas de las variables de holgura y las variables desviacionales que
toman valores positivos cuando las variables originales toman el valor de 0.
Paso 2: Aplicar el criterio de mejorabilidad
Una vez encontrada la SBFI, se debe determinar si esta solución es mejorable. Para
ello nos fijamos en los efectos netos de las variables no básicas (las variables que no están
en la base) y seleccionamos como variable de entrada aquella que tenga el menor efecto
neto negativo. Si todos los efectos netos son no negativos, entonces la solución ya no puede
ser mejorable
Paso 3: Aplicar el criterio de factibilidad

Una vez que se ha encontrado la variable de entrada, debemos determinar la variable
de salida y para ello aplicamos el criterio de factibilidad que consiste en encontrar el valor
mínimo para θ (división de Xb entre α )
Empate en la variable de salida

Se pueden presentar casos en los que existe un empate en la variable de salida
P1 (n1) + P2 (n2)
Base …. Xi … Solución
n1 1 4 - Sale por prioridad
X1 0 6
n2 1 4
P1 (n1) + P2 (n3)
Base …. Xi … Solución
p1 1 4
X1 0 6
n3 1 4- Sale porque p1 no está entre las prioridades
Ejemplo 3.5
Resolver el siguiente modelo utilizando el método simplex de programación por metas

prioritarias
Min
Zo = P1(n1) + P2 (n2) + P3( n3)
Sujeta a:
7 X1 + 3X2 + n1 – p1 = 40
10 X1 + 5X2 + n2 – p2 = 60
5 X1 + 4X2 + n3 – p3 = 35
100 X1 + 60 X2 <= 600
X,n,p, >= 0
Prioridad 1
Para resolver este problema iniciar por la prioridad 1 que consiste en minimizar el
valor de n1. Por ello, en la parte izquierda, superior e inferior de la tabla se considera
únicamente las variables desviacionales incorporadas en la prioridad 1
Paso 1: Encontrar la solución básica factible inicial

P1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
P1 Base x1 x2 n1 n2 n3 p1 p2 p3 s1 Solución θ
1 n1 7 3 1 0 0 -1 0 0 0 40 5.71
0 n2 10 5 0 1 0 0 -1 0 0 60 6.00
0 n3 5 4 0 0 1 0 0 -1 0 35 7.00
0 S1 100 60 0 0 0 0 0 0 1 600 6.00
P1 -7 -3 0 0 0 1 0 0 0 40
Los efectos netos de las variables no básicas son φx1 = -7, φx2 = -3, φp1 =1 φp2 = 0,
φp3 = 0 , φs1 =0. Como φx1 = -7 es el efecto neto más negativo entre todos ellos se elige a X1
como la variable de entrada.
Para determinar la variable de salida aplicamos el criterio de factibilidad que

consiste en dividir la columna solución entre el vector α correspondiente a la variable de
entrada, cuando los elementos del vector α son positivos. Luego se debe seleccionar el
valor θ mínimo.
θ = min
( )
 B −1 b i 
; ∀(α k )i > 0  = min
 40 60 35 600 
 ; ; ;  = 40 / 7 = 5.71
 (α k )i   7 10 5 100 
Paso 1: Encontrar la Solución Básica Factible
Una vez que se ha hecho el intercambio de variables se aplica el método de Gauss

Jordan para hallar la nueva solución factible.
P1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
P1 Base x1 x2 n1 n2 n3 p1 p2 p3 s1 Solución
0 x1 1 0.4 0.1 0 0 -0.1 0 0 0 5.71
0 n2 0 0.7 -1.4 1 0 1.4 -1 0 0 2.86
0 n3 0 1.9 -0.7 0 1 0.7 0 -1 0 6.43
0 s1 0 17 -14 0 0 14 0 0 1 28.57
P1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.00
A partir de la solución factible encontrada en el paso 1 se procede a determinar si

esta solución puede o no ser mejorable observando los efectos netos de las variables no
básicas, en este caso todos los efectos netos son no negativos lo que indica que esta
solución, para la prioridad 1, no puede ser mejorable. Antes de proceder a trabajar con la
prioridad 2 se debe eliminar todas aquellas columnas cuyo efecto neto final sea
positivo.
Prioridad 2
Encontrada la solución inmejorable para la prioridad 1, se procede a trabajar con la

prioridad 2, a partir de la tabla óptima de la prioridad 1. Por ello, en la parte izquierda,
superior e inferior de la tabla se considera únicamente las variables desviacionales
incorporadas en la prioridad 2
Con los nuevos valores de la prioridad 2 se calculan los efectos netos.

P2 0 0 1 0 0 0 0 0
P2 Base x1 x2 n2 n3 p1 p2 p3 s1 Solución θ
0 x1 1 0.4 0 0 -0.1 0 0 0 5.71 ----
1 n2 0 0.7 1 0 1.4 -1 0 0 2.86 2.00
0 n3 0 1.9 0 1 0.7 0 -1 0 6.43 9.00
0 s1 0 17 0 0 14 0 0 1 28.6 2.00
P2 0 -0.7 0 0 -1.4 1 0 0 2.86
Los efectos netos de las variables no básicas son φx2 = -0.7, φp1 =-1.4 φp2 = 1, φp3 =
0 , φs1 =0. Como φp1 = -1.4 es el efecto neto más negativo entre todos ellos se elige a p1
como la variable de entrada.
Para determinar la variable de salida se aplica el criterio de factibilidad que consiste

en dividir la columna solución entre el vector α correspondiente a la variable de entrada,
cuando los elementos del vector α son positivos. Luego se debe seleccionar el valor θ
mínimo.
θ = min
( )
 B −1 b i  
; ∀(α k )i > 0  = min  − −−;
2.86 6.43 28.6 
; ; =2
 (α k )i   1.4 0.7 14 
Existe un empate en la variable de salida. Se debe dar preferencia a la variable

desviacional involucrada en la prioridad, por lo que la variable n2 debe convertirse en la
variable de salida.
Una vez realizado el intercambio de variables se aplica el método de Gauss Jordan

para encontrar la nueva solución factible.
P2 0 0 1 0 0 0 0 0
P2 Base x1 x2 n2 n3 p1 p2 p3 s1 Solución
0 x1 1 0.5 0.1 0 0 -0.1 0 0 6.00
0 p1 0 0.5 0.7 0 1 -0.7 0 0 2.00
0 n3 0 1.5 -0.5 1 0 0.5 -1 0 5.00
0 s1 0 10 -10 0 0 10 0 1 0.00
P2 0 0 1 0 0 0 0 0 0.00

solución, para la prioridad 2, no puede ser mejorable. Antes de proceder a trabajar con la
prioridad 3 se debe eliminar todas aquellas columnas cuyo efecto neto final sea
positivo.
Prioridad 3
Encontrada la solución inmejorable para la prioridad 2, se procede a trabajar con la

prioridad 3, a partir de la tabla óptima de la prioridad 2. Por ello, en la parte izquierda,
superior e inferior de la tabla se considera únicamente las variables desviacionales
incorporadas en la prioridad 3.

Con los nuevos valores de la prioridad 3 se calculan los efectos netos.
P3 0 0 1 0 0 0 0
P3 Base x1 x2 n3 p1 p2 p3 s1 Solución θ
0 x1 1 0.5 0 0 -0.1 0 0 6.00 12.00
0 p1 0 0.5 0 1 -0.7 0 0 2.00 4.00
1 n3 0 1.5 1 0 0.5 -1 0 5.00 3.33
0 s1 0 10 0 0 10 0 1 0.00 0.00
P3 0 -1.5 0 0 -0.5 1 0 5.00
Los efectos netos de las variables no básicas son φx2 = -1.5, φp2 = -0.5, φp3 = 1 , φs1
=0. Como φx2 = -1.5 es el efecto neto más negativo entre todos ellos, se elige a x2 como la
variable de entrada.
Para determinar la variable de salida aplicamos el criterio de factibilidad que

consiste en dividir la columna solución entre el vector α correspondiente a la variable de
entrada, cuando los elementos del vector α son positivos y se debe seleccionar el valor
mínimo.
θ = min
( )
 B −1 b i 
; ∀(α k )i > 0  = min
 6 2 5 0
 ; ; ; =0
 (α k )i   0.5 0.5 1.5 10 
Como el valor mínimo es 0 y corresponde a la variable S1, ésta se convierte en la
variable de salida
Una vez que se ha hecho el intercambio de variables se aplica el método de Gauss

Jordan para encontrar la nueva solución factible.
P3 0 0 1 0 0 0 0
P3 Base x1 x2 n3 p1 p2 p3 s1 Solución
0 x1 1 0 0 0 -0.6 0 -0.1 6.00
0 p1 0 0 0 1 -1.2 0 -0.1 2.00
1 n3 0 0 1 0 -1 -1 -0.2 5.00
0 x2 0 1 0 0 1 0 0.1 0.00
P3 0 0 0 0 1 1 0.2 5.00

solución, para la prioridad 3, no puede ser mejorable.
Por lo que la solución del problema planteado es:

X1*=6, X2*= 0
En la función objetivo se ha minimizado:
La prioridad 1 P1(n1) hasta un valor de 0
Esto quiere decir que las dos primeras metas se han cumplido en su totalidad, pero la
tercera meta ha quedado por debajo de lo establecido.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de
aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 2400,
2200, 2700, y 2500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes cuatro meses. NSC
puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayéndolo de su inventario, o
usando cualquier combinación de las dos alternativas.
Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de
los siguientes cuatro meses sean de $7400, $7500, $7600, $7650. Como los costos suben
cada mes, debido a las presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca mas
acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de
producción, sin embargo, no puede exceder mas de 4000 toneladas en ningún mes. La
producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier
acero remanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes
que permanece allí. Estos datos se resumen en la la tabla 3.8
Tabla 3.8
Mes
1 2 3 4
Demanda (tons.) 2400 2200 2700 2500
Costo de producción ($/ton) 7400 7500 7600 7650
Costo de Inventario ($/ton/mes) 120 120 120 120
Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la

compañía incurre en un costo de $50 por tonelada de producción incrementada para cubrir
la mano de obra adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida
incurre en un costo de $30 para cubrir los beneficios de los empleados no utilizados.
El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario

que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al
menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada.
Formule un modelo de programación de metas apropiado para el plan de producción

de NSC que minimice los costos totales en los siguientes cuatro meses en los que la
gerencia ha establecido una meta de $79 millones. Así mismo para el caso de una huelga
por parte de los trabajadores del acero, un segundo objetivo de maximizar la cantidad
promedio de inventario para el que se ha establecido un objetivo de 3600 toneladas, esto es,
la suma de los inventarios (I1 + I2 + I3 + I4 + I5) tiene una meta de 18000 toneladas. Suponga
que el valor por cada tonelada por la que esta suma no alcanza la meta es 400 veces aquella
por la que cada dólar excede el presupuesto objetivo.
2.- Case Chemical produce un compuesto al mezclar dos de sus productos: CS-01 y CS02.
Cada litro de CS-01 cuesta $3 y proporciona 5 gramos de sodio y 2 gramos de azufre a la
mezcla resultante. Cada litro de CS-02 cuesta $1 y produce 2 gramos de sodio y 1 gramos
de azufre. La mezcla resultante debe contener al menos 9 gramos de sodio y 9 de azufre. El
siguiente programa de metas está diseñado para lograr un costo objetivo de $3.50 y
producir una meta de 2 litros de mezcla, suponiendo que cada dólar de costo excedido tiene
la misma penalidad que cada litro de exceso de la mezcla producida y dos veces como cada
litro por debajo del objetivo de 2 litros.
a) Formule el modelo de Programación por metas

b) Resuelva el problema e indique ¿Cuántos litros en total se encuentran en la mezcla
final? ¿Cuánto cuesta la producción de la mezcla?
c) El director general piensa que los excesos de costos deben penalizarse el doble de lo
que se penalizan actualmente. ¿Cómo afecta las cantidades óptimas a utilizarse de
CS-01 y CS-02?
3.- Pete’s Pasta Shop hace dos tipo de tallarines: delgados y gruesos. Cada libra de
tallarines delgados produce a la compañía una ganancia de $0.50 y requiere 2.5 minutos en
su máquina cortadora. Cada libra de tallarines gruesos produce una ganancia neta de $0.40
y requiere 1.5 minutos de tiempo de máquina. La compañía tiene 40 horas de tiempo de
máquina disponible esta semana y requiere producir al menos 400 libras de tallarines
delgados y 500 libras de tallarines gruesos. Además de maximizar ganancias , para lo que
se ha establecido una meta de $800, se ha fijado un objetivo de producción de un total de
1000 libras de tallarines, auque se pueden producir mas o menos. Suponiendo que por cada
dólar que quede por debajo de la ganancia se penaliza 0.90 por cada libra de tallarines que
este por debajo de la meta y 0.45 por cada libra de exceso a la meta de producción de
tallarines.
a) Formule el modelo de programación por metas

b) Resuelva el problema y responda a las siguiente interrogantes.
a. ¿Está la compañía excediendo la meta de producción de 1000 libra?
b. Si es así ¿Por cuánto?
c. ¿Qué ganancia logrará la compañía con la solución óptima?
d. ¿Cuánto tiene que disminuir la meta de ganancias antes de que sea óptima
para satisfacer exactamente la producción de 1000 libras?
4.- Rich oil Company tiene una tanque de almacenamiento en Trenton con una capacidad
de 100000 galones y uno en Filadelfia con capacidad de 200000 galones, La compañía
desearía embarcar al menos 250000 galones a distribuidores en Nueva York y 100000
galones a aquellos en Washington, D.C. Además la compañía desea que el costo total esté
alrededor de $10000, basándose en los costos de embarque ($/gal) entre tanques de
almacenamiento y distribuidores mostrados en la tabla 3.9:
Tabla 3.9
De A
Nueva York Washington D.C.
Trenton 0.05 0.12
Filadelfia 0.07 0.10
a) Formule un modelo de programación por metas con estos tres objetivos usando el
hecho de que cada dólar de costo excedido es penalizado 11 veces como cada galón
de menos para un distribuidor.
b) Resolver este modelo y responder a las preguntas siguientes:
a. Cuanta gasolina reciben los distribuidores de Washington D.C.?
b. ¿En cuánto tendrían que incrementarse las penalizaciones apropiadas
asociadas con el incumplimiento de la meta para estos distribuidores antes
de que la solución actual ya no sea óptima?
c. Resuelva el modelo e indique ¿En cuánto tendría que disminuir la meta
objetivo para que los distribuidores de Nueva York antes de que la
penalización total incurrida caiga a 125000?
5.- Los gerentes de Fresh food Farms desean decidir cuántos de sus 50 acres cultivar con
maíz, cuántos con frijol de soya y cuántos con lechuga. La granja está limitada por la
disponibilidad de 100000 galones de agua. Cada acre dedicado a maíz requiere 5600
galones de agua y produce una ganancia neta de $640; cada acre dedicada a frijol de soya
necesita 2500 galones de agua y produce una ganancia neta de $400; y cada acre de lechuga
requiere 900 galones de agua y produce una ganancia neta de $240. Si se plantea las dos
metas de ganancia al menos de $17000 y que al menos 8 acres sean dedicados al cultivo del
maíz.
a. Formule un modelo de programación por metas usando el hecho de que
ambos objetivos tienen igual importancia. ¿Qué cantidad de acres se utilizan
bajo el plan actual?
b. Qué metas se alcanzan?
c. ¿Qué metas no se alcanzan y por cuanto?
d. La gerencia de Fresh Food Farms piensa que está subestimada la penalidad
por no dedicar suficiente tierra al maíz. ¿Qué tan sensible es la asignación
actual de tierra respecto a incrementos en este valor? Explique.
6.- Highland Appliance tiene que determinar cuántos televisores a color y videocaseteras
debe mantener en existencia. La compra de un televisor a color le cuesta Highland 300
dólres y la de una videocasetera, 200 dólares. Un televisor a color requiere 3 yardas
cuadradas de espacio para el almanecenamiento y una videocasetera necesita una yarda
cuadrada de espacio. La venta de un televisor a color le proporciona a Highland una
utilidad de 150 dólares, en tanto que la venta de una videocasetera da una utilidad de 100
dólares. Highland se ha fijado los objetivos siguientes (en orden de importancia)
Objetivo 1: Se puede gastár un máximo de de 20000 dólares en la compra de televisores a
color y video caseteras.
Objetivo 2: Highland debe ganar por lo menos 110000 dólares en utilidades por la venta de
televisores a color y videocaseteras.
Objetivo 3: Los televisores y las videocaseteras deben abarcar no mas de 200 yardas
cuadradas de espacio de almacenamiento.
Plantee un modelo de de programación por objetivos prioritarios que Highland pueda usar
para determinar cuántos televisores y a color y videocaseteras tiene que pedir. ¿Cómo se
modificaría el planteamiento por objetivos prioritarios si los objetivos de Highland tuvieran
una utilidad de exactamente 11000 dólares?
7.- Una compañía elabora dos productos. La información pertinente para cada producto se
proporciona en la tabla 3.10. La compañía tiene un objetivo de 48 dólares en utilidades e
incurre en una penalización de 1 dólar por cada dólar que le falte para cumplir con este
objetivo. Dispone de un total de 32 horas de mano de obra. Se incurre en una penalización
de 2 dólares por cada hora de tiempo extra utilizada (mano de obra utilizada después de las
32 horas). Por último, hay una penalización de 1 dólar por cada hora de mano de obra
disponible que no se utilice. Las consideraciones de mercado exigen que se elaboren por lo
menos 7 unidades del producto 1 y un mínimo de 10 unidades del producto 2. Por cada
unidad (de cualquier producto) que falte para cubrir la demanda, se fija una penalización de
5 dólares.
Tabla 3.10
Descripción Producto 1 Producto 2

Mano de obra requerida 4h 2h
Contribución a la utilidad $4 $2
a) Plantee un modelo lineal que se pueda usar para minimizar la penalización en que
incurre la compañía.
b) Suponga que la compañía establece (en orden de importancia) los objetivos
siguientes:
Objetivo 1: Evitar la subutilización de la mano de obra
Objetivo 2: Cumplir con la demanda del producto 1
Objetivo 3: Cumplir con la demanda del producto 2
Objetivo 4: No usar nada de tiempo extra
Plantee y resuelva el modelo de programación por objetivos prioritarios para esta situación.
8.- Deancorp produce embutidos mediante la mezcla de cabeza de res, lomo de cerdo, carne
de oveja y agua. El costo por libra, grasa por libra, proteína por libra de estos ingredientes
se da en la tabla 3.11. Deancorp necesita producir 100 libras de embutido y ha establecido
los objetivos siguientes, listadas en orden de prioridad.
Tabla 3.11
Descripción Cabeza Lomo Oveja Humedad

Grasa (por libra) 0.05 0.24 0.11 0
Proteína ( por libra) 0.20 0.26 0.08 0
Costo (en centavos) 0.12 9 8 0
Objetivo 1: El embutido debe contener por lo menos 15% de proteína
Objetivo 2: El embutido debe contener cuando mucho 8% de grasa
Objetivo 3: El costo por libra de embutido no debe exceder 8 centavos
Plantee un modelo de programación por objetivos prioritarios para Deancorp
9.- Hay cuatro maestros en la escuela de contaduría de la universidad Faber. Cada semestre,
200 estudiantes toman todos los siguientes cursos: mercadotecnia, finanzas, producción y
estadística. La “efectividad” de cada maestro al enseñar su materia se da en la tabla 3.12.
Cada maestro puede enseñar a un total de 200 alumnos durante el semestre. El director ha
establecido el objetivo de obtener un nivel de efectividad en la enseñanza promedio de
alrededor de 6 en cada curso. Las desviaciones respecto a este objetivo en cualquier curso
se consideran de igual importancia. Plantee un modelo de programación por objetivos que
se pueda usar para determinar los niveles de la enseñanza en el semestre.
Tabla 3.12
Maestro Mercadotecnia Finanzas Producción Estadística

1 7 5 8 2
2 7 8 9 4
3 3 5 7 9
4 5 5 6 7
10.- La Universidad Faber está admitiendo aspirantes a los cursos del 2008. Hay cuatro
objetivos para ellos, que se listan en orden de prioridad:
Objetivo 1: Los estudiantes que ingresen deben ser por lo menos 5000
Objetivo 2: Los estudiantes que ingresen deben tener por lo menos una calificación
promedio de 640 en la prueba de aptitudes.
Objetivo 3: Por lo menos, 25% de los estudiantes que ingresen deben ser de otros estados.
Objetivo 4 Por lo menos, 2000 estudiantes de los que ingresen no deben ser Nerds.
Los aspirantes que recibe Faber se clasifican según la tabla 3.13. Formule un modelo de
programación por objetivos prioritarios con el que se pueda determinar cuántos aspirantes
de cada tipo deben ser admitidos. Suponga que todos los aspirantes que son admitidos
deciden asistir a esta universidad.
Tabla 3.13
Lugar de residencia Calificación en la Número de Número de
prueba de aptitudes Nerds No Nerds
Mismo estado 700 1500 400
Otro estado 700 350 450
11.- Wivco encara la demanda siguiente de Globots durante los cuatro próximos trimestres:
trimestre 1, 13 Globots; trimestre 2, 14 Globots; trimestre 3, 12 Globots; trimestre 4, 15
Globots. Los Globots se pueden fabricar con mano de obra en el horario regular o con
mano de obra en tiempo extra. La capacidad de producción durante los próximos cuatro
trimestres se proporcionan en la tabla 3.14. Wivco ha establecido los objetivos siguientes
en orden de importancia:
Tabla 3.14
Trimestre Horario Regular Tiempo extra
Capacidad Costo/unidad Capacidad Costo/unidad
1 9 $4 5 $6
2 10 $4 5 $7
3 11 $5 5 $8
4 12 $6 5 $9
Objetivo 1: Cumplir la demanda de cada trimestre a tiempo

Objetivo 2: El inventario al final de cada trimestre no puede ser mayor a 3 unidades
Objetivo 3: El costo de producción total debe mantenerse por debajo de 250 dólares.
Desarrolle un modelo de programación por objetivos prioritarios que se pueda usar para
determinar el programa de producción para los siguientes cuatro trimestres. Suponga que al
principio del primer trimestre hay un Globat en inventario.
12.- La tienda de discos Ricky emplea ya 5 empleados de tiempo completo y tres

empleados de medio tiempo. La carga de trabajo normal es de 40 horas a la semana para los
empleados de tiempo completo y de 20 horas a la semana para los empleados d medio
tiempo. Cada empleado de tiempo completo recibe 6 dólares por hora por trabajar hasta 40
horas a la semana y puede vender 5 discos por hora. Un empleado de tiempo completo que
trabaja tiempo extra, recibe 10 dólares por hora. Los empleados de medio tiempo reciben 3
dólares por hora y pueden vender 3 discos por hora. A Ricky le cuesta 6 dólares comprar
un disco y vende cada disco en 9 dólares. Ricky tiene gastos fijos a la semana de 500
dólares. Ha establecido los objetivos siguientes por semana, listados en orden de prioridad.
Objetivo 1: Vender por lo menos 1600 discos por semana.

Objetivo 2: Tener una utilidad de por lo menos 2200 dólares por semana.
Objetivo 3: Los empleados de tiempo completo deben trabajar cuando mucho 100 horas
de tiempo extra.
Objetivo 4: Para aumentar el sentido de seguridad en el trabajo, se debe minimizar la
cantidad de horas que cada empleado de tiempo completo trabaja después de las 40 horas.
Establezca un modelo de programación por objetivos prioritarios que se pueda usar para
determinar cuántas horas por semana debe trabajar cada empleado.
13.- Gotham City pretende determinar el tipo y la ubicación de las instalaciones recreativas
que se construirán en la década próxima. Se está pensando en cuatro tipos de instalaciones:
Campos de Golf, Albercas, Gimnasios y canchas de tenis. Hay seis lugares para ello. Si se
construye un campo de golf tiene que ser en el sitio 1 o en el sitio 6. Otras instalaciones se
pueden erigir en los sitios 2 a 5. El terreno disponible (en miles de pies cuadrados) en cada
sitio se señala en la tabla 3.15.
Tabla 3.15
Sitio
2 3 4 5
Terreno 70 80 95 120
El costo de la construcción de cada instalación (en miles de dólares), el

mantenimiento anual (en miles de dólares) por cada instalación y el terreno (en miles de
pies cuadrados) que requiere cada instalación se indica en la tabla 3.16.
Tabla 3.16
Sitio Costo de Costo de Terreno Requerido
Construcción mantenimiento
Golf 340 80 No relevante
Natación 300 36 29
Gimnasio 840 50 38
Canchas de tenis 85 17 45
La cantidad de días-usuario (en miles) por cada tipo de instalación depende del
lugar donde se construya. Esta relación de dependencia se proporciona en la tabla 3.17
Tabla 3.17
Sitio 1 2 3 4 5 6
Golf 31 X X X X 27
Natación X 25 21 32 32 X
Gimnasio X 37 29 28 38 X
Canchas de tenis X 20 23 22 20 X
a) Considere el siguiente conjunto de prioridades:

Prioridad 1: Uso límite del terreno en cada sitio respecto al terreno disponible.
Prioridad 2: Los costos de construcción no deben exceder 1.2 millones de dólares.
Prioridad 3: Los días-usuario deben exceder 200000.
Prioridad 4: Los costos de mantenimiento al año no deben ser mayores a los 200000
dólares.
Por lo que se refiere a este conjunto de prioridades, utilice la programación por objetivos
prioritarios para determinar el tipo y ubicación de las instalaciones recreativas en Gotham
City.
b) Considere el siguiente conjunto de prioridades.
Prioridad 1: Usos del terreno límite en cada sitio respecto al terreno disponible
Prioridad 2: Los días-usuario deben exceder 200000.
Prioridad 3: Los costos de construcción no deben exceder 1.2 millones de dólares.
Prioridad 4: Los costos de mantenimiento al año no deben sobrepasar los 200000 dólares.
Por lo que toca a este conju8nto de prioridades, utilice la programación por objetivos
prioritarios para determinar el tipo y ubicación de las instalaciones recreativas de Gotham
City.
14.- Una pequeña compañía aeroespacial planea 8 proyectos:

Proyecto 1: Desarrollar una instalación de pruebas automatizadas.
Proyecto 2: Asignar un código de barras a todo el inventario y maquinaria de la compañía
Proyecto 3: introducir un sistemasCAD/CAM
Proyecto 4 Comprar un torno y un sistema nuevo para eliminar rebabas.
Proyecto 5: Instituir el sistema de manufactura flexible
Proyecto 6: Instalar una red de área local.
Proyecto 7: Desarrollar la instalación de Inteligencia Artificial.
Proyecto 8 Establecer una iniciativa de administración de Calidad Total.
Cada proyecto se clasificó según cinco atributos: rendimiento de la inversión (RDI), costo,
mejoramiento de la productividad, trabajadores necesarios y grado de riesgo tecnológico.
Los valores se dan en la tabla 3.18.
La compañía ha fijado los siguientes 5 objetivos. (listados en orden de prioridad)
Objetivo 1: Alcanzar un rendimiento de la inversión de por lo menos 3250 dólares.

Objetivo 2: Costo límite de 1300 dólares.
Objetivo 3: Alcanzar un mejoramiento en la productividad de por lo menos 6
Objetivo 4: Limitar la fuerza de trabajo a 108.
Objetivo 5: Limitar el riesgo tecnológico a un total de 4.
Utilice la programación de objetivos prioritarios para determinar qué proyectos se deben

emprender.
15.- Resuelva el siguiente modelo por el Método Gráfico
Min
Z= P1(p1) + P2(n2) + P3(n3)
S.A.
X1 + X2 + n1 – p1 =10
2X1 + X2 + n2 – p2 = 26
-X1 + 2X2 + n3 – p3 = 6
X,n,p >=0
16.- Resuelva el siguiente modelo mediante el método gráfico
Min z= P1 (p1) + P2 (n2) + P3(n5) + P4(p3) + P5(n4)
S.A.
3X1 + 2X2 + n1-p1=12
5X1 + n2-p2=10
X1 + X2 + n3 – p3 = 8
-X1 + X2 + n4 – p4 = 4
X1 + 1/2 X2 + n5 – p5 = Max
X,N,P >=0
17.- Resuelva el siguiente modelo por el método Simplex Modificado General.
Min z= P1 (p1+p2) + P2 (n3) + P3(p4) + P4(p5)
S.A.
4X1 + 5X2 + n1 - p1=80
4X1 + 2X2 + n2 - p2=48
80X1 + 100X2 + n3 – p3 = 800
X1 + n4 – p4 = 6
X1 + X2 + n5 – p5 = Min
X,N,P >=0

Min z= P1 (n1 + p1) + P2 (n2 + n3)
S.A.
S.A.
80X1 + 40X2 + n1 - p1 = 640
X1 + n2 - p2 = 6
X2 + n3 – p3 = 8
X,N,P >=0
Min z= P1 (p1 + p2 + p3) + P2 (p4 + n5 + p6 + n7) + P3(n8)

S.A.
X1 + 2X2 + n1 - p1=60
X2 + n2 - p2=20
2X1 + n3 – p3 = 40
X1 + n4 – p4 = 30
X1 + n5 – p5 = 20
X2 + n6 – p6 = 20
X2 + n7 – p7 = 10
100 X1 + 80X2 + n8 – p8 = Max
X,N,P >=0
20.- Resuelva el siguiente problema por el método gráfico
Min
Z= P1(n1) + P2(n3) + P3(n2) + P4 (p1 + p2)
S.A:
2X1 + X2 + n1 – p1 = 20
X1 + n2 – p2 = 12
X2 + n3 – p3 = 10
X,n,p >=0
21.- Resuelva el siguiente modelo por el método Simplex Modificado General.
Min
Z= P1(n1) + P2(p2) + P3(8n3 + 5 n4) + p4 (p1)
S.A.
X1 + X2 + n1 – p1 = 100
X1 + X2 + n2 – p2 = 90
X1 + n3 – p3 = 80
X2 + n4 – p4= 55
X,n,p >=0

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CAPÍTULO III

OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVA CON PROGRAMACIÓN POR

3.1 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVA CON

Los objetivos múltiples, a menudo, entran en conflicto entre si y sólo se podría

La programación por metas se aplica normalmente a modelos lineales; y se

En el enfoque de programación por metas hay dos tipos de restricciones a

3.2.1 LAS RESTRICCIONES DEL SISTEMA

Denominadas también restricciones duras, son aquellas que se caracterizan porque

a11X1 + a12X2 + a13x3 <= b1 (1)

3.2.2 LAS RESTRICCIONES META

Denominadas también restricciones blandas, son aquellas que se caracterizan

a11X1 + a12X2 + a13X3 +n1 – p1= b1 Min (n1) (2)

Donde n1 representa el faltante y p1 representa el exceso. Ambas variables se

Las condicionantes para el uso de éstas variables son:

a) La multiplicación de n por p debe ser siempre cero.

En el caso de la restricción (2), se pretende que la suma de los términos asociados a

3.2.2.1 TIPOS DE RESTRICCIONES METAS POSIBLES:

Existen tres tipos

3.2.2.2 CONSIDERACIONES DE LAS RESTRICCIONES META:

a) Una meta unilateral inferior:

Restricción meta asociada

b) Una meta unilateral superior:

Restricción meta asociada

c) Una meta bilateral:

Restricción meta asociada

3.3 LA FUNCIÓN OBJETIVO

La función objetivo es siempre de minimización, ya que ésta se refiere a las

3.4 EL ENFOQUE BÁSICO DE PROGRAMACIÓN POR OBJETIVOS

a) Formular las funciones objetivo

Los problemas de acuerdo a la importancia se puede clasificar en:

3.5.1 PROGRAMACIÓN POR METAS SIN PRIORIDADES

Todas las metas tienen una importancia comparable

3.5.2 PROGRAMACIÓN POR METAS CON PRIORIDADES

3.6 LA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA UN PROBLEMA

Cuando se plantea un problema con múltiples objetivos y éstos tienen una

Restricciones del sistema

ai1 X1 + ai2X2 + ai3X3 (<=, =, >=) bi

ai1X1 + ai2X2 + ai3X3 + ni – pi = bi

wi = ponderación de la variable desviacional

El Departamento de Nutrición del Hospital General de nuestra ciudad está

Para la formulación del modelo seguimos los 5 pasos:

Minimizar la cantidad de grasa

Paso 1: Definir las variables de decisión

Paso 2: Plantear la función objetivo

Función objetivo relacionado a la grasa

Xo = 5,000X1 +5,000X2 + 7,900 X3 +300X4 + 14,300X5

Función objetivo relacionado al costo

Yo = 0.15 X1 + 0.80 X2 + 0.12 X3 + 0.20 X4 + 0.51 X5

Paso 3: Plantear las restricciones estructurales

5000 X1 +29,300 X2 + 5,300 X3 + 3,000 X4 + 4,000 X5 >=80,000

5000 X1 +29,300 X2 + 5,300 X3 + 3,000 X4 + 4,000 X5 <=100,000

Si consideramos de manera individual cada uno de los objetivos y resolvemos éstos

Variables Sólo primer Objetivo Sólo segundo objetivo

Para manejar el equilibrio de estos objetivos en conflicto utilizamos la optimización

Una meta en la forma de un valor objetivo numérico específico que definirá el

Restricción meta respecto a la cantidad de grasa

5,000X1 +5,000X2 + 7,900 X3 +300X4 + 14,300X5 + n1 – p1 = 55000 Min (p1)

Restricción meta respecto al costo total