Integral de Riemann-Stieltjes

Integral de
Riemann-Stieltjes
Tutor: Dr. Carlos Mendoza Galán

Introducción
En el presente trabajo definiremos y se dará una introducción
a la Integral de Stieljes. Para ello se revisaran algunos
conceptos del Análisis Matemático como lo es la integral, y
algunas propiedades que nos permitirán abordar e interpretar
lo deseado.
Objetivos
Objetivo General:
o Reconstruir parte la teoría de el capitulo 7 del libro Análisis matemático Apóstol que desarrolla
parte de la teoría de la integral de Stieltjes.
 Objetivos específicos:
oPresentar algunas propiedades de la integral de Stieltjes
Realizar ejemplos de la teoría propuesta
Suma de Riemann-Stieltjes
Definición 1. Sea 𝑃 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 una partición de 𝑎, 𝑏 sea 𝑡𝑘 un punto del subíntervalo

𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 . Una suma de la forma 𝑆 𝑃, 𝑓, 𝛼 = σ𝑛𝑘=1 𝑓(𝑡𝑘 ) ∆𝛼𝑘 se llama una suma de Riemann-
Stieltjes de 𝑓 respecto a 𝛼.
Diremos que 𝑓 es Riemann-integrable respecto de 𝛼 en 𝑎, 𝑏 , y escribiremos ‫∈ 𝑓ۃ‬
𝑏
Cuando tal numero A existe, es único y se representa por medio de ‫ 𝛼𝑑 𝑓 𝑎׬‬o por medio de
𝑏 𝑏
‫ 𝑥 𝛼𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬. Diremos también que existen la integral de Riemann-Stieltjes ‫𝛼𝑑 𝑓 𝑎׬‬. Las
Funciones 𝑓 y 𝛼 se denominan, respectivamente, integrando e integrador. En el caso particular en
que 𝛼 𝑥 = 𝑥, escribiremos 𝑆(𝑃, 𝑓) en vez de 𝑆 𝑃, 𝑓, 𝛼 , y 𝑓 ∈ 𝑅 en vez de 𝑓 ∈ 𝑅(𝛼). La integral
𝑏 𝑏
se llama entonces, integral de Riemann y se designa por ‫ 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎׬ 𝑟𝑜𝑝 𝑜 𝑥𝑑 𝑓 𝑎׬‬. El valor
𝑏
numérico de ‫ 𝑥 𝛼𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬depende exclusivamente de 𝑓,𝛼, a y b, y no depende en absoluto del
símbolo x. la letra x es una 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑚𝑢𝑑𝑎 y puede ser subtitulada por cualquier otro símbolo
conveniente.
Propiedades lineales de la Integral
 Teorema 1. Si 𝑓 ∈ 𝑅 𝛼 y si 𝑔 ∈ 𝑅 𝛼 en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑐1 𝑓 + 𝑐2 𝑔 ∈ 𝑅 𝛼 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 (para todo
𝑏 𝑏 𝑏
par de constantes 𝑐1 𝑦 𝑐2 ) y se tiene, ‫𝑐 𝑎׬‬1 𝑓 + 𝑐2 𝑔 𝑑𝛼 = 𝑐1 ‫ 𝛼𝑑 𝑓 𝑎׬‬+ 𝑐2 ‫ 𝛼𝑑 𝑔 𝑎׬‬.
 Teorema 2. Si 𝑓 ∈ 𝑅 𝛼 y 𝑓 ∈ 𝑅 𝛽 en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓 ∈ 𝑅(𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽) 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 (para todo par

𝑏 𝑏 𝑏
de constantes 𝑐1 𝑦 𝑐2 ) y se tiene, ‫𝑐 𝑑 𝑓 𝑎׬‬1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 = 𝑐1 ‫ 𝛼𝑑 𝑓 𝑎׬‬+ 𝑐2 ‫ 𝛽𝑑 𝑓 𝑎׬‬.
 Teorema 3. Supongamos que 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Si dos de las integrales de las integrales de (1) existen,
𝑐 𝑏 𝑏
entonces la tercera también existe y además se tiene ‫ 𝛼𝑑 𝑓 𝑎׬‬+ ‫𝛼𝑑 𝑓 𝑎׬ = 𝛼𝑑 𝑓 𝑐׬‬.
Integración por Partes
En las integrales de Riemann-Stieltjes existe una notable relación entre el
integrando y el integrador. La existencia de ‫ 𝛼𝑑 𝑓 𝑏𝑎׬‬implica la existencia de
𝑏
‫ )𝑥(𝑓𝑑)𝑥(𝛼 𝑎׬‬, y el reciproco también es cierto. Además, entre ambas
integrales se verifica una relación muy sencilla.
Teorema 4. Si 𝑓 en 𝑅(𝛼) en 𝑎, 𝑏 entonces 𝛼 ∊ 𝑅(𝑓) en 𝑎, 𝑏 y se tiene,

𝑏 𝑏
‫ 𝛼𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬+ ‫ 𝑏 𝛼 𝑏 𝑓 = 𝑥 𝑓𝑑 𝑥 𝛼 𝑎׬‬− 𝑓(𝑎)𝛼(𝑎)
Cambio de variable en una integral de Riemann-Stieltjes
Teorema 5. sea 𝑓 ∈ 𝑅 𝛼 en [a,b] y sea g una función continua estrictamente monótona definida
en un intervalo S de extremos c y d. supongamos que 𝒂 = 𝒈 𝒄 , 𝒃 = 𝒈 𝒅 . Sean h y 𝛽 las
funciones compuesta definidas como sigue:
ℎ 𝑥 =𝑓 𝑔 𝑥 , 𝛽 𝑥 = 𝛼 𝑔 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑆. Entonces ℎ ∈ 𝑅 𝛽 𝑒𝑛 𝑆 y tenemos que
𝑏 𝑑 𝑔(𝑑) 𝑑
‫𝑎׬‬ 𝑓 𝑑𝛼 = ‫𝑐׬‬ ℎ 𝑑𝛽 . 𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠, ‫)𝑐(𝑔׬‬ 𝑓 𝑡 𝑑𝛼 𝑡 = ‫ 𝑥 𝑔 𝛼 𝑑 𝑥 𝑔 𝑓 𝑐׬‬.
Reducción a una integral de Riemann
Teorema 6. Supongamos que 𝑓 ∈ 𝑅(𝛼) en 𝑎, 𝑏 y supongamos que 𝛼 posee una derivada 𝛼 ´

𝑏
continua en 𝑎, 𝑏 entonces la integral de Riemann ‫ 𝑥𝑑)𝑥( ´ 𝛼)𝑥(𝑓 𝑎׬‬existe y se verifica
𝑏 𝑏
‫ 𝑥 ´ 𝛼𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬ = 𝑥 𝛼𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬dx
Condición para la Existencia de la integral de
Riemann-Stieltjes
Teorema 7. Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 y si 𝛼 es derivación acotada en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓 ∈ 𝑅(𝛼)
en 𝑎, 𝑏 .
Ejercicio 1
𝑏
Probar que ‫ 𝑏 𝛼 = 𝑥 𝛼𝑑 𝑎׬‬− 𝛼(𝑎).
අ𝑠𝑒𝑎 𝑓 = 1 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝
= 𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1, … ,𝑥𝑛 =𝑏 , 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑆 𝑃, 𝑓, 𝛼

𝑛 𝑛
= ෍ 𝑓(𝑡𝑘 )∆𝛼𝑘 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 , ∆𝛼𝑘 = 𝛼 𝑥𝑘 − 𝛼 𝑥𝑘−1 → ෍ 𝑓 𝑡𝑘 ∆𝛼𝑘

𝑘=1 𝑘=1
𝑛 𝑛
= ෍ ∆𝛼𝑘 = ෍ 𝛼 𝑥𝑘 − 𝛼 𝑥𝑘−1 = 𝛼 𝑥1 − 𝛼 𝑥0 + 𝛼 𝑥2 − 𝛼 𝑥1 +. . . + 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑥𝑛−1

𝑘=1 𝑘=1
Funciones escalonadas como integradores
𝑏
Si 𝛼 es constante en todo el intervalo 𝑎, 𝑏 , 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ‫ 𝛼𝑑 𝑓 𝑎׬‬existe y vale 0, ya que cada
suma 𝑆 𝑃, 𝑓, 𝛼 = 0. Sin embargo, si 𝛼 es constante excepto en un punto en el que presenta una
𝑏
discontinuidad de salto, la integral ‫ 𝛼𝑑𝑓 𝑎׬‬no tiene por qué existir y, existe, no tiene por qué
valer cero. Una descripción más completa la da el siguiente teorema.
Funciones escalonadas como integradores
Teorema 8. Dados 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, definimos 𝛼 en 𝑎, 𝑏 como sigue: Los valores 𝛼 𝑎 , 𝛼 𝑐 , 𝛼 𝑏 son
arbitrarios: y 𝛼 𝑥 = 𝛼 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑐, 𝛼 𝑥 = 𝛼 𝑏 𝑠𝑖 𝑐 < 𝑥 ≤ 𝑏. Sea 𝑓 una función definida en 𝑎, 𝑏
de manera que una por lo menos de las funciones 𝑓 o 𝛼 sea continua a la izquierda de c y una por lo menos lo
sea a la derecha de c. Entonces 𝑓 ∈ 𝑅 𝛼 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒,
𝑏
න 𝑓 𝑑𝛼 = 𝑓 𝑐 𝛼 𝑐 + − 𝛼 𝑐 − .
𝑎
Ejemplo 2
𝟐𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ [𝟎, 𝟏)
𝟑
𝟎 𝒔𝒊 ∈ [𝟎, 𝟏)
Consideramos 𝒇(𝒙) 𝟐𝒙𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ∈ (𝟏, ] y 𝜶 𝒙 = ൞ 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ∈ [𝟏, 𝟐]
𝟐
𝟑 𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ∈ (𝟐, 𝟑]
𝒆𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ∈ ( , ]
𝟐
Funcion 𝛼(𝑥)
Solución del ejercicio anterior
3 1
Aplicando el teorema 8 obtenemos lo siguiente, ‫׬‬0 𝑓 𝑥 𝑑𝛼 𝑥 = ‫׬‬0 𝑓 𝑥 𝑑𝛼 𝑥 + 𝑓 1 [𝛼 1+ − 𝛼 1− ] +
2 3
‫׬‬1 𝑓 𝑥 𝑑𝛼 𝑥 + 𝑓(2)[𝛼 2+ − 𝛼 2− ] + ‫׬‬2 𝑓(𝑥) 𝑑𝛼 𝑥 = 0 + 2 1 − 0 + 0 + 𝑒 2 3 − 1 + 0 = 2 + 2𝑒 2
Ejemplo 3
0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, 1)
1
𝑠𝑖 𝑥 ∈ [1,2)
6
2
𝑠𝑖 𝑥 ∈ [2,3)
6
3 ∞
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [3,4) , Calcular ‫׬‬−∞ 𝑓(𝑥)𝑑(𝑔)
6
4
𝑠𝑖 𝑥 ∈ 4,5
6
5
𝑠𝑖 𝑥 ∈ 5,6
6
1 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [6, ∞)
Grafica de g(x)
Solución del ejercicio anterior
Aplicando el teorema 8 obtenemos lo siguiente,
Bibliografía
Análisis matemático segunda edición, T.M. Apóstol

Todo lo racional es real; y todo lo real
es racional.
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Fin…

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Definición 1. Sea 𝑃 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 una partición de 𝑎, 𝑏 sea 𝑡𝑘 un punto del subíntervalo

 Teorema 2. Si 𝑓 ∈ 𝑅 𝛼 y 𝑓 ∈ 𝑅 𝛽 en 𝑎, 𝑏 , entonces 𝑓 ∈ 𝑅(𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽) 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 (para todo par

Teorema 4. Si 𝑓 en 𝑅(𝛼) en 𝑎, 𝑏 entonces 𝛼 ∊ 𝑅(𝑓) en 𝑎, 𝑏 y se tiene,

Teorema 6. Supongamos que 𝑓 ∈ 𝑅(𝛼) en 𝑎, 𝑏 y supongamos que 𝛼 posee una derivada 𝛼 ´

අ𝑠𝑒𝑎 𝑓 = 1 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝

= 𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1, … ,𝑥𝑛 =𝑏 , 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑆 𝑃, 𝑓, 𝛼

= ෍ 𝑓(𝑡𝑘 )∆𝛼𝑘 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 , ∆𝛼𝑘 = 𝛼 𝑥𝑘 − 𝛼 𝑥𝑘−1 → ෍ 𝑓 𝑡𝑘 ∆𝛼𝑘

= ෍ ∆𝛼𝑘 = ෍ 𝛼 𝑥𝑘 − 𝛼 𝑥𝑘−1 = 𝛼 𝑥1 − 𝛼 𝑥0 + 𝛼 𝑥2 − 𝛼 𝑥1 +. . . + 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑥𝑛−1

Análisis matemático segunda edición, T.M. Apóstol

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