Conjuntos de Borel

Captulo 20
Conjuntos de Borel
Hemos demostrado ya que la familia M de los conjuntos medibles contiene
a todos los abiertos de Rn y, por tanto, a todos los conjuntos que podamos
formar a partir de los abiertos mediante las operaciones: paso a complementarios, uniones e intersecciones numerables, etc. Todos estos conjuntos
constituiran la familia de conjuntos de Borel, que nos proponemos estudiar
en este captulo. Veremos que la relaci
on entre estos conjuntos y los conjuntos medibles es mucho mas estrecha que la de una simple relaci
on de
contenido.
-Algebras
En primer lugar, vamos a precisar un concepto al que ya nos hemos referido
anteriormente, el de -algebra.
Definici
on 20.1 Sea X un conjunto. Una familia A de subconjuntos de
X diremos que forman una -algebra si satisface las condiciones siguientes:
1. Los conjuntos y X pertenecen a A .
2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B A entonces
Bc A .
3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bk A , k =
1, . . . entonces Bk A .
Procediendo como para la -algebra M , se deduce que si A es una -
algebra
entonces A es cerrada tambien respecto a las intersecciones numerables y
respecto a la diferencia de conjuntos. Por otra parte es inmediato comprobar
197
198
Conjuntos de Borel
20.1
que cualquier intersecci

on de -
algebras es tambien una -algebra. Esto
permite dar la siguiente definicion.
on 20.2 Dada una familia F de subconjuntos de un conjunto X,
Definici
llamaremos -algebra generada por F, a la menor -algebra que contiene a
F. Denotaremos a veces a esta -algebra por (F).
Es claro que (F) esta siempre bien definida. De hecho, (F) es la interseccion de todas la -algebras que contienen a F. (Notese que al menos hay
una -algebra que contiene a F, la familia P(X) de todos los subconjuntos
de X).
La -
algebra de Borel
Si X es un espacio topologico, a la -
algebra generada por los abiertos de X
se le denomina -algebra de Borel. Sabemos que en Rn la -algebra de Borel,
B, esta contenida en M (existen ejemplos que prueban que esta contencion
es estricta) y a ella pertenecen adem
as de los abiertos, los cerrados, los
conjuntos F y los G as como los semintervalos etc. Ha sido precisamente
la familia de semintervalos la que se ha tomado como base para definir
on, que esta
la medida de un conjunto y vamos a demostrar a continuaci
tambien puede obtenerse a partir de otras familias de conjuntos Borel, como
la de los abiertos, la de los G , compactos etc.
Proposici
on 20.3 Para cada conjunto A Rn se tiene:
(a) m (A) = inf{m(U ) : U abierto A}.
(b) Existe un conjunto G , G, que contiene a A y tal que m(G) = m (A).
Demostraci
on. (a) Por la monotona de la medida exterior, m (A) es menor
o igual que la medida de cada abierto que contiene a A. Luego solo hara
falta ver que existen abiertos que contienen a A y de medida tan proxima
a la de A como se desee. Sea > 0 y (Ij ) una colecci
on numerable de
semintervalos tales que
X
A Ij ,
m(Ij ) m (A) + .
Consideremos entonces para cada j un semintervalo Kj tal que
o
Ij Kj ,
m(Kj ) m(Ij ) +
.
2j
20.4
Conjuntos de Borel
199
o
Obviamente A esta contenido en el abierto U = Kj y

m(U )
m(Kj )
m(Ij ) + m (A) + 2.
(b) Si para cada natural k elegimos un abierto Uk A tal que m(Uk )

m (A) + 1/k, entonces la medida del conjunto G , G = Uk A, coincide
con la del conjunto A. (Es importante observar que esto no significa que
el conjunto G \ A sea de medida nula. De hecho, esto u
ltimo solo va ser
cierto cuando el conjunto A sea un conjuntos medible, como vamos a ver en
el siguiente teorema).
Teorema 20.4 Para un conjuto B de Rn , las condiciones siguientes son
equivalentes
(i) B es medible.
(ii) Para cada > 0 existe un abierto U B tal que m (U \ B) < .
(iii) Para cada > 0 existe un cerrado F B tal que m (B \ F ) < .
(iv) Existe un conjunto G , G B, tal que m (G \ B) = 0.
(v) Existe un conjunto F , H B, tal que m (B \ H) = 0.
on. Si B es un conjunto medible de medida finita y U es un
Demostraci
conjunto abierto que contiene a B con m(U ) < m(B) + , entonces
m(U \ B) = m(U ) m(B) < .
Si, por el contrario, m(B) = , sea {Ck } una particion numerable de Rn
por conjuntos de medida finita (por ejemplo semicubos). Entonces, llamando
Bk = B Ck y considerando un abierto Uk Bk con m(Uk \ Bk ) < /2k , se
tiene
X
m(Uk \ Bk ) < .
U = Uk B y m(U \ B) m((Uk \ Bk ))
Esto demuestra que i) implica ii).
ii) implica iv) Tomemos para cada natural p un abierto Up B tal que
m (Up \ B) < /p.
Entonces el conjunto G = Up satisface la condicion iv), pues
m (G \ B) m (Up \ B) < 1/p, p m (G \ B) = 0.
200
Conjuntos de Borel
20.4
iv) implica i) En efecto, escribamos B = G \ Z con Z = G \ B. Entonces, por la condicion iv), Z es un conjunto de medida nula, luego medible.
Resulta as que B se escribe como diferencia de dos conjuntos medibles y es,
por tanto, tambien un conjunto medible.
Para probar que la condicion ii) es tambien equivalente a las ya vistas,
procedemos as: B es medible si y solo si B c es medible si y solo si para
cada > 0 existe un abierto U B c tal que m (U \ B c ) < . Como
U \ Bc = B \ U c,
denotando por F al cerrado U c , se deduce de lo anterior que B es medible
si y solo si para cada > 0 existe un cerrado F B tal que m (B \ F ) < .
De forma analoga se demuestra que la condicion v) es tambien equivalente a las otras.
Corolario 20.5 Un conjunto L es medible si y solo si es de la forma L =
B Z, donde B es un conjunto Borel y Z es un subconjunto de un Borel N
de medida nula.
Demostraci
on. El teorema anterior establece que L es medible si y solo si
existen dos conjuntos H, G (F y G respectivamente), tales que
H L G y m(G \ L) = m(L \ H) = 0.
Entonces, el corolario resulta ya tomando B = H, Z = L \ H y N =
B2 \ B1 .
Como vemos, los conjuntos medibles quedan perfectamente determinados a
algebra de Borel. Este hecho suele expresarse
partir de los conjuntos de la -
diciendo que la -algebra M de los conjuntos Lebesgue-medibles es la complecion respecto a la medida de Lebesgue de la -algebra B de los conjuntos
Borel.
Transformaciones de medibles
En esta seccion vamos a considerar un tipo particular de transformaciones
de Rn que mantiene el caracter medible de los conjuntos, dentro del que
se encuentran las aplicaciones de clase C 1 . Nosotros usaremos este hecho
posteriormente en el Captulo 27, dedicado al cambio de variables en la
integral. Debemos se
nalar que el caracter medible no es una propiedad
topologica, es decir no es invariante frente homeomorfismos (ver Ejercicio
20C).
20.7
Conjuntos de Borel
201
Lema 20.6 Sea T : U Rn Rn una aplicacion lipschitziana, de constante k respecto de la norma k k . Entonces,
(a) Para todo cubo Q contenido en U se tiene que m (T (Q)) k n m(Q).
(b) T transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula.
Demostraci
on. (a) Sea u0 el centro de Q y l el lado. Puesto que T es
lipschitziana,
kT (u) T (u0 )k kku u0 k k l/2 ,
u Q
lo que nos indica que T (Q) esta contenido en un cubo centrado en T (u0 ) y
de lado k l. Por tanto
m (T (Q)) (k l)n = k n m(Q)
(b) Sea Z un conjunto de medida nula y V un conjunto abierto tal que
Z V ; m(V ) <
Escribamos V = Ck , como union numerable de semicubos disjuntos. Entonces
X
m (T (Z)) m (T (V ))
m (T (Ck ))
X
k n m(Ck ) = k n m(V ) < k n .

Del caracter arbitrario de se deduce ya que m (T (Z)) = 0.
Proposici
on 20.7 Si T : U Rn Rn una aplicacion localmente lipschitziana en el abierto U , entonces la imagen por T de cada conjunto medible
es medible.
Demostraci
on. Sea B U un conjunto medible. Por tanto B = H Z donde
H es un F y Z un conjunto de medida nula. Es facil comprobar que H puede
escribirse como union numerable de conjuntos compactos y por tanto T (H)
(debido a la continuidad de T ) es tambien un conjunto F . Para que T (B)
sea medible solo habra que ver que T (Z) es un conjunto de medida cero. En
efecto, consideremos para cada u del abierto U una bola abierta contenida en
U , donde T sea una aplicacion lipschitziana. Entonces, teniendo en cuenta
que cada subconjunto de Rn tiene la propiedad de Lindelof, podemos escribir
U = B(ui , ri ).
i=1
202
Conjuntos de Borel
20.7
Si denotamos entonces por Zi = Z B(ui , ri ), para que el conjunto T (Z)

sea de medida nula bastara con que cada uno de los conjuntos T (Zi ) lo
sea. Pero esto u
ltimo es consecuencia directa del lema anterior, ya que T es
lipschitziana sobre B(ui , ri ).
Corolario 20.8 Toda transformaci
on de Rn que sea lineal o de clase C 1
lleva conjuntos medibles sobre conjuntos medibles.
Demostraci
on. Estas aplicaciones son localmente lipschitzianas.
Otras propiedades de m
Vamos a considerar en esta secci
on dos nuevas propiedades de la medida
exterior de Lebesgue: su buen comportamiento de la misma respecto al paso
al lmite en sucesiones crecientes de conjuntos (no necesariamente medibles)
y tambien respecto a la medida de un producto cartesiana de conjuntos.
Ambas propiedades las usaremos en el captulo siguiente para obtener el
teorema caracterizacion de las funciones medibles.
Proposici
on 20.9 Si A1 A2 . . ., es una sucesion no decreciente de
conjuntos entonces
m ( Ak ) = lim m (Ak )
k
Demostraci
on. Sean Gk , k = 1, . . ., conjuntos G tales que Gk Ak y
m(Gk ) = m (Ak ). Si la sucesion {Gk } fuese tambien creciente, se tratara
de aplicar el resultado, ya probado, de identica formulaci
on que el que buscamos, pero con conjuntos medibles. Como esto, en general, no sucede, vamos
a construir la sucesion
j=1
j=2
B1 = Gj , B2 = Gj , . . . ,
Los conjuntos {Bk } son tambien medibles y constituyen una sucesion creciente. Ademas
Bk Ak y m (Ak ) m(Bk ) m(Gk ) = m (Ak ),
luego
m ( Ak ) m( Bk ) = lim m(Bk ) = lim m (Ak ) m ( Ak ).
k
20.10
Conjuntos de Borel
203
Vamos a obtener ahora un caso particular de la f

ormula m (A B) =
m (A) m (B), concretamente aquel en que B es un intervalo. Ver [24] para

una demostracion en el caso general.
Proposici
on 20.10 Para todo conjunto A de Rn y para todo semintervalo
p
J de R se tiene que m (A J) = m (A) m(J).
Demostraci
on. Vamos a considerar varias etapas:
(1) Es inmediato que la formula se verifica si A es un semintervalo o un
conjunto abierto.
(2) Si A, B son dos conjuntos de medida finita, entonces
m (A B) m (A) m (B).
Para cada > 0, se pueden encontrar dos colecciones numerables de
semintervalos {Ik }, {Js } tales que
X
X
A Ik , B Js y
m(Ik ) m (A) + ,
m(Js ) m (B) +
S
resulta entonces que A B Ik Js y
X
X
X
X
m(Ik Js ) =
m(Ik ) m(Js ) =
m(Ik )(
m(Js ))
k,s
k,s
m(Ik )(m (B) + ) (m (A) + ) (m (B) + ) =
m (A) m (B) + m (A) + m (B) + 2 .

Puesto que es arbitrario y los conjuntos tienen medida finita , de lo anterior
se deduce finalmente que m (A B) m (A) m (B).
(3) Si m (A) = 0, entonces m (AB) = 0 cualquiera que sea el conjunto B.
Por la desigualdad anterior, esto es evidentemente cierto si el conjunto B
es de medida finita. En el caso de que m (B) = , descomponiendo el
conjunto B como union numerable de conjuntos Bp de medida finita, se
tendra
A B = A Bp
es decir A B es una union numerable de conjuntos de medida nula, luego
el tambien es de medida nula.
204
Conjuntos de Borel
20.10
Nota. Para que la desigualdad m (A B) m (A) m (B) tenga validez

en todo caso, solo habra que convenir en tomar en este contexto 0 = 0
y = si 6= 0.
Lema 20.11 Si A K U , donde K es un compacto y U un abierto,
entonces existe un abierto O tal que
A K O K U.
(4) Para cada conjunto A y cada semintervalo J, se verifica la siguiente

formula m (A J) = m (A) m(J).
Sea U un abierto tal que
A J U, y m(U ) m (A J) +
y sea O un abierto tal que A J O J U . Entonces
m (A) m(J) m(O) m(J) = m(O) m(J) =
m(O J) m(O J) m(U ) m (A J) + .
Por el caracter arbitrario de , se deduce que m (A) m(J) m (A J)
y, por tanto, tambien se da la igualdad ya que la desigualdad contraria la
hemos demostrado antes.
Que tambien, m (A J) = m (A) m(J), se obtiene del hecho de que
Z = J \ J es un conjunto de medida nula, se tiene que
(20.1)
m (A J) m (A) m(J) = m (A) m(J)

= m (A J) m (A J) + m (A Z) = m (A J).
Observemos que para la demostraci

on de 20.1 s
olo se ha necesitado que
el conjunto Z sea de medida nula, por lo tanto la formula es valida para J
un intervalo de cualquier tipo.
Corolario 20.12 Si L1 Rn y L2 Rp son conjuntos medibles entonces
el conjunto L1 L2 es medible.
Demostraci
on. Escribiendo Li = Bi Zi , i = 1, 2, con Bi Borel y Zi de
medida nula, podemos descomponer L1 L2 como union de medibles de la
siguiente forma (ver Ejercicio 20A)
L1 L2 = B1 B2 B1 Z2 Z1 B2 Z1 Z2 .
20G
Conjuntos de Borel
205
Ejercicios
20A Demostrar que la -algebra de Borel en Rn esta generada por las siguientes
familias de conjuntos: Los semintervalos, los conjuntos compactos, los conjuntos
del tipo {(x1 , . . . , xn ) : x1 b1 , . . . , xn bn }.
20B Sean X, Y espacios topologicos
(a) Probar que si h es una aplicacion continua de X en Y entonces la contraimagen
por h de un conjunto de Borel en Y es un conjunto de Borel de Y .
(b) Utilizar que las proyecciones en un producto topologico son continuas para
probar que el producto cartesiano de un conjunto de Borel de X y un conjunto
de Borel de Y es un conjunto de Borel en X Y .
20C Sea B un abierto denso de [0, 1] tal que m(B) < 1 (por tanto m([0, 1]\B) > 0).
(a) Demostrar que la aplicacion
(x) =
m(B [0, x])

m(B)
es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (19C).

(b) Probar que m((B)) = 1.
(c) Sea V un conjunto no medible contenido en [0, 1] \ B. Probar que (V ) es
un conjunto medible que no es un conjunto de Borel.
(d) Observar que no mantiene el caracter medible de los conjuntos, a pesar de
ser un homeomorfismo.
20D Demostrar que si B es un conjunto medible, entonces
m(B) = sup{m(K) : K compacto B}.
Recprocamente, si la formula anterior es cierta y B es de medida finita, entonces
B es medible.
20E Probar que todo subespacio vectorial propio de Rn es un conjunto de medida
nula de Rn .
20F Probar que la grafica de toda funcion continua f : U Rn Rp , donde U
es un conjunto abierto, es un conjunto de medida nula. En particular, probar que
toda variedad diferenciable de Rk de dimension n < k es un conjunto de medida
nula de Rk .
20G Probar que para un conjunto B Rn son equivalentes:
(a) B es medible.
(b) B Rp es medible.
(c) Si J es un semintervalo, B J es medible.

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Captulo 20

que cualquier intersecci

Obviamente A esta contenido en el abierto U = Kj y

(b) Si para cada natural k elegimos un abierto Uk A tal que m(Uk )

k n m(Ck ) = k n m(V ) < k n .

Si denotamos entonces por Zi = Z B(ui , ri ), para que el conjunto T (Z)

Vamos a obtener ahora un caso particular de la f

m (A) m (B), concretamente aquel en que B es un intervalo. Ver [24] para

m(Ik )(m (B) + ) (m (A) + ) (m (B) + ) =

m (A) m (B) + m (A) + m (B) + 2 .

Nota. Para que la desigualdad m (A B) m (A) m (B) tenga validez

(4) Para cada conjunto A y cada semintervalo J, se verifica la siguiente

m (A J) m (A) m(J) = m (A) m(J)

Observemos que para la demostraci

m(B [0, x])

es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (19C).

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