UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

Norte de la universidad Peruana

Fundada el 13 de feberero del
1963
Facultad de ingenieria
Escuela acadmico profesional de
ingenieria de Minas

INTRODUCCIN A LA TEORIA DE VARIABLES REGIONALIZADAS

INTEGRANTES
Bustamante Chvez, Eder.
Cayao Coronel, Jos.
Regalado Bustamante, Carlos.
Vasquez Zelada, Jhenifer

INTRODUCCIN
En el presente informe haremos una introduccin a la teora de variables
regionalizadas, la funcin variograma e hiptesis estacionario, para lo cual
tambin trataremos algunas definiciones bsicas de estadstica que nos
ayudaran a comprender el curso de geoestadstica
menciona.

que a continuacin se

Objetivos
OBJETIVO PRINCIPAL

Comprender la teora de variables regionalizadas.

OBJETIVOS SECUNDARIOS

Recordar las definiciones de estadstica bsica.

Comprender que es geoestadstica y conocer sus diferentes mbitos de aplicacin.

Entender la teora de variables regionalizadas y su importancia en la minera.

ESTADISTICA

Disciplina encargada y dedicada a estudiar las poblaciones

Descriptiva

Describe su comportamiento
segn las condiciones o
caractersticas de inters

Inferencial

La definicin de varias
hiptesis o suposiciones en
torno a esas caractersticas
de estudio

Poblacin

Grupo de individuos, objetos que tienen

una caracterstica en comn.
Poblacin
Variable

Cualitativas

Cuantitativas

Continuas
Muestra

la muestra debe ser

representativa

Discretas

Tipos de muestras

Muestra probabilstica

Tcnica de muestreo que

integra a toda la
poblacin dndole la
oportunidad de participar
en la muestra.

Aleatorio simple, sistemtico,

estratificado, conglomerado

Muestra no probabilstica

Tcnica de muestreo
donde las muestras se
recogen en un proceso
que no brindan a todos
los individuos de la
poblacin iguales
oportunidades de ser
seleccionados.
Casual o accidental, intencional u opinatico,
conveniencia, consecutivo, bola de nieve.

Mtodos de muestreo
Muestreo aleatorio
simple

todos los componentes o unidades de la

poblacin tienen la misma probabilidad de
ser seleccionados.

Representacin grfica del muestreo aleatorio simple

Mtodos de muestreo
Muestreo sistemtico

Se selecciona al azar un punto de partida y un

intervalo muestral. As si el punto de partida fuera el
11 y el intervalo el 6 se elegiran el 11, 16, 21, 26
hasta recorrer toda la poblacin.

Representacin grfica del muestreo sistemtico

Mtodos de muestreo
Muestreo
estratificado

La poblacin en estudio se sub- divide en estratos o

subpoblaciones que tienen cierta homogeneidad en el
terreno y en cada estrato se realiza un muestreo
aleatorio simple (o sistemtico).
Requisito principal para aplicar este mtodo de muestreo:
conocimiento previo de informacin que permita
subdividir la poblacin.

Mtodos de muestreo
Muestreo por
conglomerados

En poblaciones muy
extensas

Caractersticas del conglomerado

Conjunto de unidades muestrales elementales.
Heterogeneidad de la variable a medir
El nmero total de conglomerados en la poblacin es conocido.
Divisin previa de la poblacin en conglomerados o reas
convenientes, de las cuales se selecciona un cierto nmero para la
muestra.

Variables y Tipos de variables

Variable
Variable

cada una de las caractersticas de los elementos de una

poblacin y que varan de una unidad a otra.

Tipos de
de variables
variables
Tipos

Variables cualitativas (o
categricas)
aquellas que no tienen medida
numrica; se representan por categoras
o atributos (tipo de suelo, de
vegetacin, textura,).

Tipos de
de variables
variables
Tipos

Variables cuantitativas
se clasifican en

Variables discretas

Variables continuas

son el resultado de
contar y slo toman
valores enteros
(nmero de puntos,
de cuadrculas, de
pxeles).

son el resultado de
medir, y pueden
contener decimales
(temperatura,
profundidad,
altura).

las que pueden expresarse

numricamente (temperatura,
precipitacin, profundidad suelo,
altitud, pendiente, etc.)

Parmetros Estadsticos
a) Moda (Mo):

Li: es el lmite inferior de la clase modal.

fi: es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi-1: es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi+1: es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai: es la amplitud de la clase.

 b) Media :

c) Varianza

Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas
se puede calcular la varianza total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamao:

Si las muestras tienen distinto tamao:

Parmetros Estadsticos
d) Desviacin Estndar (

Parmetros Estadsticos
a) Coeficiente de Variabilidad (CV):
Es una medida de la variacin relativa de los datos en
porcentaje

GEOESTADSTICA
Origen
La Geoestadstica tiene su origen en la bsqueda, exploracin y evaluacin
de yacimientos minerales tiles.
Se ha consolidado y desarrollado en los ltimos 30 aos como ciencia
aplicada casi exclusivamente en el campo minero.
Las investigaciones han buscado los mtodos ms eficientes que
proporcionen la mayor informacin posible de los datos disponibles.

GEOESTADSTICA
Origen
Mediante el mejor estimador que minimice la varianza del error de estimacin
(error cuadrtico medio) surge la Geoestadstica por los trabajos de G. atheron
en la Escuela Superior de Minas de Pars (1949)

Entre los mtodos ms recientes se pueden citar los geomatemticos: El

Inverso de la Distancia, Triangulacin, Splines, etc.

GEOESTADSTICA
Origen
Matheron formaliz y generaliz matemticamente un conjunto de
tcnicas desarrolladas por D. G. Krige (1941) que explotaban la
correlacin espacial para hacer predicciones en la evaluacin de reservas
de las minas de oro en Sudfrica.
D.G. Krige (1951) desarroll la aplicacin del anlisis de regresin entre
muestras y bloques de mena (Mineral metalfero, principalmente el de
hierro, tal como se extrae del criadero y antes de limpiarlo).

En los aos 60, Matheron acu el trmino de

Geoestadstica

GEOESTADSTICA
Origen
Matheron defini a la Geoestadstica como "la aplicacin del
formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y
estimacin de fenmenos naturales (Matheron, 1962).

La geoestadstica es una rama de la estadstica que trata

fenmenos espaciales (Journel & Huijbregts, 1978).

Su inters primordial es la estimacin, prediccin y simulacin de

dichos fenmenos (Myers, 1987).

GEOESTADISTICA
DEFINICION
-Rama de la estadstica que se
especializa en el anlisis y la
moderacin de la variabilidad
espacial en ciencias de la tierra.

Su objeto de estudio es el anlisis

y la prediccin de fenmenos en
espacio y/o tiempo, como: leyes
de
metales,
porosidades,
concentraciones
de
un
contaminante, etc.

1. MINERIA
2.PETROLEO

3.ESTUDIOS
AMBIENTALES

10.SALUD

CAMPOS DE
APLICACIN DE LA
GEOESTADISTICA

9.AGRICULTURA

8.PESCA

4.RIESGOS GEOLOGICOS

7.HIDROGEOLOGIA

5.CARTOGRAFIA
6.GEOFISICA

MINERIA

1. Estudios de factibilidad econmica de un yacimiento

2. Peritaje minero
3. Clculo de reservas
4. Diseo de mtodos de explotacin basados en la distribucin de la mineralizacin
5

SOFTWARE DE
APLICACIN
DATAMINE (Datamine
Group)
GEMCOM (Gemcom
International)

PETROLEO
1. Modelos geolgico petrofsicos de yacimientos
2. Anlisis de permeabilidad
3. Simulacin de facies
4. Caracterizacin de propiedades petrofscas y su escalamiento
5. Integracin de informacin de diferentes fuentes
6. Evaluacin de reservas
7. Anlisis de riesgo
SOFTWARE DE APLICACIN
1.HERESIM3D (Beicip-FranLab)
2. PETREL (Schulmberger)

HIDROGEOLOGIA

MEDIO AMBIENTE

Solucin de problemas inversos

(permeabilidad, transmisividades)
2

Estimaciones

de

los

niveles

Diseo

de

atmsfera, suelos, acuferos, y cuerpos de agua

2 Evaluacin de sitios contaminados

piezomtricos
3

1 Prediccin de la distribucin de contaminantes en

Redes

ptimas

de

monitoreo
4 Estimacin de los lmites de la
pluma de un contaminante

3 Estudios de riesgo e impacto ambiental

CARTOGRAFIA

1. Mantener actualizado el MGN y la Cartografa

Geoestadstica, con el fin de garantizar la cobertura
nacional y oportunidad en cada una de las etapas de los
Censos Nacionales.
2. Continuar la incorporacin al Marco Geoestadstico de
la delimitacin a nivel de colonias de las localidades
urbanas.
3. Generar un Marco Geoestadstico Nacional Digital
con lnea compartida, en donde una misma lnea puede
representar los diferentes niveles de desagregacin del
MGN (Estado, Municipio, Localidad Urbana, etc.).

SOFTWARE DE APLICACIN
ArcGIS (ESRI)

INDUSTRIA PESQUERA

CIENCIAS AGRCOLAS

1.

Estudio

de

la

distribucin

espacial y la afectacin de plagas.

1 Estimacin in situ del potencialidad de pesca

2. Inventarios forestales

2 Relacin entre la distribucin espacial de

3. Estudio cuantitativo de suelos y

especies

sus

(profundidad, temperatura, salinidad, etc)

propiedades

mecnicas.

qumicas

de

peces

diferentes

variables

PASOS DE UN ESTUDIO GEOESTADISTICO

1. Anlisis exploratorio de los datos.
2. Anlisis estructural, construccin del variograma
3. Interpolacin o estimacin espacial - kriging.
4. Validacin del modelo geoestadstico.

El Anlisis Exploratorio de Datos (A.E.D.) es un conjunto de tcnicas estadsticas

cuya finalidad es conseguir un entendimiento bsico de los datos y de las
relaciones existentes entre las variables analizadas.

Los programas que implementan diversas tcnicas estadsticas en un entorno

comn. Algunos de los ms utilizados son SAS, BMDP, SPSS, SYSTAT,
STATISTICA,

STATA

STATGRAPHICS y MATLAB.

ltimamente

MINITAB,

S-PLUS,

EVIEWS,

2. Anlisis estructural, construccin del variograma

El anlisis estructural de un estudio geoestadistico se realiza a

partir de modelos de interpolacin siguientes:
Inexactos

Estocsticos
Determinsticos

Exactos

las
predicciones se
realizan en
base a
frmulas
matemticas

las predicciones
en los puntos
muestreados
coinciden con el
dato real

las
predicciones
se realizan en
base a
probabilidades
obteniendo
varios modelos

Locales

La
prediccin
en los
puntos
muestreado
no coincide
con el dato
real

realizan las
predicciones
bajo el
concepto de
vecindadsubconjunto

Globales
usan todos los
datos de la
muestra para
realizar las
predicciones conjunto

CONSTRUCCION DEL VARIOGRAMA

3. Interpolacin o estimacin espacial - kriging.

KRIGING es un mtodo geoestadstico de interpolacin espacial que ha probado ser
til y popular en muchos campos
Dicho mtodo provee, a partir de una muestra de puntos, ya sean regular o
irregularmente distribuidos, valores estimados de aquellos sitios donde no hay
informacin, sin sesgo y con una varianza mnima conocida
Se utiliza en la evaluacin de yacimientos para estimar el valor de
una variable regionalizada, en un punto o en un bloque, a partir del
uso

de

factores

de

ponderacin.

En la actualidad FUNDECOR utiliza este mtodo de interpolacin de modelos de

elevacin digital (mapas de curvas de nivel) para la planificacin del aprovechamiento
forestal de los bosques naturales

4. Validacin del modelo geoestadstico.

Debido a que el uso de variogramas locales requiere mucha densidad de puntos, solo se
uso la modalidad de variograma global ya que la muestra presenta amplias zonas sin
datos
En la Tabla se comparan los resultados del kriging por bloque y por puntos, segn
intervalo de confianza para la media de las predicciones al 95%, mostrando mejor
predicciones para el modelo de variograma global con kriging puntual.

VARIABLES REGIONALIZADAS

VARIABLES REGIONALIZADAS
DEFINICIN
Es una funcin que representa la
variacin en el espacio de una
cierta magnitud asociada a un
fenmeno natural.

REPRESENTA
CIN
Aspecto aleatorio
Aspecto estructurado.

OBJETIVOS
z(x) en el
punto
x
(irregular)

Plano terico
Plano prctico.

VARIABLES REGIONALIZADAS
Campo
Localizacin
Soporte

CARACTERS
TICAS
Anisotropa

Estructuras
geolgicas

VARIABLES REGIONALIZADAS
NOTACION
CONDENSADA
z(x)

si el problema es
unidimensional (1-D)
z(x1, x2)
si el problema es
bidimensional (2-D)
z(x1, x2, x3) si el problema es
tridimensional (3-D)

EJEMPLO 1

En el espacio de una dimensin, seaz(x) = Ley de

Cua lo largo de una galera:

EJEMPLO 1
Las leyes de A - A se pueden graficar:

EJEMPLO 2
En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = Ley de Cu en el punto
x dentro de un depsito masivo:

VARIOGRAMA
DEFINICION
Es una herramienta que permite medir las discrepancias de una propiedad en una
regin del espacio.

Donde:
Z: variable estudiada.
: Valor de dicha variable en el punto
: Valor de la variable en el punto (
Nmero de parejas
: Valor de la funcin variograma para un valor h.

VARIOGRAMA
CLCULO
SeanNdatosz1, z2, . . . , zNy seab laequidistancia entreellos:
Seah=b:Segnelalgoritmodeclculosetiene:

Seah=2b:

CLCULO

VARIOGRAMA

Seaengeneralh=kb(k=0,1,2,...,N-1):

Posteriormente los valores (0),(b), (2b), (3b),...se llevana

ungrfico:

EJEMPLO:
En la Fig. 01 se muestra leyes distanciadas 2 metros. Realizar el clculo de cada punto
del variograma para distancias h=2m, h=4m, h=6m, etc

Fig. 01

CARACTERSTICAS BSICAS
O
CARACTERES ESTRUCTURALES
REFLEJADOS POR EL
VARIOGRAMA

Variograma-Rango & Sill

Rango:
2,5

Distancia a la cual el
variograma se estabiliza

1,5

Sill :

1
0,5

Distancia

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

0
0

Variograma

Valor constante que toma el

variograma en distancias
mayores al rango

 (h)
s

PARTES DE UN VARIOGRAMA

GEO

ESTADISTICA
meseta

C
C0

a
DEPENDENCIA
ESTRUCTURA
h
C0

:
:

a
C
:
C + C0

INDEPENDENCIA
ALEATORIEDAD

paso entre las muestras

efecto de pepita
:
alcance
sill
:
meseta

Variograma-Rango & Sill

Si para una distancia dada d las variables Z(x) y

Z(x+h) son no correlacionadas entonces el variograma
es constante

1
h E [ Z ( x) Z ( x h)] 2 2 E [ Z ( x) Z ( x h)]
2
2
Rango:
Distancia a partir de la cual no
hay correlacin

Sill:
Varianza de la funcin aleatoria Z

CARACTERES ESTRUCTURALES
REFLEJADOS EN EL VARIOGRAMA
1. CONTINUIDAD (para una lnea muestreada regularmente)
1.1. Comportamiento del variograma para pequeas distancias
1.1.1 Continuidad Estricta
1.1.2 Continuidad media
1.1.3 Efecto pepita o tangente vertical al origen
1.1.4 Variable aleatoria o efecto pepita puro
1.2. Comportamiento del variograma para grandes distancias
1.2 1 Leyes con crecimiento o decrecimiento progresivo
1.2.2 Leyes con pseudo periodicidades
1.2.3 Fenmeno estacionario sin seudo-periodicidades (o fenmenos
de transicin)
2. ANISOTROPIAS (para una malla regular bidimensional)
2.1 Geomtrica
2.2 Zonal
2.3 Hibrida
3. FENMENOS DE TRANSICIN

1. CONTINUIDAD
Esta estrechamente ligada al comportamiento del
variograma en las vecindades de origen, se puede
distinguir cuatro tipos:
1.1. Comportamiento del variograma para pequeas
distancias
1.1.1 Continuidad Estricta
1.1.2 Continuidad media.
1.1.3 Efecto pepita o tangente vertical al origen
(comportamiento discontinuo)
1.1.4 Variable aleatoria o efecto pepita puro

1.1.1 Continuidad estricta o

cuadrtico
Leyes muy regulares y continuas
- Para una distancia b pequea las dos leyes de
la figura son casi iguales, lo que implica que
para h pequeo (h) es prximo a cero.
Luego el grfico del (h), ser como las
siguientes figuras

Se dice que (h) tiene comportamiento parablico en el origen.

Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables.
As la propiedad NO puede cambiar rpidamente de un punto a otro.

1.1.2 Continuidad media o lineal

Continuidad y regularidad promedio, la
Variable es continua pero no es derivable
En este caso, para una distancia pequea, la
Diferencia de leyes es significativa.
Luego el grfico del (h), ser como las
siguientes figuras

3
2,5
2
Variograma

Representa
variables
continuas
pero
no
diferenciables. As, la
propiedad
puede
cambiar rpidamente de
un punto a otro.
Continuo de origen, pero
presenta una tangente
oblicua.
Ley de mineral

1,5
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia

1.1.3 Efecto pepita o tangente vertical al

origen
Existencia de micro variaciones; presencia de una estructura a menor
escala. La variable es mas continua

Si la equidistancia entre datos b es menor que la

escala de variacin d de las microestructuras, el
variograma en una vecindad de origen ser:

Si existiese un crecimiento rpido hasta I h I (debido a la

micro regionalizacin) y luego un crecimiento mas
moderado (debido a la variacin a gran escala): se dice que
existe efecto pepita. Co se llama de pepita.
Es decir existe una discontinuidad aparente en el origen.

1.1.4
Variable aleatoria
Caso en el cual
la irregularidad
de laso efecto pepita puro
leyes es total, la variable es catica

Por muy pequea que sea la distancia b,

las leyes de dos puntos a esta distancia
son prcticamente independientes.
Luego el grfico del (h), ser:
Se dice que (h) presenta un efecto de
pepita puro

Comportamiento Hbrido
Variacin ms suave a distancias cortas
Variacin ms fuerte
distancias grandes

a
8
7
6
Variograma

Indica
presencia
de
estructuras actuando a
diferentes escalas

5
4
3
2
1
0
0

1,5

4,5

7,5

10,5 12 13,5 15 16,5 18

Distancia

1.2. Comportamiento del variograma para

grandes distancias
1.2 1 Leyes con crecimiento o
decrecimiento progresivo
1.2.2 Leyes con pseudo periodicidades
1.2.3 Fenmeno estacionario sin seudoperiodicidades (o fenmenos
de transicin)

1.2 1 Leyes con crecimiento o decrecimiento progresivo

Leyes con tendencia o deriva

Variograma con crecimiento sistemtico

1.2.2 Leyes con pseudo periodicidades

El fenmeno tiende a repetirse de manera estacionaria (es decir, varia de

manera homognea y sin deriva)

Fenmeno estacionario con periodicidades

El variograma presenta efecto de hoyo de agujero.

En la figura d=9 unidades proporciona una medida
del seudo-periodo; es una medida de la
intensidad del efecto (si el fenmeno es
perfectamente peridico, entonces =0

1.2.3 Fenmeno estacionario sin pseudo-periodicidades (o fenmenos de

transicin)

El fenmeno es homogneo en su variacin espacial, con cambios bruscos.

Fenmeno estacionario sin periodicidades

Se puede observar que dos muestras cuya distancia es mayor que el alcance
a=6 son prcticamente independientes en ley.
Dos muestras cuya distancia sea inferior al alcance a estn correlacionadas
entre si

ANISOTROPIAS

90

45

135

Variogramas en dos direcciones

Anisotropas

Anisotropas :
Generalmente cuando el variograma experimental es
calculado en distintas direcciones presenta distintos
comportamientos con la variacin de la distancia.
Anisotropa Geomtrica
Anisotropa Zonal
Anisotropa Hbrida

Anisotropa Geomtrica

Anisotropa Geomtrica :
Es aquella en la que el
variograma
en
distintas
direcciones presenta el mismo
sill pero rangos distintos

2,5
2
Variograma

Mayor continuidad espacial en

la direccin de mayor rango

N-S

1,5

E-O
1
0,5

Menor continuidad espacial en

la direccin de menor rango

0
0,0

0,9

2,0

3,0

4,1

5,1

6,2

7,2

Distancia

8,3

9,3 10,4 11,4

Anisotropa Zonal

Anisotropa Zonal :
3,5
3
2,5

Variograma

Es aquella en la que el
variograma
en
distintas
direcciones presenta el mismo
rango pero diferente sill

2
1,5
1

Presencia de diferentes
estructuras

0,5
0
0

0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia

Anisotropa Zonal

3,5
3

Variograma

2,5
2
1,5
1
0,5
0
0

0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia

Anisotropa Hbrida

Anisotropa Hbrida :

Presencia de diferentes
estructuras
Caracterstico de variogramas
horizontales y verticales

4,5
4
3,5
Variograma

Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones presenta
rangos
diferentes
y
distintos sill.

3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0

0,6 1,2 1,8 2,4

3,6 4,2 4,8 5,4

Distancia

6,6 7,2

3. FENOMENOS DE TRANSICIN
El aumento mas o menos rpido de (h) cuando h aumenta representa
exactamente la manera mas o menos rpida con que se deteriora la influencia
de una muestra sobre otra mas lejana (zona de influencia), es decir mas halla
de cierta distancia h, las muestras no tienen influencia sobre otras (Fenmenos
de transicin, la transicin entre un tipo de valores a otro)

Segn la direccin 1,
formacin estratiforme o
lenticular
1

Entonces estudiando como se deforma esa dimensin

cuando varia la direccin del vector h, podemos
hacernos la idea sobre la forma geomtrica de estos
cuerpos y poner en evidencia su direccin de
alargamiento.

70

CONCLUSIONES
Hemos conocido la teora de variables regionalizadas.
Se ha recordado las definiciones de estadstica bsica.
Hemos logrado conocer la definicin de geoestadistica y su utilidad.
Hemos aprendido la funcin variograma.