Cuadratura Gaussiana
Cuadratura Gaussiana
Cuadratura Gaussiana
Cuadratura Gaussiana
Aqu examinamos un procedimiento para obtener una frmula de integracin
numrica de orden arbitrario. La tcnica de cuadratura Gaussiana que produce
frmulas de alto grado utilizando puntos distribuidos en el intervalo de integracin
en forma no uniforme.
Las frmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores
exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios
y n = 2 en el caso de Simpson).La eleccin de puntos equidistantes no es la mejor.
Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximacin.
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera ptima.
El mtodo consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en [a, b] y los
coeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de la aproximacin
Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante
el cambio de variables
tenemos que
lo cual nos da una integral en [-1,1]. Asi que sin perdida de generalidad podemos
asumir que el integral es en [-1,1].
Sean x1,x2,,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y
w1,w2,,wn nmeros llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se
determinan de modo que la frmula de integracin numrica
sea exacta para polinomios de grado a lo ms 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo
polinomio p de grado a lo ms 2n-1. Como In I son operadores lineales, basta
verificar que
Caso n=1: Aqu I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y
I1(1)=w1 de modo que w1=2. Adems I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que
x1=0. Tenemos pues la frmula numrica I1(f)=2f(0) lo cual se conoce como la
frmula del punto medio.
Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que
I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para
x1,x2,w1,w2:
Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuacin (que
son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo asi que
Asi que nuestra frmula numrica en el caso n=2 lee como sigue:
Caso
n>2:
Al
aplicar
las
condiciones
de donde podemos obtener los x's para las frmulas de los casos n=3,4
respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un
sistema lineal de ecuaciones.
Ejemplo 2: Aproximamos
Hay que demostrar que la frmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x,
x2 y x3.
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