MATEMÁTICA

EJE TEMÁTICO N° 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores

indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número
finito de operaciones. A los valores indeterminados se les suele llamar
variables.
Una variable es una letra que representa cualquier número de un conjunto
dado de números. Si combinamos variables como (x, y, z), algunos números
reales y operadores básicos como los de la suma, resta, multiplicación y
división, obtendremos una expresión algebraica.
x + 9y2

Ejemplos de expresiones algebraicas son:

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es
el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar
las operaciones indicadas. L(r) = 2r
r = 5 cm. L (5)= 2 5 = 10 cm
S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3 2 a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3

Tipos de Expresiones Algebraicas

Ing. Rossana Orellana
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Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el

nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos
recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el
nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos
algebraicos, se denomina Multinomio.
Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman
polinomios.
Por ejemplo:

(i)
es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con
exponentes positivos).

(ii)
es un binomio ( y es un polinomio).

(iii)
 es un trinomio (y es un polinomio).
 es un monomio (que no es un polinomio).
 es un binomio ( que no es polinomio)

Monomios y Polinomios
Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión dada de la
forma "ax", en donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Se
sabe que un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio una suma
de tres monomios. También sabemos que un polinomio es una suma de
cualquier número de monomios en x.
Dos polinomios son iguales, si y solo si si son del mismo grado y los
coeficientes de potencias semejantes de x son iguales. Si en el caso que todos
los coeficientes de un polinomio son cero, se obtiene el llamado Polinomio cero
y se escribe con 0.

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Otro caso muy parecido es que c es un numero real diferente de cero, en ese
caso c es un polinomio de grado 0, que son conocidos como Polinomios
Constantes.
Si el coeficiente de un polinomio cualquiera es negativo, usamos un signo
menos entre términos apropiados.

Partes de un Monomio
Coeficiente: El coeficiente del monomio es el número que aparece
multiplicando a las variables.
Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las
letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomio: Es el producto de una constante por una variable elevada a una

potencia entera no negativa. Tiene la forma de:

axk
a=constante.
k=grado.
Ejemplo:
6x2;=monomio.
3; no es monomio.

Polinomio:
Ejemplo:
− 8x3 + 4x2 − 6x + 2 es un polinomio.

Suma y resta de polinomios:

Ejemplo:
P(x) = 8x3 + 4x2 − 6x + 2
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Q(x) = 3x4 − 2x3 + x2 + x

Escribimos todo como una sola expresión:
P(x) + Q(x) = (8x3 + 4x2 − 6x + 2) + (3x4 − 2x3 + x2 + x)
Para mayor claridad, agrupar por el valor de las potencias:
P(x) + Q(x) = 3x4 + 8x3 − 2x3 + 4x2 + x2 − 6x + x + 2
Finalmente sumar las expresiones del mismo grado:
P(x) + Q(x) = 3x4 + 6x3 − 5x2 − 5x + 2

Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 + 3x + 1
Q(x) = 5x + 3
P(x) * Q(x) = (2x2 + 3x + 1) * (5x + 3)
Ahora multiplicamos cada uno de los elementos de la primera expresión por la
segunda:
P(x) * Q(x) = 2x2 (5x + 3) + 3x(5x + 3) + 1(5x + 3)
P(x) * Q(x) = 10x3 + 6x2 + 15x2 + 9x + 5x + 3
Finalmente sumar las expresiones del mismo grado:
P(x) * Q(x) = 10x3 + 21x2 + 14x + 3

Productos Notables
Productos notables, este es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones
con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su
aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones
habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un
producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Es recomendable
memorizar todos los productos notables posibles ya que son utilizados
frecuentemente en el álgebra.

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Factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene
aplicando la propiedad distributiva:
ca + cb = c(a + b)
Ejemplo
12x2 + 18xy = 3x(4x + 6y)

Diferencia de cuadrados
Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la
operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al
cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Ejemplo 1
(3x + 5y)(3x − 5y) = (3x)(3x) + (3x)( − 5y) + (5y)(3x) + (5y)( − 5y)
Agrupando los términos:
(3x + 5y)(3x − 5y) = 9x2 − 25y2

Ejemplo 2
(2x − 3)(2x + 3) = (2x) 2 − (3) 2
(2x − 3)(2x + 3) = 22X2 − 9
(2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9

Binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se
suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es
decir:
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

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Un trinomio de la forma: a2 + 2ab + b2, se conoce como trinomio cuadrado

perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene
es: (a − b) 2 = a2 − 2ab + b2
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
(2x − 3y) 2 = (2x) 2 + 2(2x)( − 3y) + ( − 3y) 2
simplificando:
(2x − 3y) 2 = 4x2 − 12xy + 9y2
Ejemplo 1
(3x − 4) = 9x2 − 24x + 16
Ejemplo 2
(5x + 2) 2 = 25x2 + 20x + 4
Ejemplo 3
(6y + 5) 2 = 36y2 + 60x + 25
Ejemplo 4
(4z − 6) 2 = 16z2 − 48x + 36

Binomio al cubo
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x − y) 3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3
Ejemplo
(x + 2) 3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
Diferencia y suma de cubos
(x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3
(x + y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3

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Nota: Si el signo del binomio es positivo, en la respuesta cada término tendrá

signo positivo, y si fuese negativo, el primer término será positivo, luego
negativo y positivo.

Suma de Polinomios
La suma de polinomios consiste en sumar el coeficiente de los términos del
mismo grado, si son diferentes sólo se deja indicado
Sumar a − b, 2a + 3b − c y − 4a + 5b
la suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de paréntesis; así:
(a − b) + (2a + − c) + ( − 4a + 5b)
Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación
de otros con sus propios signos, y tendremos:
a − b + 2a + 3b − c − 4a + 5b = − a + 7b − c

Ejemplo 1
(x + 2) + (x2 − 2x + 4) = x2 + x − 2x + 2 + 4 = x2 − x + 6
Ejemplo 2
(2x2 + 3x + 2) + (2x + 1) = 2x2 + 3x + 2x + 2 + 1 = 2x2 + 5x + 4
Ejemplo 3
(7x4 + 3x3 − 5x2 − 1) + (x4 + 2x3 − 3x2 + 3) = 7x4 + x4 + 3x3 + 2x3 − 5x2 −
3x2 + 3 − 1 = 8x4 + 5x3 − 8x2 + 2

Resta de Polinomios
La resta de polinomios consiste de realizar una suma algebraica. Si las
variables al final de la operación son diferentes o bien que no sean del mismo
orden, entonces solo dejamos indicada la expresión.
Ejemplo
(x + 2) − (x2 − 2x + 4) = − x2 + x + 2x + 2 − 4 = − x2 + 3x − 2

Multiplicación de Polinomios
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En la multiplicación de polinomios se presentan diferentes casos:

Concepto de polinomio de una sola variable
Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , a0 números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
a0 es el término independiente.

Constante x polinomio.
Se resuelve multiplicando la constante por cada uno de los coeficientes del
polinomio.
Ejemplo
2(x2 − 2x + 4) = 2x2 − 4x + 8

Monomio x polinomio
Es el producto de cada elemento del polinomio con el monomio. Se multiplican
los coeficientes, si se tiene la misma base se copia la base y se suman los
exponentes, sino sólo se deja indicada la multiplicación.
Ejemplo
2x3(x2 − 2x + 4y) = 2x5 − 4x4 + 8x3y

Polinomio x Polinomio
Se multiplica cada elemento de un polinomio por todos los elementos del otro
polinomio.
Ejemplo
3x(2) = 2 + 4x
Efectuamos la multiplicación
6x = 2 + 4x
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Ahora agrupamos términos semejantes

6x − 4x = 2
2x = 2
Por lo tanto
x=1

Ejemplo
(x + 2)(x3 + 8) = x4 + 8x + 2x3 + 16 = x4 + 2x3 + 8x + 16

División de Polinomios
La división de polinomios, es muy parecida a la división de números enteros,
tiene las mismas partes que cualquier división, dividendo P(x), divisor Q(x),
residuo R(x) y cociente C(x).
Una manera de comprobar que la división se realizó de un modo exitoso es
utilizando la siguiente ecuación:
P(x) = Q(x) * C(x) + R(x)

Regla de Ruffini

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En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de

cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo

Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de
polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»). El Algoritmo de Horner
para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce
como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini
permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en

binomios de la forma (siendo r un número entero) si es coherente.

Historia del método de Ruffini

El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la
raíz de un polinomio fue publicado con algunos años de diferencia por Paolo
Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845,
póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de
Ruffini.
El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee
dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner
propone un procedimiento especial para estos casos. El método de Horner fue
utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.
En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran
algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-
ésima; en la obra de Al Samaw'al (siglo XII). El matemático persa Sharaf al-
Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de
una ecuación de tercer grado.

Algoritmo
La Regla de Ruffini establece un método para división del polinomio

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entre el binomio

para obtener el cociente

y el resto

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x),

ordenados y sin omitir términos nulos.
Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón
inferior (an):

2. Se multiplica (an) por r y se escribe debajo de an-1:

3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

4. El proceso se repite:

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Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante de grado uno

menos que el grado de . El residuo es

Ejemplo 1
División de

entre

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe y el primer coeficiente (2) en el

primer renglón:

2. Multiplicando por la raíz r(=-1):

3. Sumando la columna:

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

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Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

, donde

Ejemplo 2
Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:

Tomamos

Usamos el método, y nos queda así:

Entonces F(x) se factoriza

Teorema del resto

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En álgebra el teorema del resto afirma que el resto , que resulta al dividir

un polinomio entre , es igual a

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que
dice que

donde es el dividendo, el divisor, el cociente y el resto y

verificándose además, que el grado de es menor que el grado de .

En efecto, si tomamos el divisor entonces tiene grado

menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos
llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

Tomando el valor se obtiene que:

El teorema del resto nos permite calcular calculando el resto o viceversa.

También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran
utilidad para descomponer un polinomio en factores.
Ejemplo

Sea .

Al dividir por obtenemos el cociente

y el resto .

Podemos asegurar entonces, que .

Teorema del factor

Una consecuencia directa es que es un factor del polinomio si y

sólo si .

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CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN:

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la

descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una
suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen diferentes
métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados;
el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques
fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un
número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números
enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del
álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de
factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de
tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de
criptografía asimétrica como el RSA.

Factorizar un Polinomio
Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho
factores o polinomios de grado con . Así por ejemplo el
polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio
de grado 3 y un polinomio de grado 2:

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¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto",
como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión
formada por sumas y/o restas de términos (x2 + 3x + 2 por ejemplo), y
llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación
( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).

¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?

Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les
llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6, el 2 y el 3 son los
"factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.

¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para
encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en
varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para
encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se
puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos
límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones
trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros
temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con
multiplicaciones en vez de sumas y restas.

¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma
expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al
factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con
distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que
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quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma

estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:
x2 + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1)
Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):
(x + 2).(x + 1) =  x2 + x  + 2x + 2 = x2 + 3x + 2

En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de

multiplicar" o "factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad
distributiva de la multiplicación con la suma).

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Expresiones Algebraicas Fraccionarias

Repaso de conceptos
Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan o relacionan letras,
números y signos de operaciones de suma, resta, multiplicación y división y
también potencias, radicales y logaritmos.
Por ejemplo:
Suma de cuadrados: a2 + b2
Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y
Suma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a

Multiplicación de radicales:
Si dos o más expresiones algebraicas están unidas con un signo más (+) o
un signo menos (-) cada una recibe el nombre de término. Ahora, si dos o
más expresiones algebraicas están unidas por una multiplicación cada una
recibe el nombre de factor.
Veamos esto:
4ac es una expresión algebraica
(a + b) (a – b) es otra expresión algebraica
si las sumamos
4ac + (a + b)(a – b)
4ac pasa a ser el primer término y (a + b)(a – b) pasa a ser el segundo
término.
Aquí vemos que el primer término es una multiplicación entre tres factores:
el 4, una a y una c.
Y que el segundo término es una multiplicación entre dos factores: (a + b)
por (a – b)
También debemos recordar que un término puede constar de las siguientes
partes:

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Una parte literal: representada por una o varias letras

Un coeficiente: valor que precede a la parte literal
Un exponente: que indica las veces que se multiplica por sí misma la parte
literal .

Por ejemplo, en
la x es la parte literal
el menos 2 es el coeficiente y
el 3 representa las veces que la parte literal se multiplica por sí misma
(potencia).
Recordemos, además, que las expresiones algebraicas se clasifican, según su
número de términos, en:
monomio, si tiene un solo término
binomio, si tien dos términos
trinomio si tiene tres, y, en general,
polinomio, si tiene más de dos.

Multiplicar Expresiones Algebraicas Fraccionarias (Racionales)

Entrando en materia, al comienzo hablamos de expresiones algebraicas
racionales, que son aquellas en las cuales dos expresiones algebraicas forman
una fracción (división, cociente o razón).
Por ejemplo:

Para resolver multiplicaciones con expresiones racionales (que involucren

fracciones) debemos tener en cuenta lo siguiente:
-  Toda fracción consta de numerador (el número de arriba) y
denominador (el número de abajo).
-  Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y
denominador por denominador.

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- Respetar la regla de los signos para la multiplicación.

- Multiplicar entre sí los coeficientes numéricos y entre sí las letras iguales (la
parte literal).
-  Encontrar o visualizar los factores adecuados para realizar una factorización
conveniente, que nos permita luego
-  Simplificar o reducir las fracciones a su mínima expresión.
-  Reordenar finalmente el numerador y el denominador respetando la
secuencia de números y letras (a, b, c, etc.).

Para intentar una mayor comprensión, resolvamos los ejemplos:

Ejemplo 1:

Resolvemos en único paréntesis que tenemos en la expresión:

Y la multiplicación nos queda así:

Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí

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Factorizamos, para poder simplificar hasta donde sea posible:

Simplificamos, eliminando el binomio que se repite en el numerador y el

denominador (en rojo), para quedar el resultado

Otra forma sería partiendo por factorizar el primer numerador (3x – 3), para
dejar la multiplicación así:

Simplificamos, eliminando el (x – 1) del numerador de la primera fracción y el

(x – 1) del denominador de la segunda,

para quedar:

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Simplificamos el resultado

Y obtenemos el mismo resultado.

Este resultado es correcto para cualquier número que sea mayor que 1.

Ejemplo 2

Veamos el camino más corto:

Factorizamos donde es posible hacerlo (marcado en rojo):

Y simplificamos

También pudimos hacerlo más largo:

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Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí

Factorizamos el resultado último y simplificamos:

Ejemplo 3

Factorizamos lo que sea posible factorizar (en rojo):

Ahora podemos simplificar los términos semejantes que haya (en azul):

En seguida, multiplicamos numerador con numerador y denominador con

denominador:

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y como el  (1)  no se coloca, el resultado final queda

Generalmente se deja expresada la multiplicación, como en este caso del

denominador,  el cual queda factorizado.
Se debe anotar que este resultado solo es válido si x es distinto a 3, ya que
si x = 3 tendríamos 3 -3 = cero, y sabemos que todo lo multiplicado por cero
es igual a cero.

Ejemplo 4

Hay que hacer notar que el resultado solo es posible siempre que x sea
distinto a 1 y a 5.

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