Semana 05

SEMANA 05
P ( x ) =( x+ a ) ( x +b )
De donde P ( x ) tiene 2 factores primos

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
1.2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
Es el proceso mediante el cual un polinomio se puede
expresar como la multiplicación de dos o más polinomios En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en
primos dentro de cierto campo numérico. sentido inverso al de los productos notables
RECORDAR
⏟
P( x )≡ M (x )⋅ N ( x)
factores
 x ² ±2 xy + y ²=(x ± y)²
FACTOR ALGEBRAICO  x ²− y ²=( x + y )(x− y )
Se llama así a todo polinomio de grado no nulo.  x ³− y ³=(x− y )( x ²+ xy + y ²)
FACTOR PRIMO  x ³+ y ³=( x + y )(x ²−xy + y ²)
Es aquel polinomio que no puede descomponerse en la  x ³ ± y ³ ± 3 xy ( x ± y )=(x ± y)³
multiplicación de otros polinomios.
Ejemplos  x 2+ ( a+b ) x +ab=( x +a)(x +b)
 2 x+7 es primo en Q , R ,C  x 4 + x 2 +1=( x2 + x +1)( x 2−x +1)
x −7 es primo enQ no es primo en R
2

 x 2−x +1,es primo enQ , R no es primo en C 1.3. MÉTODO DE LAS ASPAS
NOTA: Todo polinomio de primer grado siempre es primo en Aquí se deben distinguir tres métodos: El método del aspa
cualquier campo numérico. simple, aspa doble y el aspa doble especial.
A. ASPA SIMPLE
PROPIEDADES:
Se utiliza para factorizar polinomios de segundo grado o
grados múltiplos de dos, pero que además tengan tres
 PROPIEDAD términos.
El número máximo de factores primos que tiene un polinomio Forma general:
está dado por su grado.
 PROPIEDAD
Sólo se pueden factorizar polinomios no primos.
1. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1.1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN -

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
de donde el polinomio factorizado es:
Consiste en determinar factores comunes que pueden ser
monomios o polinomios de más de un término; en caso de no P( x , y )=( a1 x m+ c 1 y n )( a2 x m +c 2 y n )
haber algún factor común, se agrupará convenientemente
con la finalidad de que aparezca algún factor común. Ejemplo
Ejemplo Factorizar P( x )=x ² +9 x+ 20
Factorizar:
P ( x ) =ax +bx + x2 + ab
P ( x ) =a ( x+ b ) + x ( b + x )
de donde: P( x )=(x + 4)( x+ 5)
B. ASPA DOBLE
Se emplea para factorizar polinomios de segundo grado o
grados múltiplos de 2, pero que además tengan 6 términos y
dos variables.
Forma general:
De donde el polinomio factorizado es:
P ( x , y )=( a1 xm + c1 y n +f 1)( a2 xm + c 2 y n + f 2)
C. ASPA DOBLE ESPECIAL
Es utilizado cuando el polinomio es de cuarto grado o grados

múltiplos de 4, pero que además tengan 5 términos.
Forma general en variable “ x ”
Luego:
P( x )=(a₁ x ²+m₁ x +e ₁)(a ₂ x ²+ m₂ x +e ₂)

IMPORTANTE:
En muchas ocasiones los factores cuadráticos no son primos,

por lo cual se debe aplicar el método del aspa simple para
factorizarlos.
1.4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Es utilizado generalmente cuando el polinomio es de grado

impar; para ello es necesario calcular los Posibles Ceros (PC)
del polinomio a factorizar, luego utilizar la división por el
método de Ruffini.
PC =± { Divisores
Divisores del Coeficiente Principal }
del Término Independiente
A) 2 x− y B) x
2
C) x + y D) x +2 y
5. Se desea fabricar una placa metálica triangular tal como

se muestra en la figura.
1. Respecto a los polinomios P y Q , indique el valor de

verdad (V o F ) de las siguientes proposiciones.
2
P ( x ) =6 ( x−2 ) ( x−3 ) Según las especificaciones técnicas, el metal debe ser
3 acero quirúrgico con un área de
Q ( x ) =xy ( x−2 )( y +3 )
( x 4 + x 2 y 2+2 x 2+ 2 y 2 ) u2 ; y> 2. Determine
I. P ( x ) tiene dos factores primos. A+ L.
II. Q ( x ) tiene cuatro factores primos.
III. (x−2) es un factor primo común A) x− y +2 B) 2 x2 + y 2 +2
IV. xy es factor primo de Q . C) x + y +2 E) x 2+ y 2+2
A) FFFV
B) VVVF 6. Factorice
C) VFVF 2 2
P ( a , b )= ( a+b ) + ( a−b ) + 4 ab−5 ( a+b ) +2
D) VVFF
2. Se compró lapiceros por x 2 y 2 soles, cuadernos por e indique la diferencia de los factores primos.
3 x 2 y soles, plumones por 3 y 2 x soles y témperas
A)a+ b−1 B)a+ b−2 C)
por 9xy soles. ¿Cuánto se gastó en total?
a+ b+1
A) xy (x +3) soles
D)a+ b+3
B) xy ( y – 3)(x +3) soles
C) xy ( y +3)(x +3) soles 7. Si los ingresos totales de la venta de ( x + y +m¿
D) x ( y +3)( x+ 3) soles 2
artículos durante tres meses son (x + y ) soles,
3. Si P ( x ) =x3 −3 x2 +2 x−k tiene como factor al

(3 x+ 1) soles los dos primeros meses y el último
mes es (3 y +1) soles, ¿Cuánto costará cada
polinomio f ( x )=x−3 , halle el valor de k .
artículo si m<2 ?
A) 3 B) 2 C)−3 D) 6 A) ( x + y +1 ) soles
B) ( x + y +2 ) soles
4. Determine un factor del polinomio que representa el área
de un CD si la parte hueca y no hueca tienen radio C) ( x + y ) soles
(xy )cm y x 2 cm , respectivamente. D) xy soles
8. El ingreso mensual de un producto es

3 2
I ( x)=x − (1+ α ) x + ( 1+ α ) x−α soles,
donde la cantidad demandada es Q( x ) y el precio
para el público de cada producto está determinado por
el polinomio cuadrático P( x ). Determine el precio de
venta.
2
A) (x + x−1) soles
2
B) (x −x) soles
C) (x 2−x−1) soles
2
D) (x −x +1) soles
9. Factorice e indique un factor primo del polinomio

2 2
P ( x , y )=6 x +5 xy−4 y +13 x +10 y +6
A)3 x+ 4 y +2 B)3 x+ 4 y −2
C)2 x− y−3 D)2 x− y−3
3 2
10. Rosa tiene en el banco x ( x +1 ) soles y al salir de Si V (x)=x +2 x −x−2 es el volumen de
compras, adquiere una Tablet a 9 x soles, luego gasta la caja del parlante y F ( x ) ; P( x ) y Q (x) son
al cenar S/65 más. ¿Cuánto será el monto que le queda polinomios lineales, determine el máximo valor de
a Rosa en el banco?
F (2) , x >1
A) S/¿ (x +5)(x+ 41)
B) S/ ( x +11)( x −13) A) -1 B) 1 C) 4 D) 0
C) S/¿ (x +5)(x−13)
D) S/¿ (x +21)(x −31)
14. Determine el número de factores primos de

11. Factorice el siguiente polinomio: T ( x)=3 x3 −4 x 2 +4 x−1
P(x)=nx 2− ( mn+2 ) xy +2 my 2 , mn≠ 0 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
A) ( nx +2 ) ( x −my ) 3
B) ( nx−2 ) ( x+ my )
15. Si -1 es raíz del polinomio P(x)=x −x−2 x +m,
determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes
C) ( nx−2 y ) ( x−my ) proposiciones.
D) ( x− y ) ( x+ y ) I. m=0
II. 2 también es una raíz
12. Luego de factorizar III. P(x) tiene como factores
7 4 2
S ( x )=x + x + x −x+1 ( x +1 ) y ( x−2).
A) FVV
Indique la suma de coeficientes de todos los factores B) VFF
primos. C) VVV
D) FFV
A) 5 B)2
16. En una comunidad, las autoridades educativas quieren
C)3 D)4 contratar una empresa para llevar a sus
13. Se desea diseñar un parlante especial con las medidas (x 3−3 x +2) estudiantes a una excursión. Se sabe
mostradas en la figura. que en la comunidad hay ( x−1) colegios con
(x +a) aulas y A( x ) alumnos cada uno, a ∈ Z−¿ ¿.
Determine el número de alumnos por aula si x >1.
A) ( x−1) alumnos
B) ( x +1¿ alumnos
C) ( x +2¿ alumnos
D) ( x +3) alumnos
17. Respecto al polinomio sobre
2 2 2 4
Z P(a; b)=a −3 a b −4 b indique la
secuencia correcta de verdad (V )o falsedad ( F) de
las siguientes proposiciones.
I. f (a ;b )=a+ 2b es un factor primo
II. f (a ;b )=a−2 b es un factor primo
2 2
III. f (a ;b )=a +b es un factor primo
A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV
18. Indique el mínimo valor entero de “m” al factorizar el

siguiente polinomio
A ( x , y )=x 2 +9 xy +14 y 2−6 x +my +5
A)−37 B)−35
D)−17 E)−40
19. Luego de factorizar el polinomio

2
P ( x , y , z )= [ x + ( x + y ) ( x + z ) ] + x ( y−z)
2 2 2
sobre Z , indique la suma de coeficientes de un factor

primo.
A)4 B)2 C)3 D)5
20. Factorize
P ( x ) =x 4 +5 x3 +13 x 2+ 17 x+12.
e indique un factor primo
2
A ¿ x +3 x +34 B) x 2+ 2 x +2
C) x 2+ 2 x +4 D) 2
x +3 x+4

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De donde P ( x ) tiene 2 factores primos

Sólo se pueden factorizar polinomios no primos.

1.1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN -

Ejemplo Factorizar P( x )=x ² +9 x+ 20

De donde el polinomio factorizado es:

C. ASPA DOBLE ESPECIAL

Es utilizado cuando el polinomio es de cuarto grado o grados

Forma general en variable “ x ”

P( x )=(a₁ x ²+m₁ x +e ₁)(a ₂ x ²+ m₂ x +e ₂)

En muchas ocasiones los factores cuadráticos no son primos,

1.4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS

Es utilizado generalmente cuando el polinomio es de grado

5. Se desea fabricar una placa metálica triangular tal como

1. Respecto a los polinomios P y Q , indique el valor de

3. Si P ( x ) =x3 −3 x2 +2 x−k tiene como factor al

8. El ingreso mensual de un producto es

9. Factorice e indique un factor primo del polinomio

14. Determine el número de factores primos de

18. Indique el mínimo valor entero de “m” al factorizar el

A ( x , y )=x 2 +9 xy +14 y 2−6 x +my +5

19. Luego de factorizar el polinomio

sobre Z , indique la suma de coeficientes de un factor

A)4 B)2 C)3 D)5

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