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    MCVV2 - U3 - Ea

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    1. El documento presenta teoremas del cálculo vectorial como el teorema de Green y el teorema de Stokes. 2. El teorema de Green se usa para regiones en R2 y vincula la integral de una función sobre una región con la integral de la función sobre su contorno. 3. El teorema de Stokes se aplica a regiones en R3 y vincula la integral de rotacional de un campo vectorial sobre una superficie cerrada con la integral del campo vectorial sobre su contorno.

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    1. El documento presenta teoremas del cálculo vectorial como el teorema de Green y el teorema de Stokes. 2. El teorema de Green se usa para regiones en R2 y vincula la integral de una función sobre una región con la integral de la función sobre su contorno. 3. El teorema de Stokes se aplica a regiones en R3 y vincula la integral de rotacional de un campo vectorial sobre una superficie cerrada con la integral del campo vectorial sobre su contorno.

    Descripción original:

    Evidencia de Aprendizaje Unidad 3 Cálculo de Varias Variables II

    Título original

    MCVV2 _U3_EA_

    Derechos de autor

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    UNIDAD

    3.TEOREMAS DEL
    CLCULO VECTORIAL.
    Clculo de
    Varias
    Variables II.

    Evidencia de aprendizaje: Teoremas del clculo


    vectorial.
    Instrucciones: Resuelve cada uno de los problemas que se plantean a
    continuacin:
    1 Escribe la integral que se usa para regiones del tipo I, aplicando
    el teorema de Green.
    La integral para esta regin es:
    P

    y dxdy= Pdx
    R

    Demostracin.
    2

    Sea R={( x , y ) R : a x b , f ( x ) y g ( x ) }

    Con f , g C [ a ,b ] y f (x) g(x )(a x b) , una regin de tipo I.


    Por una parte, se tiene que:
    b

    P
    dxdy =
    y
    a

    [ ]
    g (x)

    f (x)

    P
    dy dx= [ P ( x , f ( x ) ) P ( x , g(x ))] dx
    y
    a

    Por otra parte, haciendo

    ( t )=( t , f ( t ) ) ( a t b)

    y denotando

    C1

    la grfica

    ( t )=( t , g ( t ) ) (a t b)

    y denotando

    C2

    la grfica

    de :
    '

    P(t , f ( t ) , 0)(1, f (t ))

    Pdx=
    C1

    Anlogamente, poniendo

    de , recorrida en sentido opuesto:

    Pdx= P (t , g ( t ) )dt
    C2

    Ya que la integral de lnea a lo largo de cada segmento vertical de


    es nula, resulta:
    b

    Pdx= P(t , f ( t ) )dt P(t , g ( t ) )dt= Py dxdy


    C

    Que es lo que se quera demostrar QED.


    2 Qu diferencia encuentras en la aplicacin del teorema de
    Stokes y el teorema de Green? Explica con tus propias palabras.
    El teorema de Green es utilizado para curvas en
    teorema de Stokes es aplicable para curvas

    mientras que el

    3 Explica con tus propias palabras Qu significa fsicamente que


    la integral

    E dS= 0
    ?
    D

    El teorema de Green, el cual estudia la circulacin de un campo


    vectorial (rotacional) sobre una regin especfica est definido por la
    integral
    E dS= (rot E) kdA
    D

    Si D es una regin formada por la funciones F , Q y se diera el caso


    que tuvieran un punto de discontinuidad, es decir sus primeras
    derivadas fueran cero, entonces el rotacional de E ser cero, o si por
    cualquier otra circunstancia el rotacional fuera cero
    rot E=

    Q P

    =0
    y y

    Entonces

    E dS= (rot E) kdA=0


    D

    F ( x , y , z ) =2 yi+2 xj+2 k , calcula la integral, sobre la esfera


    Sea
    unitaria usando el teorema de Stokes.

    El teorema de Stokes se define de la siguiente manera:

    rot F dS= ( XF) dS


    S0

    Se procede a encontrar el rotacional:

    rot F=XF=
    x
    2y

    Por lo tanto:
    1 2

    0 rddr=0
    0

    y
    2x

    |(

    k
    (2) (2 x)
    (2 y ) (2)
    (2 x ) (2 y )

    i,

    j,

    k=0
    y
    z
    z
    x
    x
    y
    z
    2

    )(

    )(

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