Captulo 2

Optimizacion clasica: Programas sin

restricciones.
Un problema de optimizacion sin restricciones tiene el aspecto
Max. (o Min.) f(X)
s. a X IR
n
El conjunto factible es todo IR
n
. La condicion X IR
n
no supone ninguna restriccion
y habitualmente la omitiremos, escribiendo simplemente
Max. (o Min.) f(X)
Este tipo de problemas ya han sido estudiados parcialmente por el alumno en las
Matematicas II, en donde se estudia como hallar los maximos o mnimos locales de una
tal funcion. (Aunque en un problema de optimizacion lo que realmente buscamos son
los maximos y mnimos globales).
La forma de buscar los maximos y mnimos globales es comprobar previamente si
nuestra funcion cumple alg un requisito que garantice la existencia de mnimo global o
maximo global.
En este sentido, el hecho de que la funcion sea coerciva, anticoerciva, concava o convexa
puede ser de gran ayuda.
En todo lo que sigue supondremos que las funciones que manejamos son continuas y
que tienen derivadas parciales continuas, al menos hasta el segundo orden, es decir, que
son de clase C
2
en IR
n
.
Empezamos haciendo un breve repaso de lo que se vio en Matematicas II.
2CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

2.1. B usqueda de maximos y mnimos locales. (Repa-
so)
2.1.1. Puntos crticos. Condicion necesaria de maximo o mni-
mo local.
Sea una funcion f : S IR, siendo S IR
n
un conjunto abierto
1
, f C
1
(S).
Si f tiene un maximo local o un mnimo local en el punto P
o
S, entonces:
f(P
o
) = O
es decir
f
x
1
(P
o
) = 0,
f
x
2
(P
o
) = 0, ,
f
x
n
(P
o
) = 0
Los puntos P
o
para los cuales f(P
o
) = O se llaman puntos crticos de la funcion f.
Son los unicos puntos donde puede haber maximos o mnimos locales de la funcion.
2.1.2. Condicion suciente de maximo o mnimo local.
En la misma situacion, y suponiendo que f C
2
(S), sea P
o
un punto crtico de f.
Sea Hess(f) (P
o
) la matriz hessiana de f en dicho punto. Entonces:
1. Si Hess(f) (P
o
) es Denida Positiva, entonces f tiene un mnimo local en el punto
P
o
.
2. Si Hess(f) (P
o
) es Denida Negativa, entonces f tiene un maximo local en el
punto P
o
.
3. Si Hess(f)(P
o
) es Indenida, entonces f tiene un punto de silla
2
en el punto P
o
.
4. Si Hess(f) (P
o
) es Semidenida Positiva o Semidenida Negativa, entonces el
criterio no decide.
Ejemplo.- Para la funcion denida en IR
2
:
f(x, y) = 2x
3
+xy
2
+ 5x
2
+y
2
1
Un conjunto S IR
n
es abierto cuando no contiene a ninguno de sus puntos frontera, es decir,
cuando Fr(S) S = . En particular, IR
n
es abierto.
2
Se llama punto de silla a cualquier punto crtico que no sea ni maximo local ni mnimo local.
2.1. B

USQUEDA DE M

AXIMOS Y M

INIMOS LOCALES. (REPASO) 3

vamos a hallar sus puntos crticos. Calcularemos tambien la matriz hessiana y la evalua-
remos en cada punto crtico para dilucidar si se trata de un maximo local, un mnimo
local o un punto de silla.
Calculamos las derivadas parciales de primer orden:
f(x, y) =
_
f
x
,
f
y
_
=
_
6x
2
+y
2
+ 10x , 2xy + 2y
_
Resolvemos el sistema
_
6x
2
+y
2
+ 10x = 0
2xy + 2y = 0
La segunda ecuacion, 2xy+2y = 2y(x+1) = 0 nos dice que debe ser y = 0 o x = 1 .
Entramos en la primera ecuacion con cada una de estas posibilidades.
Caso 1: Si y = 0, entonces 6x
2
+ 10x = 0, es decir, x(6x + 10) = 0, de donde debe ser
x = 0 o x = 10/6 = 5/3.
Tenemos as los puntos crticos y = 0, x = 0, es decir, P
1
= (0, 0) e y = 0, x = 5/3,
es decir, P
2
= (5/3, 0) .
Caso 2: Si x = 1, entonces 6 +y
2
10 = 0, es decir, y
2
= 4, o sea y = 2. Tenemos
as dos nuevos puntos crticos: P
3
= (1, 2) y P
4
= (1, 2) .
En denitiva, los puntos crticos son:
P
1
= (0, 0), P
2
= (5/3, 0), P
3
= (1, 2), P
4
= (1, 2)
Para clasicar cada uno de estos puntos crticos como un maximo local, un mnimo
local o un punto de silla debemos calcular la matriz hessiana, formada por las derivadas
parciales de segundo orden:

2
f
x
2
= 12x + 10,

2
f
xy
=

2
f
yx
= 2y,

2
f
y
2
= 2x + 2
Por tanto, la matriz hessiana en un punto generico (x, y) es:
Hess(f) (x, y) =
_
12x + 10 2y
2y 2x + 2
_
Ahora pasamos a evaluar esta matriz hessiana en cada punto crtico y a clasicarla.
En el punto crtico P
1
= (0, 0), la matriz hessiana queda:
Hess(f) (0, 0) =
_
10 0
0 2
_
4CAP

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ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

Vemos que D
1
= 10 > 0 y D
2
= 20 > 0. Por tanto, esta matriz es denida positiva, y
entonces nuestro punto crtico P
1
= (0, 0) es un mnimo local.
En el punto crtico P
2
= (5/3, 0), la matriz hessiana es:
Hess(f) (5/3, 0) =
_
10 0
0 4/3
_
Vemos que esta matriz es denida negativa (porque D
1
= 10 < 0 y D
2
= 40/3 > 0),
y entonces el punto crtico P
2
= (5/3, 0) es un maximo local.
En P
3
= (1, 2), la matriz hessiana es:
Hess(f) (1, 2) =
_
2 4
4 0
_
Vemos que D
2
= 16 < 0, por lo que esta matriz es indenida. El punto crtico
P
3
= (1, 2) es un punto de silla (es decir, ni maximo ni mnimo local).
En P
4
= (1, 2), la matriz hessiana es:
Hess(f) (1, 2) =
_
2 4
4 0
_
que tambien es indenida, y entonces el punto crtico P
4
= (1, 2) es un punto de
silla.
A continuacion, vamos a conocer un tipo de funciones para las cuales esta garantizada
la existencia de mnimo global. Se trata de las
2.2. Funciones coercivas.
Denicion.- Sea f : IR
n
IR una funcion. Diremos que es una funcion coerciva si,
para todo k IR el conjunto de subnivel k

k
= {X IR
n
/ f(X) k}
es compacto.
NOTA: El conjunto vaco, , es compacto.
Ejemplo.- Veamos que la funcion f(x, y) = x
2
+y
2
es coerciva.
El conjunto de subnivel k es:

k
= {(x, y) IR
2
/ x
2
+y
2
k}
2.2. FUNCIONES COERCIVAS. 5
Para k < 0,
k
= , que es compacto.
Para k = 0,
k
= {(0, 0)}, que tambien es compacto.
Para k > 0,
k
= {(x, y) IR
2
/ x
2
+y
2
k} es la bola cerrada de centro (0, 0) y radio

k, que es un conjunto compacto.

Por tanto, esta funcion es coerciva.
Ejemplo.- La funcion f(x, y) = x + 2y es coerciva?
El conjunto de subnivel k es

k
= {(x, y) IR
2
/ x + 2y k}
Este conjunto es un semiplano no acotado. Por tanto, no es un conjunto compacto
nunca, da igual quien sea k. As que la funcion dada no es coerciva
3
.
2.2.1. Funciones coercivas: casos particulares.
A. Caso de funciones de una variable.
Se puede probar que para cualquier funcion continua f : IR IR:
f es coerciva
_
lm
x>+
f(x) = +
lm
x>
f(x) = +
En consecuencia, ejemplos concretos de funciones coercivas (de una variable) son:
f(x) = x
2
5x+6, f(x) = e
x
2
, f(x) =
x
4
5x
x
2
+ 6
, f(x) = |x|, f(x) = 5x
4
4x
3
+2x+5
(En general, toda funcion de una variable que sea polinomica de grado par y cuyo
coeciente de mayor grado sea positivo, es coerciva.)
Y ejemplos concretos de funciones no coercivas son:
f(x) = e
x
, f(x) = x
3
+ 3x
2
, f(x) = 2x + 3, f(x) = 3x
2
+ 5, f(x) = cos x
3
En realidad, para que una funcion no sea coerciva, bastara con que alguno de los
k
no sea
compacto.
6CAP

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ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

B. Caso de funciones de variables separadas.
Supongamos una funcion de dos variables que sea de variables separadas, es decir, del
tipo
f(x, y) = (x) +(y)
Entonces
f es coerciva y son coercivas
Por ejemplo, son coercivas:
f(x, y) = e
x
2
+y
2
, f(x, y) = x
2
5x +y
4
7y
3
+ 12
Y no son coercivas:
f(x, y) = x
3
+y
2
, f(x, y) = x
4
+e
y
De manera analoga, si tenemos una funcion de tres variables del tipo
f(x, y, z) = (x) +(y) +(z)
Entonces
f es coerciva , y son coercivas
Que importancia tienen las funciones coercivas desde el punto de vista de la opti-
mizacion? Nos lo dice el siguiente teorema.
TEOREMA.- Si f : IR
n
IR es una funcion continua y coerciva, entonces existe
P
1
IR
n
tal que f(P
1
) f(X), (X IR
n
).
Demostracion: Tomo un punto cualquiera, P
o
de IR
n
y tomo M = f(P
o
).
Consideramos el problema
Minimizar f(X)
s. a X
M
Este problema verica las hipotesis del Teorema de Weierstrass (ya que f es continua,

M
es compacto-por ser f coerciva- y
M
= , ya que P
o

M
).
Por tanto, podemos asegurar que existe P
1

M
tal que f(P
1
) f(X) (X
M
).
Si X es cualquier punto de IR
n
entonces caben dos posibilidades:
Si X /
M
, entonces f(X) > M = f(P
o
) f(P
1
).
Si X
M
, entonces f(X) f(P
1
)
Por tanto, en cualquier caso, f(X) f(P
1
), como queramos demostrar.
Este teorema nos dice que toda funcion coerciva f : IR
n
IR tiene mnimo global
sobre IR
n
.
2.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES COERCIVAS. 7
2.3. Propiedades de las funciones coercivas.
1) Coercividad y composicion.
Sean f : IR
n
IR y F : IR IR funciones continuas tales que f es coerciva y F verica
que lm
z+
F(z) = +.
Entonces la funcion compuesta g(X) = F(f(X)) es tambien coerciva.
Ejemplos.-
La funcion g(x, y) = e
3x
2
+2y
2
10y3
es coerciva, ya que la funcion f(x, y) = 3x
2
+
2y
2
10y 3 es coerciva y la funcion F(z) = e
z
cumple la condicion de que su
lmite en + es +.
La funcion g(x, y) =
_
x
4
+y
2
+ 5 es coerciva, ya que la funcion f(x, y) = x
4
+
y
2
+ 5 es coerciva y la funcion F(z) =

z cumple la condicion
4
de que su lmite
en + es +.
El conjunto S = {(x, y) /(x
2
+ 3y
4
)
7
40} podemos asegurar que es compacto?
S, ya que la funcion g(x, y) = (x
2
+3y
4
)
7
es coerciva
5
. Por tanto, nuestro conjunto
S es en realidad el conjunto de subnivel
40
para esta funcion coerciva y, en
consecuencia, es un conjunto compacto.
2) Coercividad y orden.
Sean f y g dos funciones denidas en IR
n
y continuas. Supongamos que f(X) g(X)
(X IR
n
). Se tiene que:
Si f es coerciva, entonces tambien g es coerciva.
Demostracion: Partimos de la base de que f es coerciva. Queremos demostrar que g
es coerciva.
Pensamos en los conjuntos de subnivel k de ambas funciones:

k
(f) = {X IR
n
/ f(X) k},
k
(g) = {X IR
n
/ g(X) k}
El hecho de que f(X) g(X) para todo X IR
n
nos dice que
k
(g)
k
(f). (Ya que
X
k
(g) g(X) k f(X) g(X) k f(X) k X
k
(f))
4
La propiedad enunciada es valida tambien aunque la funcion F no este denida en todo IR, sino
en un intervalo como [0, +[ o ]0, +[, como es el caso de nuestra funcion F(z) =

z, siempre y
cuando el dominio de esta funcion F contenga al rango de f.
5
g(x, y) es coerciva, ya que f(x, y) = x
2
+3y
4
es coerciva y se cumple ademas que F(z) = z
7
+
cuando z +.
8CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

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ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

El hecho de que
k
(f) sea compacto -sabemos que lo es por ser f coerciva- obliga a que
tambien
k
(g) sea compacto, ya que
k
(g) es cerrado -por ser un conjunto de subnivel-
y acotado -por estar incluido en
k
(f), que esta acotado-.
Ejemplo.- La funcion g(x, y) = x
2
+ y
4
+ 20 sen (x + y), podemos asegurar que es
coerciva?
Observamos que siempre se verica que 1 sen (x +y) 1. Con lo cual,
g(x, y) = x
2
+y
4
+ 20 sen (x +y) x
2
+y
4
20 = f(x, y)
Sabemos que f(x, y) es coerciva
6
. Por tanto, g(x, y) tambien es coerciva.
Como caso particular de esta propiedad tenemos el
Caso de funciones polinomicas de segundo grado.
Una funcion de dos variables, polinomica de grado dos, tiene el aspecto
f(x, y) = a x
2
+ 2b x y +c y
2
+ d x +k y +n
(donde a, b, c, d, k y n son constantes).
Los terminos de grado dos,
a x
2
+ 2b x y +c y
2
denen una forma cuadratica cuya matriz asociada es A =
_
a b
b c
_
.
Se puede demostrar que
f es una funcion coerciva A es denida positiva
Ejemplo.- La funcion polinomica de grado dos
f(x, y) = x
2
+ 4 xy +y
2
+ 7 x + 5 y + 8
es coerciva? La matriz asociada a la forma cuadratica x
2
+4 xy +y
2
es A =
_
1 2
2 1
_
Esta matriz no es denida positiva. Es indenida, ya que D
2
= 3 < 0.
Por tanto, la funcion no es coerciva.
Ejemplo.- La funcion
f(x, y) = 3 x
2
+ 4 xy + 2 y
2
5 x + 6 y 10
6
Por ser f(x, y) = (x) + (y), siendo (x) = x
2
coerciva y (y) = y
4
20 tambien coerciva.
2.4. EL M

ETODO DE PRIMER ORDEN. (PARA MINIMIZACI

ON) 9
es coerciva? La matriz asociada a la forma cuadratica es A =
_
3 2
2 2
_
.
Esta matriz es denida positiva (porque D
1
= 3 > 0, D
2
= 2 > 0).
Por tanto, esta funcion s es coerciva.
Podemos dar una peque na justicacion de porque el hecho de que una funcion polinomica de
grado dos sea o no coerciva depende del signo de la forma cuadratica asociada.
Hay una propiedad, llamada de Rayleigh, que dice que si A =
_
a b
b c
_
es la matriz asociada
a la forma cuadratica en dos variables, Q
A
(x, y) = a x
2
+ 2b xy + c y
2
y llamo
1
al menor
de los valores propios de A, entonces
Q
A
(x, y)
1
(x
2
+ y
2
)
A consecuencia de esto, si tengo una funcion polinomica de grado dos en dos variables,
f(x, y) = a x
2
+ 2b xy + c y
2
+ d x + k y + n
ocurre que
f(x, y) = a x
2
+2b xy+c y
2
+d x+k y+n
1
(x
2
+y
2
)+d x+k y+n =
1
x
2
+d x+
1
y
2
+k y+n
La funcion
1
x
2
+ d x +
1
y
2
+ k y + n es una funcion de variables separadas. En el caso
de que fuera
1
> 0 (o, lo que es lo mismo, en el caso de que la forma cuadratica fuera
denida positiva), esta ultima funcion es coerciva. Y, por la propiedad 2, nuestra f tambien
es coerciva.
3) Coercividad y maximos globales.
Si f : IR
n
IR es una funcion coerciva, entonces no tiene maximo global.
Demostracion: Si tuviera maximo global, es decir, existiera un punto P
2
tal que
f(P
2
) f(X), (X IR
n
), entonces, llamando M = f(P
2
) el conjunto de subnivel

M
sera todo IR
n
, que no es compacto y contradice la suposicion de que la funcion era
coerciva.
2.4. El metodo de primer orden. (Para minimizacion)
Tratamos de resolver un problema de minimizacion sin restricciones, es decir, un pro-
blema del tipo Min. f(X) .
Supongamos que tenemos garantizado que el problema tiene solucion, es decir, que
tiene mnimo global. (Esta garanta se tiene si, por ejemplo, la funcion f es coerci-
va, aunque tambien puede garantizarsenos la existencia de solucion de otras maneras
diferentes).
Pues bien en esta situacion, podemos resolver el problema de la siguiente manera (Meto-
do de primer orden).
10CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

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ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

1. Calculamos los puntos crticos de f (candidatos).
2. Evaluamos f en los puntos crticos.
3. El menor valor de los obtenidos corresponde al mnimo global.
Por que se llama Metodo de primer orden? Porque solo se usan las derivadas de primer
orden para hallar los puntos crticos, y luego basta con evaluar la funcion en ellos.
Ejemplo.- Vamos a resolver el problema Min. f(x, y) = x
4
2x
2
+y
2
+ 5 .
En primer lugar, tratamos de garantizar la existencia de solucion, comprobando si la
funcion es coerciva.
Se trata de una funcion de variables separadas. La funcion en x, (x) = x
4
2x
2
es
coerciva, (ya que es polinomica de grado par y con coeciente de mayor grado positivo).
Y la funcion en y, (y) = y
2
+ 5 es tambien coerciva, por la misma razon.
Por tanto, nuestra funcion f(x, y) es coerciva.
Aplicamos el metodo de primer orden para hallar la solucion.
Las derivadas parciales son:
f
x
= 4x
3
4x,
f
y
= 2y
Al resolver el sistema
_
4x
3
4x = 0
2y = 0
obtenemos como puntos crticos: (0, 0), (1, 0), y (1, 0). Es decir, el conjunto de can-
didatos es:
C = { (0, 0), (1, 0), (1, 0) }
Ahora evaluamos la funcion, f(x, y) = x
4
2x
2
+y
2
+ 5, en ellos y obtenemos:
f(0, 0) = 5
f(1, 0) = 4
f(1, 0) = 4
Por tanto, el valor mnimo es 4 y los puntos mnimos globales son (1, 0) y (1, 0).
Ejemplo.- Queremos resolver el problema
Min. f(x, y) = 2x
2
+ 2xy +y
2
+ 2x 3 .
Se trata de una funcion polinomica de grado 2. La matriz asociada a la forma cuadratica
es A =
_
2 1
1 1
_
. Esta matriz es denida positiva. Por tanto, nuestra funcion es coer-
civa.
2.5. FUNCIONES ANTICOERCIVAS. 11
Hallamos los puntos crticos y obtenemos que el unico punto crtico es el punto (1, 1).
Puesto que sabemos que el problema tiene solucion (=mnimo global) y solo tenemos
un candidato, este es el mnimo global.
En denitiva, la solucion de este problema es que el mnimo global es el punto (1, 1)
y el valor mnimo es f(1, 1) = 4.
2.5. Funciones anticoercivas.
Diremos que una funcion f : IR
n
IR es anticoerciva cuando su opuesta, f sea
coerciva. Es decir,
f es anticoerciva f es coerciva
Equivalentemente, f es anticoerciva si y solo si el conjunto de supernivel k,

k
= {X IR
n
/ f(X) k} es compacto, para todo k IR.
Al igual que pasaba con las funciones coercivas, es posible reconocer a simple vista que
una determinada funcion es anticoerciva en ciertos casos particulares.
2.5.1. Funciones anticoercivas: casos particulares.
Caso de funciones de una variable f : IR IR.
f es anticoerciva
_
lm
x>+
f(x) =
lm
x>
f(x) =
(Por ejemplo, f(x) = x
2
+ 5x es anticoerciva y tambien f(x) = 5x
4
+ 4x
3
es anticoerciva. En general, toda funcion de una variable que sea polinomica de
grado par y cuyo coeciente de mayor grado sea negativo, es anticoerciva.)
Caso de funciones de variables separadas:
f(x, y) = (x) +(y) es anticoerciva y son anticoercivas
Caso de funciones polinomicas de grado dos, en dos variables.
f es una funcion anticoerciva A es denida negativa
(siendo A la matriz asociada a la forma cuadratica correspondiente)
12CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

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ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

La importancia de las funciones anticoercivas desde el punto de vista de la optimizacion
nos la da el siguiente resultado:
TEOREMA.- Si f : IR
n
IR es una funcion continua y anticoerciva, entonces dicha
funcion tiene maximo global. (Y no tiene mnimo global).
Para resolver problemas de maximizacion podemos establecer un metodo de primer
orden analogo al que vimos para minimizacion.
2.6. Metodo de primer orden. (Para maximizacion)
Dado un problema de maximizacion sin restricciones, es decir, del tipo Max. f(X) ,
supongamos que estamos seguros de que tiene solucion (por ejemplo, si f es anticoer-
civa). Entonces
1. Calculamos los puntos crticos de f.
2. Evaluamos f en los puntos crticos.
3. El mayor valor de los obtenidos corresponde al maximo global.
Ejemplo.- Vamos a resolver el problema
Max. f(x, y) = 4x
2
+ 4xy 3y
2
+ 20x + 26y .
Se trata de una funcion polinomica de grado 2. La matriz asociada a la forma cuadratica
es A =
_
4 2
2 3
_
. Esta matriz es denida negativa. Por tanto, nuestra funcion es
anticoerciva. Sabemos que el problema tiene solucion.
Hallamos los puntos crticos. Obtenemos que el unico punto crtico es el punto (7, 9).
Por tanto, la solucion de este problema es que el punto (7, 9) es maximo global y el
valor maximo es f(7, 9) = 187.
NOTA: Alternativamente, el problema podra haber sido resuelto traduciendo al prob-
lema equivalente de minimizar la funcion opuesta.
A continuacion pasamos a estudiar otros tipos de funciones, las funciones convexas y
las funciones concavas. Antes debemos ver el concepto de conjunto convexo.
2.7. CONJUNTOS CONVEXOS. 13
2.7. Conjuntos convexos.
Def.- Segmento cerrado determinado por dos puntos. Sean P, Q dos puntos de
IR
n
. El segmento [P, Q] que forman se dene como el conjunto:
[P, Q] = {tQ+ (1 t)P / 0 t 1}
Al darle a t los diferentes valores reales entre 0 y 1 obtenemos los diferentes puntos del
segmento [P, Q].
Ejemplo:.- P = (5, 1), Q = (4, 1). Un punto generico del segmento [P, Q] es de la
forma
X = t(4, 1) + (1 t)(5, 1) = (4t + 5 5t, t + 1 t) = (5 t, 1 2t)
Para t = 0: (5, 1) = P
Para t = 1: (4, 1) = Q
Para t = 1/2: (
9
2
, 0) que es el punto medio del segmento.
Def.- Conjunto convexo. Un conjunto U IR
n
se dice convexo si, siempre que
tomemos dos puntos P y Q que pertenezcan a U, el segmento que determinan, [P, Q]
esta ntegramente incluido en el conjunto U.
Ejemplos.-
3) {(x, y) : x
2
+y
2
= 1} 4) {(x, y) : x
2
+y
2
< 1}
5) {(x, y) : y x
2
} 6) {(x, y) : y x
2
}
14CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

Propiedad.- La intersecci on de conjuntos convexos es tambien un conjunto convexo.
Por tanto, tambien es convexo el conjunto
{(x, y) : x
2
+y
2
1, y x
2
}
Def.- Punto extremo de un conjunto convexo. Dado un conjunto convexo U,
diremos que un punto P U es un punto extremo o vertice de U cuando P no es punto
medio de ning un segmento contenido en U.
Ejemplo.- En el conjunto convexo U = {(x, y) / x
2
+y
2
4}, que es la bola cerrada de
centro (0, 0) y radio 2, los puntos extremos son los de la circunferencia de igual centro
y radio.
Ejemplo.- En el conjunto convexo U = {(x, y) / 1 x 2, 2 y 4}, que es
un rectangulo, los puntos extremos son los cuatro vertices del rectangulo, es decir, los
puntos (1, 2), (1, 4), (2, 2) y (2, 4).
2.8. Funciones convexas
Def.- Sea S un conjunto convexo y sea f : S IR una funcion. Diremos que f es
convexa en S si ocurre que
f(tQ+ (1 t)P) tf(Q) + (1 t)f(P) (t [0, 1], P, Q S)
Esta denicion signica que, para cualesquiera dos puntos de la graca de la funcion,
el segmento que los une esta o por encima de la graca o en la misma graca.
Ejemplos.-
1) f(x) = x
2
2) f(x) = e
x
2.9. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONVEXAS 15
3) f(x) = 2x 1 4) f(x, y) = x
2
+y
2
Def.- En la misma situacion de la denicion anterior, diremos que f es estrictamente
convexa si ocurre que
f(tQ+ (1 t)P) < tf(Q) + (1 t)f(P) (t ]0, 1[ , P, Q S, P = Q)
Lo que signica esta denicion es que para cualesquiera dos puntos de la graca de la
funcion, el segmento que los une esta estrictamente por encima de la graca.
Ejemplo.-
Las funciones 1), 2) y 4) del ejemplo anterior son estrictamente convexas. En cambio,
la funcion f(x) = 2x 1 es convexa, pero no es estrictamente convexa.
Observe el alumno que si una funcion es estrictamente convexa, en particular es convexa.
Al reves no.
2.9. Propiedades de las funciones convexas
1. Sea f : IR
n
IR una funcion continua y convexa en IR
n
. Entonces:
Los conjuntos de subnivel de f son convexos.
(Es decir, para todo k IR el conjunto
k
= {X IR
n
/ f(X) k} es convexo.)
Ademas, como la intersecci on de conjuntos convexos es convexo, si tenemos dos
(o mas) funciones convexas, f
1
, f
2
, , el conjunto
= {X IR
n
/ f
1
(X) k
1
, f
2
(X) k
2
, }
es convexo.
Ejemplo.-
= {(x, y) / x
2
+y
2
5, 2x y 2}
16CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

es un conjunto convexo
7
.
En las siguientes propiedades S representa un subconjunto convexo de IR
n
y
f : S IR una funcion convexa y de clase C
1
en S.
2. Si P
o
S es un punto crtico de f (es decir, f(P
o
) = O), entonces P
o
es
un mnimo global de f en S.
Ejemplo.- Para la funcion f(x, y) = x
2
+ 2y
2
, que es convexa en IR
2
, el unico
punto crtico es P
o
= (0, 0). Por tanto, este punto es mnimo global de f en IR
2
.
3. Si f es estrictamente convexa es imposible que tenga mas de un punto mnimo
global. Es decir, tiene un mnimo global o ninguno.
Demostracion: Si hubiera dos puntos mnimos globales distintos, P y Q y lla-
mando m = f(P) = f(Q) al valor mnimo, tenemos que
f
_
1
2
Q+
1
2
P
_
<
1
2
f(Q) +
1
2
f(P) =
1
2
m+
1
2
m = m
Esto nos dira que en el punto H =
1
2
Q+
1
2
P la funcion f toma un valor f(H) <
m, lo que es absurdo porque m era el valor mnimo.
Ejemplos.-
La funcion f(x) = x
2
es estrictamente convexa en IR y tiene un solo mnimo
global, x = 0.
La funcion f(x) = e
x
es estrictamente convexa en IR y no tiene mnimo global.
4. Si S es compacto, ademas de convexo, entonces el maximo valor de f se
alcanza en alg un punto extremo de S.
En otras palabras, si E(S) es el conjunto de puntos extremos de S:
Maximo valor de f sobre S = Maximo valor de f sobre E(S).
Ejemplo.- Dado el problema
Max x
2
+ 2y
2
s. a x +y 2
x 0, y 0
7
Hemos tenido en cuenta que la funcion f
1
(x, y) = x
2
+y
2
es convexa y que tambien lo es la funcion
f
2
(x, y) = 2x y.
2.10. FUNCIONES C

ONCAVAS 17
vemos que el conjunto factible S = {(x, y) / x+y 2, x 0, y 0} es compacto
y convexo. Por tanto, existe maximo global, y ademas se alcanza en alg un punto
extremo. Los puntos extremos de S son E(S) = { (0, 0), (2, 0) (0, 2)}
Evaluando f(x, y) = x
2
+2y
2
en estos puntos extremos, tenemos que f(0, 0) = 0,
f(2, 0) = 4, f(0, 2) = 8.
Por tanto, el valor maximo es M = 8 y se alcanza en el punto (0, 2).
2.10. Funciones concavas
Def.- Sea S IR
n
un conjunto convexo y sea f : S IR una funcion. Diremos que f
es concava en S si su opuesta, f es una funcion convexa en S.
Ejemplos.-
1) f(x) = x
2
, 2) f(x) = 2x 1, 3) f(x, y) = x
2
y
2
NOTA 1: Una funcion f es estrictamente concava si y solo si su opuesta f es estric-
tamente convexa.
NOTA 2: Una funcion puede no ser ni concava ni convexa. Por ejemplo, la funcion
f(x) = x
3
denida en IR no es ni concava ni convexa. Pero si la restringimos a S =
[0, +[, entonces s es una funcion convexa sobre S = [0, +[.
La funcion f(x, y) = y
2
x
2
denida en IR
2
cuya graca aparece a continuaci on es un
ejemplo de una funcion que no es ni concava ni convexa.
NOTA 3: Existen funciones que son convexas y concavas a la vez. Las funciones
polinomicas de grado uno, como f(x) = ax +b, f(x, y) = ax +by +c.
18CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

Son las unicas funciones simult aneamente concavas y convexas.
2.10.1. Propiedades de las funciones concavas
Sea S un subconjunto convexo de IR
n
y sea f : S IR una funcion de clase C
1
y
concava en S. Entonces se verican las siguientes propiedades:
1. Si P
o
S es un punto crtico de f (es decir, f(P
o
) = O), entonces P
o
es
un maximo global de f en S.
2. Si f es estrictamente concava es imposible que tenga mas de un punto maximo
global. Es decir, tiene un maximo global o ninguno.
3. Si S es compacto, ademas de convexo, entonces el mnimo valor de la
funcion concava f se alcanza en alg un punto extremo de S.
2.11. Caracterizacion de las funciones convexas y
concavas
El alumno ya sabe que el signo de la segunda derivada caracteriza la convexidad o
concavidad de las funciones de una variable. En concreto,
Sea f : I IR una funcion, siendo I un intervalo real, f C
2
(I). Entonces
1. f

(x) 0 para todo punto x de I f es convexa en I.

2. f

(x) 0 para todo punto x de I f es concava en I.

Para la convexidad o concavidad estricta, el resultado es:
1. f

(x) > 0 para todo punto x de I f es estrictamente convexa en I.

2. f

(x) < 0 para todo punto x de I f es estrictamente concava en I.

OJO: En los dos ultimos apartados, no es cierta la implicacion . Por ejemplo, la
funcion f(x) = x
4
es estrictamente convexa en I = IR, pero su segunda derivada,
f

(x) = 12x
2
no es estrictamente positiva para todo x IR, ya que se anula para
x = 0.
Pues bien existe una caracterizacion analoga para funciones de varias variables.
2.11. CARACTERIZACI

ON DE LAS FUNCIONES CONVEXAS Y C

ONCAVAS 19
Caracterizacion de la convexidad o concavidad de una funcion
mediante la matriz hessiana.
Sea una funcion f : S IR, siendo S IR
n
un conjunto convexo. Suponemos que f es
de clase C
2
en S.
Consideramos la matriz hessiana, Hess f (X) en un punto generico X S. Entonces
1. f es convexa en S Hess f (X) es Denida o Semidenida Positiva en todo
punto X de S.
2. f es concava en S Hess f (X) es Denida o Semidenida Negativa en todo
punto X de S.
Para la convexidad o concavidad estricta tenemos el siguiente resultado:
1. Hess f (X) es Def. Pos. ( X S) f es estrictamente convexa en S.
2. Hess f (X) es Def. Neg. ( X S) f es estrictamente concava en S.
Ejemplo.- La funcion f(x, y) = x
3
+ 3y
2
, es convexa en IR
2
?
La matriz hessiana es
Hess f (x, y) =
_
6x 0
0 6
_
Antes de nada, observemos que el hecho de ser denida o semidenida positiva, indis-
tintamente, en cualquier punto (x, y) IR
2
, se traduce
8
en que sean:
a = 6x 0, c = 6 0, D
2
= 36x 0
Pues bien, esta claro que el signo de a = 6x no es siempre 0, ya que este signo es
negativo, cuando x es negativo. Por tanto, no se verica que nuestra matriz hessiana
sea siempre denida o semidenida positiva. En consecuencia, nuestra funcion no es
convexa.
Ejemplo.- Es concava en IR
2
la funcion f(x, y) = x
3
+ 3y
2
del ejemplo anterior?
La matriz hessiana era: Hess f (x, y) =
_
6x 0
0 6
_
Observemos que el hecho de que esta matriz sea denida o semidenida negativa en
cualquier punto (x, y) IR
2
, se traduce en que sean:
a = 6x 0, c = 6 0, D
2
= 36x 0
8
Estamos usando el criterio de los menores principales generalizados.
20CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

Y bien, esto no ocurre nunca, ya que c = 6 > 0. Por tanto, nuestra funcion no es
concava.
En denitiva, la funcion dada no es ni concava ni convexa en IR
2
.
Ejemplo.- La funcion de antes, f(x, y) = x
3
+3y
2
, es convexa en el conjunto convexo
siguiente?
S = {(x, y) IR
2
/x > 0, y > 0 }
La matriz hessiana es Hess f (x, y) =
_
6x 0
0 6
_
Vemos que, cuando (x, y) S, es decir, cuando x > 0, y > 0, se tiene que:
a = 6x > 0, c = 6 > 0, D
2
= 36x > 0
Por tanto, esta matriz hessiana es denida positiva, en todo punto (x, y) S. Por tanto
nuestra funcion s es convexa en el conjunto S. Es mas, es estrictamente convexa en
dicho conjunto S.
Ejemplo.- (Funci on polinomica de segundo grado.)
Dada una funcion polinomica general de segundo grado en dos variables,
f(x, y) = a x
2
+ 2b xy +c y
2
+d x +k y +n
(donde a, b, c, d, k y n son constantes arbitrarias).
Los terminos de segundo grado, a x
2
+ 2b x y + c y
2
representan una forma cuadratica
cuya matriz asociada es
A =
_
a b
b c
_
Podemos comprobar muy facilmente que
f es convexa A es denida o semidenida positiva .
f es concava A es denida o semidenida negativa .
(Vamos a comprobarlo. Para nuestra funcion f(x, y), la matriz hessiana es
Hess f (x, y) =
_
2a 2b
2b 2c
_
= 2
_
a b
b c
_
= 2A
Esta matriz no depende del punto (x, y) IR
2
(ya que, al derivar dos veces polinomios de
grado dos se obtienen constantes).
Observamos que la matriz hessiana (2A) tiene exactamente la misma clasicacion como forma
cuadratica que la matriz A. Por tanto,
f es convexa Hessf(x, y) = 2A es D.P. o S.D.P. A es D.P. o S.D.P.
2.12. OPTIMIZACI

ON Y CONVEXIDAD. 21
De manera analoga, f es concava si y solo si A es denida o semidenida negativa.)
Ejemplo.-
La funcion polinomica de grado dos
f(x, y) = 3 x
2
+ 5 x y + 4 y
2
+ 28 x + 45 y + 321
es concava o convexa?
La matriz asociada a la forma cuadratica es
A =
_
3
5
2
5
2
4
_
Esta matriz se clasica como denida positiva (ya que a = 3 > 0, c = 4 > 0 y
D
2
= 12
25
4
=
23
4
> 0).
Por tanto, nuestra funcion es convexa. De hecho, es estrictamente convexa.
Ejemplo.- La funcion polinomica de grado dos
g(x, y) = 4 x
2
+ 10 xy + 2 y
2
+ 42 x + 65 y + 12
es concava o convexa?
La matriz asociada a la forma cuadratica es
A =
_
4 5
5 2
_
Esta matriz es indenida, porque D
2
< 0. En consecuencia, esta funcion g no es ni
concava ni convexa.
2.12. Optimizacion y convexidad.
Hemos visto antes que si S IR
n
es un conjunto convexo y f : S IR es una funcion,
entonces:
Si la funcion f es convexa y tiene alg un punto crtico, dicho punto crtico es un
mnimo global.
Si la funcion f es concava y tiene alg un punto crtico, este es un maximo global.
NOTA: El resultado anterior no dice que una funcion convexa tenga siempre mnimo
global. Solo dice que, en caso de que la funcion convexa tenga alg un punto crtico, este
es un mnimo global. Pero es perfectamente posible que una funcion convexa no tenga
puntos crticos, como por ejemplo, la funcion exponencial en una variable, f(x) = e
x
.
22CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

Ejemplo.-
Tratamos de minimizar la funcion f(x, y) = x
2
+ 5 y
2
4 xy 8x + 10y + 9, denida
en IR
2
.
Empezamos por comprobar si es convexa. Como es polinomica de grado dos, miramos
la matriz asociada a la forma cuadratica,
A =
_
1 2
2 5
_
Vemos que es denida positiva. Por tanto, nuestra funcion es convexa.
Por tanto, en caso de que tenga alg un punto crtico, este es un mnimo global.
Hallamos los puntos crticos:
f
x
= 2x 4y 8 = 0
f
y
= 10y 4x + 10 = 0
_
= x = 10, y = 3
Por tanto, el punto crtico (10, 3) es el mnimo global.
2.13. Test de existencia de optimo global.
Para un problema de minimizacion.
Si tenemos que resolver un problema de minimizacion sin restricciones, es decir, del
tipo Min. f(X) , en primer lugar debemos ver si podemos garantizar la existencia
de optimo(=mnimo) global. Para ello, nos planteamos las siguientes preguntas.
1. La funcion f es coerciva?
2. La funcion f es convexa y tiene al menos un punto crtico?
Si al menos una de las dos preguntas anteriores tiene respuesta armativa, podemos
asegurar que existe mnimo global. Para hallar el mnimo global podemos seguir el
metodo de primer orden.
Para un problema de maximizacion.
Si tenemos que resolver un problema del tipo Max. f(X) , nos planteamos las
siguientes preguntas.
1. La funcion f es anticoerciva?
2. La funcion f es concava y tiene al menos un punto crtico?
Si al menos una de las dos preguntas anteriores tiene respuesta armativa, podemos
asegurar que existe maximo global. Para hallarlo, seguiremos el metodo de primer orden.
2.14. RELACI

ON ENTRE CONVEXIDAD Y COERCIVIDAD. 23

2.14. Relacion entre convexidad y coercividad.
Al aplicarle el test de existencia de optimo global a un problema de, digamos, mini-
mizacion, si la primera de las dos preguntas tiene respuesta armativa, ya no necesita-
mos responder a la segunda.
Pero es bastante posible que las dos respuestas sean armativas. Por ejemplo, la funcion
f(x, y) = x
2
+y
2
es una funcion coerciva y tambien es una funcion convexa.
Eso nos lleva a pensar que tal vez que exista alguna relacion entre que una funcion sea
coerciva y que sea convexa.
En concreto, nos podemos preguntar:
Toda funcion coerciva es convexa? La respuesta es: no necesariamente.
Por ejemplo, la funcion de una variable f(x) = x
4
4x
2
, de la que damos su graca a
continuacion, es coerciva y no convexa.
Tambien podemos preguntarnos:
Toda funcion convexa es coerciva? La respuesta es otra vez: no necesariamente.
Por ejemplo, la funcion exponencial f(x) = e
x
es convexa y no es coerciva.
En denitiva, aunque puede darse el caso de que una funcion sea convexa y tambien
coerciva, el hecho de ser convexa no implica que sea coerciva ni al contrario.
De manera analoga, el hecho de que una funcion sea concava no implica que sea anti-
coerciva ni al reves.
24CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

2.15. AP

ENDICE. FORMAS CUADR

ATICAS.
1.- Formas cuadraticas en dos variables.
Una forma cuadratica en dos variables es una funcion
f(x, y) = a x
2
+ 2 b xy +c y
2
donde a, b y c son constantes reales.
La expresion anterior se puede escribir usando matrices de la siguiente manera:
f(x, y) =
_
x y
_
_
a b
b c
__
x
y
_
La matriz A =
_
a b
b c
_
recibe el nombre de matriz asociada a la forma cuadratica.
Esta matriz es siempre una matriz simetrica.
1.1 Denicion: Clasicacion de las formas cuadraticas.
Una forma cuadratica, f(x, y) = a x
2
+2 b xy +c y
2
se clasica atendiendo al signo que
tenga f(x, y). En concreto, la denicion es la siguiente.
1. Se dice que la forma cuadratica es denida positiva si f(x, y) > 0 para todo
(x, y) = (0, 0).
2. Se dice que es denida negativa si f(x, y) < 0 para todo (x, y) = (0, 0).
3. Se dice que es semidenida positiva si f(x, y) 0 para todo (x, y) (y ademas,
existe (x
o
, y
o
) = (0, 0) tal que f(x
o
, y
o
) = 0).
4. Se dice que es semidenida negativa si f(x, y) 0 para todo (x, y) (y ademas,
existe (x
o
, y
o
) = (0, 0) tal que f(x
o
, y
o
) = 0).
5. Se dice que es indenida si existen dos puntos distintos, (x
1
, y
1
) y (x
2
, y
2
) tales
que f(x
1
, y
1
) > 0 y f(x
2
, y
2
) < 0.
Ejemplos.-
La forma cuadratica f(x, y) = 2x
2
+ y
2
es denida positiva, ya que f(x, y) > 0
para todo (x, y) = (0, 0).
2.15. AP

ENDICE. FORMAS CUADR

ATICAS. 25
f(x, y) = 2x
2
y
2
es indenida, ya que los valores de f(x, y) pueden ser tanto
positivos como negativos. Por ejemplo, para (x, y) = (1, 0), vemos que f(1, 0) =
2 > 0. Y para (x, y) = (0, 1), se tiene que f(0, 1) = 1 < 0.
La forma cuadratica f(x, y) = x
2
2xy +y
2
= (x y)
2
es semidenida positiva,
ya que f(x, y) 0 para todo (x, y). Ademas, toma el valor cero sobre alg un punto
no nulo. Por ejemplo, f(1, 1) = 0.
Algunas observaciones:
Cualquiera que sea la forma cuadratica f(x, y), se tiene que f(0, 0) = 0.
Toda forma cuadratica en dos variables cae en uno y solo uno de los tipos de
la clasicacion, con excepcion de la forma cuadratica trivial, (f(x, y) = 0, para
todo (x, y) IR
2
), que es simult aneamente semidenida positiva y semidenida
negativa.
Los ejemplos anteriores eran especialmente sencillos, por lo que hemos podido
clasicar la forma cuadratica usando solamente la denicion. Pero no siempre
ocurre as, lo que nos lleva a recordar criterios mas utiles para clasicar formas
cuadraticas.
1.2 Criterio de los valores propios.
Tenemos una forma cuadratica f(x, y) = a x
2
+ 2 b xy +c y
2
. La matriz asociada es
A =
_
a b
b c
_
Entonces:
1. A es denida positiva
9
Todos los valores propios de A son > 0.
2. A es denida negativa Todos los valores propios de A son < 0.
3. A es indenida Existe alg un valor propio > 0 y alg un otro < 0.
4. A es semidenida positiva Todos los valores propios de A son 0 (y alguno
de ellos es exactamente 0).
5. A es semidenida negativa Todos los valores propios de A son 0 (y alguno
de ellos es exactamente 0)
9
Por comodidad, usaremos la expresion la matriz A es denida ... en lugar de la forma cuadratica
f es denida ...
26CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

Ejemplos.-
1. Vamos a clasicar la forma cuadratica cuya matriz asociada es A =
_
3 0
0 2
_
.
Los valores propios son las races de su polinomio caracterstico,
p
A
() =

3 0
0 2

= (3 )(2 ) = 0
Por tanto, los valores propios son:
1
= 3 y
2
= 2. Como son uno positivo y el
otro negativo, esta forma cuadratica (o esta matriz) se clasica como indenida.
2. Sea la forma cuadratica cuya matriz asociada es A =
_
1 2
2 5
_
Calculamos los valores propios:
p
A
() =

1 2
2 5

= (1 )(5 ) 4 =
2
6 + 1
Resolviendo la ecuacion
2
6 + 1 = 0 obtenemos los valores propios, que son

1
=
6 +

32
2

= 5,83 y
1
=
6

32
2

= 0,17. Puesto que ambos valores propios

son estrictamente positivos, nuestra matriz es denida positiva.
El ejemplo anterior muestra que el calculo de los valores propios puede ser tedioso.
Existe otro criterio de clasicacion de formas cuadraticas, el de los menores principales,
en el cual las operaciones son mucho mas sencillas.
1.3 Criterio de los menores principales.
Ses una forma cuadratica f(x, y) = a x
2
+ 2 b xy +c y
2
, cuya matriz asociada es
A =
_
a b
b c
_
Los menores principales de esta matriz son:
De orden uno: D
1
= a,
De orden dos: D
2
= ac b
2
(=el determinante de A).
La clasicacion depende de los signos de estos menores principales. Se tiene que
1. D
1
> 0, D
2
> 0 A es denida positiva.
2. D
1
< 0, D
2
> 0 A es denida negativa.
2.15. AP

ENDICE. FORMAS CUADR

ATICAS. 27
3. D
1
> 0, D
2
= 0 A es semidenida positiva.
4. D
1
< 0, D
2
= 0 A es semidenida negativa.
5. D
2
< 0 A es indenida.
Ejemplos.-
1. Vamos a clasicar la forma cuadratica cuya matriz asociada es A =
_
1 2
2 5
_
Vemos que D
1
= 1 > 0 y D
2
= 5 4 = 1 > 0. Por tanto, esta matriz es denida
positiva.
2. Para la matriz A =
_
3 0
0 1
_
vemos que D
2
= 3 < 0 y D
2
= 3 > 0. Por
tanto, esta matriz es denida negativa.
3. Para la matriz A =
_
1 3
3 2
_
vemos que D
2
= 7 < 0. Por tanto, esta matriz es
indenida.
4. Para la matriz A =
_
0 0
0 1
_
vemos que D
1
= 0 y D
2
= 0. Este caso no aparece
contemplado en este criterio de los menores principales. En este caso, el criterio no
decide. As que no podemos clasicar esta forma cuadratica, salvo que recurramos
al criterio de los valores propios o al criterio que vemos a continuaci on.
Existe otro criterio, que tambien utiliza el signo de ciertos menores de la matriz, que
presenta la ventaja de que siempre decide. Es el
1.4 Criterio de los menores principales generalizados.
Ses una forma cuadratica f(x, y) = a x
2
+ 2 b xy +c y
2
, cuya matriz asociada es
A =
_
a b
b c
_
Los menores principales generalizados de esta matriz son:
De orden uno: D
1
= a, D

1
= c (los elementos de la diagonal).
De orden dos: D
2
= ac b
2
(el determinante de la matriz)
Se tiene que
1. A es denida positiva a > 0, c > 0 y D
2
> 0.
28CAP

ITULO2. OPTIMIZACI

ONCL

ASICA: PROGRAMAS SINRESTRICCIONES.

2. A es denida negativa a < 0, c < 0 y D
2
> 0.
3. A es semidenida positiva a 0, c 0 y D
2
0 (siendo al menos uno de
estos valores exactamente igual a 0).
4. A es semidenida negativa a 0, c 0 y D
2
0 (siendo al menos uno de
estos valores exactamente igual a 0).
5. A es indenida D
2
< 0.
Ejemplos.-
1. Vamos a clasicar la forma cuadratica cuya matriz asociada es A =
_
0 0
0 1
_
Vemos que a = 0, c = 1 < 0, y D
2
= 0. Por tanto, esta matriz es semidenida
negativa.
2. Para la matriz A =
_
0 0
0 3
_
vemos que a = 0, c = 3 > 0, y D
2
= 0. Por tanto,
esta matriz es semidenida positiva.
2.- Formas cuadraticas en tres variables.
Una forma cuadratica en tres variables es una funcion f : IR
3
IR del tipo
f(x
1
, x
2
, x
3
) =
_
x
1
x
2
x
3
_

_
_
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
_
_

_
_
x
1
x
2
x
3
_
_
o, lo que es lo mismo,
f(x
1
, x
2
, x
3
) = a
11
x
2
1
+a
22
x
2
2
+a
33
x
2
3
+ 2a
12
x
1
x
2
+ 2a
13
x
1
x
3
+ 2a
23
x
2
x
3
La matriz simetrica
A =
_
_
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
_
_
es la matriz asociada a la forma cuadratica.
La denicion de cuando una forma cuadratica en tres variables es denida positiva,
denida negativa, etc. es totalmente analoga al caso de dos variables, as que no la
daremos.
Para clasicar una forma cuadratica en tres variables se puede utilizar el criterio de
los valores propios, que se expresa de la misma forma que para dos variables, pero que
2.15. AP

ENDICE. FORMAS CUADR

ATICAS. 29
puede ser incomodo de utilizar debido a que hace falta calcular los valores propios de
una matriz de orden tres y eso, en algunos casos, puede ser muy complicado.
El otro criterio, el de los menores principales, se establece para el caso de tres variables
de la siguiente manera.
Tenemos la matriz simetrica de orden tres
A =
_
_
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
_
_
Los menores principales son:
De orden uno: D
1
= a
11
.
De orden dos: D
2
=

a
11
a
12
a
12
a
22

.
De orden tres: D
3
= |A|.
Entonces,
1. D
1
> 0, D
2
> 0, D
3
> 0 A es denida positiva.
2. D
1
< 0, D
2
> 0, D
3
< 0 A es denida negativa.
3. D
1
> 0, D
2
> 0, D
3
= 0 A es semidenida positiva.
4. D
1
< 0, D
2
> 0, D
3
= 0 A es semidenida negativa.
5. D
3
= 0 (y no se da el caso de Def. Pos. o Def. Neg.) A es indenida.
Ejemplo.-
Consideramos la forma cuadratica cuya matriz asociada es
A =
_
_
1 2 3
2 1 0
3 0 5
_
_
Vemos que D
1
= 1, D
2
= 5, y D
3
= 16. Por tanto, esta forma cuadratica es
indenida.