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Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual
cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Ampliamente utilizados en física y
trigonometría.
Todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen
y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece
en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la
«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo
polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se
adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
(13,23°)
Matemática Básica I Ing. Rolando Lazo Gálvez
Convertir
Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el
triángulo:
Argumento o ángulo
Ejemplo:
La coordenada cartesiana (12,5) en coordenadas polares se representa:
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular la
hipotenusa:
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5/12
θ = atan( 5/12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan(y/x)
Matemática Básica I Ing. Rolando Lazo Gálvez
Ejercicios:
Pasar a coordenadas polares:
5. (2, 0)
1.
20º
260º
6. (−2, 0)
2.
2180º
7. (0, 2)
2120º
3.
290º
8. (0, −2)
2240º
2270º
4.
2300º
Matemática Básica I Ing. Rolando Lazo Gálvez
De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y)
necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿Cómo es la coordenada polar (13, 23°) en coordenadas cartesianas?
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r * cos( θ )
y = r * sin( θ )
Siendo r un vector, entonces cuando se conoce el módulo del vector = y el ángulo α que
forma con el eje OX, las coordenadas de P son:
x = | | · cos α
y = | | · sen α
Matemática Básica I Ing. Rolando Lazo Gálvez
Ejemplos
Pasar a coordenadas cartesianas:
1. (2,120º)
2. (1,0º) = (1, 0)
3. (1,180º) = (−1, 0)
4. (1,90º) = (0, 1)
5. (1,270º) = −(0, −1)
Circunferencia:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es
c, se describe en coordenadas polares como
Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
Rosa polar
Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ.
La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una
flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar
simple,
Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación r(θ) = θ para 0 < θ < 6π.
La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por
Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación
polar simple. Se representa con la ecuación
Secciones cónicas
Elipse, indicándose su semilado recto.
Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en
cualquier punto del eje horizontal (de modo que el
semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar)
es dada por:
donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje
mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e <
1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .