Cap.2 Condiciones de Frontera para Los Campos
Cap.2 Condiciones de Frontera para Los Campos
Cap.2 Condiciones de Frontera para Los Campos
CAPÍTULO 2
CONDICIONES DE FRONTERA PARA LOS
CAMPOS.
Medio 2
Ahora consideremos una ruta rectangular pequeña, paralela a una sección de la superficie,
con lados de ancho ∆l, paralelos a la superficie, y lados de longitud ∆h, perpendiculares a
la superficie, como se muestra en la Figura 2.1.
Ecuación 2.1
obtenemos:
Ecuación 2.2
Ecuación 2.3a
Ecuación 2.3b
ó Ecuación 2.4
Por lo tanto, las componentes del vector de campo eléctrico que son tangentes a la
superficie de una frontera entre dos materiales, deben ser continuas (iguales) a través de
esa frontera.
Ecuación 2.5
Para evaluar esta integral en la frontera, construimos una pequeña superficie gaussiana en
forma de caja.
Figura 2.2 Superficie Gaussiana para obtener las condiciones de frontera de las componentes
normales.
Conforme la altura de esta caja se aproxima a cero, ∆h→ 0, sólo los componentes de D
normales a la frontera contribuyen a la Ley de Gauss:
Ecuación 2.6
dividiendo entre ∆S
Ecuación 2.7
Ecuación 2.8
Por lo tanto:
Ecuación 2.9
Esta última ecuación se puede interpretar como: "La diferencia en las componentes del
vector D, en la frontera entre la dos regiones, que son normales a ésta, es igual a la
densidad de la carga libre en la superficie, en esa frontera". Hay que notar que se
asume que se aleja de la superficie,y que apunta hacia la superficie. La
interpretación de 2.9, en otras palabras, sería que:
"El fllujo eléctrico neto normal entrando y saliendo de la superficie es igual a la
densidad de carga positiva neta en la superficie".
Ecuación 2.10
Ecuación 2.11
De manera similar obtenemos las condiciones de frontera para el vector densidad de flujo
magnético B, por analogía con la densidad de flujo eléctrico D:
Ecuación 2.12
La cual se puede interpretar como: los componentes del vector densidad del flujo
magnético B, normales a la frontera, son continuos a través de ésta.
Ecuación 2.13
cuando ∆h→ 0
Ecuación 2.14
Las condiciones de frontera desarrolladas arriba son generales en el sentido de que no hay
restricciones en las propiedades de los dos medios. Estas condiciones de frontera fueron
simplemente una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, hay
frecuentes e importantes casos que requieren especial atención. La mayoría de nuestras
aplicaciones de condiciones de frontera serán para estos casos especiales.
2.2 Fronteras de Conductores Perfectos.
Figura 2.3 Curva de resisitividad contra temperatura en grados kelvin para un superconductor.
Para campos variantes en el tiempo podemos mostrar también que el campo eléctrico E
dentro de un conductor perfecto es cero. Para demostrar esto vamos a suponer otra vez,
que la conductividad relaciona la densidad de corriente J con el campo eléctrico E dentro
de un conductor perfecto, en la siguiente ecuación
Ecuación 2.15
Ecuación 2.16
Ecuación 2.17
Ecuaciones 2.18
Supongamos que los dos medios de los que hemos hablado tienen conductividad finita.
En este caso, la corriente no puede existir únicamente en la frontera, sino que va a
penetrar en los medios. De esta manera, suponemos que no puede existir densidad de
corriente lineal aislada, en la frontera entre los dos medios, cuando ambos medios tienen
conductividad finita, así que obtenemos lo que dedujimos al principio:
Ecuaciones 2.19
Ejemplo 2.1 Una interfase entre dos medios está en el pano YZ, en X=0. El medio 1 tiene
los parámetros ∈ 1 ,µ 1 y σ 1 y el medio 2 tiene los parámetros ∈ 2 ,µ 2 y σ 2.Si el vector de
intensidad de campo eléctrico en la región 1, en la frontera, está dado por E1 = α ax + β ay
+ δ az .Encuentre E2 si los dos medios son dieléctricos perfectos, es decir, σ 1 = σ 2 = 0.
Solución:
Et 2 = β ay + δ az = E t1
E2 = ∈ 1 α ax + β ay + δ az + ρ s V/m .
y vamos a mostrar que este vector se relaciona con la potencia. Este vector se conoce
como vector de Poynting, toma el nombre de un físico inglés John H. Poynting, a quien
se le acredita el siguiente desarrollo. Nótese que las unidades del vector de Poynting son
Watts/m2 y la dirección es perpendicular al plano que contiene a E y H (de acuerdo a la
regla de la mano derecha para el producto cruz).
Puesto que el vector de poynting parece indicar un flujo de potencia, entonces vamos a
calcular la divergencia de este vector, ∇.S. Para calcular esta cantidad, utilizamos
identidad vectorial:
Ecuación 2.23
Ecuación 2.24
Ecuación 2.25
La cual se conoce como la forma puntual del teorema de poynting. Integrando ambos
lados de 2.26 sobre algún volumen V y aplicando el teorema de la divergencia,
obtenemos la forma integral del teorema de Poynting. (donde el volumen V está rodeado
por la superficie cerrada S.)
Ecuación 2.27
Ecuación 2.28
Ecuación 2.29
Ecuación 2.30
Ecuación 2.30a
y de manera similar
Ecuación 2.31
Ecuación 2.32a
Ecuación
2.32b
Ecuación 2.32c
Sabemos que
Por lo tanto, la forma integral del teorema de Poynting dada en 2.27, establece que el
flujo neto de entrada del vector de Poynting a través de una superficie cerrada es la
suma de la potencia disipada en el volumen encerrado por la superficie más la razón
de cambio de la potencia almacenada en el mismo volumen. El vector de Poynting
parece indicar el flujo de potencia. Sin embargo, se debe enfatizar que el vector de
Poynting sólo implica una distribución de la potencia en el campo. La ecuación 2.27 sólo
muestra que si integramos S sobre alguna superficie cerrada, vamos a obtener la potencia
disipada y la razón de cambio de la energía almacenada en la región encerrada por esa
superficie.
Para las OPU (Ondas Planas Uniformes) la Densidad de Potencia Promedio (Sav) se
calcula como:
Ecuación 2.35
Ecuación 2.36
Ecuación 2.37
Ecuación 2.38
Para obtener la Potencia Promedio se puede utilizar cualquiera de las últimas dos
ecuaciones (2.37 ó 2.38) según sea el caso y substituir en:
Ecuación 2.39