Solucionario de Teoria Electromagnetica Capítulos I Al V
Solucionario de Teoria Electromagnetica Capítulos I Al V
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ANALISIS VECTORIAL
= 1 + + 1
= 2 + + 2
= (2 1 ) + (2 1 ) + (2 1 )
1.2 Determine el vector A dirigido de (2, -4, 1) a (0, -2, 0) en coordenadas esfricas y
determine el vector unidad a lo largo de A
= (0 2) + (2 (4)) + (0 1)
= 2 + 2
2 2 1
= = +
|| 3 3 3
3
1.3 Determine la distancia entre (5, 2
, 0) (5, 2 , 10) en coordenadas cilndricas
2
= 5 = 5 + 10
= 10 + 10
| | = 102
. = ( + + )( + + )
. = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )
( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )
( )
= = = 1
. = + +
3
= 3 3 6
Para que dos vectores sean perpendiculares el producto punto debe ser igual a cero para
poder aplicar cos
a)
=|2 4 0|
0 6 4
= 16 + 8 + 12
| | = ||||
21.54
= = 0.668
(4.47)(7.21)
= 41.9
b)
4
24
cos = = = 0.745
|||| (4.46)(7.21)
= 41.9
(2, 2, 1) = (2 1) + (2 2)
= + 4
.
= =
||
5
3.-
4.-
5.-
6
6.-
7.-
8.-
7
9.-
10.-
11.-
8
12.-
13.-
9
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
1.-
2.-
3.-
10
4.-
5.-
6.-
11
7.-
8.-
9.-
12
10.-
11.-
12.-
13.-
13
FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS
Como =
1 1 1
= 30 2
0 0 0
= 5
= 5
= ( )
Por integracin.
2 2
2
= ( ) = 5
0 0 1
14
Como el flujo elctrico tiene, por definicin, el origen en una carga positiva y su
trmino en una carga negativa, parte del flujo de las cargas positivas termina en la
carga negativa.
= = 30 + 150 70 = 110
3.4. Que flujo neto cruza la superficie cerrada S que se muestra en la figura 3-8,
que contiene una distribucin de carga en la carga en la forma de disco plano de
( )
radio 4m, con una densidad =
(/ )?
2 4
2
== ( ) = 2
0 0 2
Mientras el flujo puede cruzar la superficie, como se muestra en la figura 3-9, el flujo
neto fuera de S ser cero si las cargas son de la misma magnitud.
15
3.6. Un disco circular de radio 4 m con densidad de carga = /
esta encerrado por una superficie S. Qu flujo neto cruza por S?
2 4
=Q= (12sen)rdr d = 0C
0 0
16
El flujo total =Q cruza una concha esfrica completa de rea 4r2.El rea de la
franja est dada por
2
= 2
0
= 2 2 ( + )
= = ( + )
4 2 2
Para =0, = /2(un hemisferio) el flujo viene a ser =
2
3.9. Una carga lineal uniforme, con = /, yace a lo largo del eje x. Qu
flujo por unidad de longitud, cruza la porcin del plano z=-3m limitado
por = ?
17
El flujo esta uniformemente distribuido alrededor de la lnea de carga. As pues, la
cantidad que cruza la franja se obtiene a partir del ngulo subtendiendo
comparado con 2.E n la figura 3-12.
2
= 2 ( ) = 1.176
3
1.176
= 50 ( ) = 9.36 /
2
3.10. Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja cuyos bordes son
paralelos a una carga lineal pero que no est localizada simtricamente
respecto de la lnea de carga.
La figura 3-13 muestra una franja de este tipo el numeral 2 y otra franja en el numeral
1, que est localizada en forma simtricamente como en el problema 3.9. Del
problema 3.9 el flujo a travs de la franja 1 est determinado por el ngulo .
Pero, debido a la ausencia de carga en la regin abcd la ley de Gauss permite
18
ver que el flujo que entra a 1 debe ser igual al flujo que abandona 2.De esta
manera, el flujo a travs de 2tambien est determinado por el ngulo
subtendido .
3.11. Una carga puntual Q = 30nC, est localizada en el origen de las coordenadas cartesianas:
Halle la densidad de flujo elctricos D en (1,3,4).
=
4 2
30109 + 3 4
= ( )
4(26) 26
+ 3 4
= 9.81011 ( ) /2
26
3.12. Dos cargas lineales uniformes e idnticas yacen a lo largo de los ejes x y y con densidad
de carga = 20/. Obtenga D en (3,3,3)m.
20/ +
1 = 1 = ( )
21 232 2
20/ +
2 = 2 = ( )
22 232 2
20 + + 2
= ( ) /2
232 2
+ + 2
= 1.30 ( ) /2
2
3.13. Dado que = 10 (2 ), determine el flujo que cruza un rea de 12 que es normal
al eje x en x = 3m.
30
= = ( ) (12 ) = 30
2
3.14. Determine el flujo que cruza un rea de 1 2 sobre la superficie de una concha
cilndrica en r = 10m, z= 2m, = 53.2 si:
19
= 2 + 2(1 ) + 4 ( 2 )
= 10 sen 53.2 = 8
= 12 14 + 8
El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigindose hacia el eje z
antes que hacia afuera en la direccin de dS.
3.15. Dada una densidad de flujo elctrico D = 2 + 3 2 , determine el flujo neto que
cruza la superficie de un cubo de 2m de arista centrado en el origen. ( las aristas del cubo son
paralelas a los ejes coordenados)
= . = (2 + 3 ). ( ) + (2 + 3 ). ( )
=1 =1
+ (2 + 3 ). ( ) + (2 + 3 ). ( )
=1 =1
+ (2 + 3 ). ( ) + (2 + 3 ). ( )
=1 =1
= . = 2 + 2 () + 3 3 () + 0 + 0
=1 =1 =1 =1
= . = (2 + 2 + 3 3)(22 ) = 16
20
3.16. Una carga lineal uniforme de = 3/ yace a lo largo del eje z, y un cilindro circular
1.5
concntrico de radio 2m tiene = ( 4 )/. Ambas distribuciones son infinitas en el
espacio de z. use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones.
= 0<<2
2
= .
( + 4 ) = (2)
+ 4
= > 2
2
0.477
0 < < 2
= {
0.239
>2
3.17. Utilice la ley de Gauss para demostrar que D Y E son iguales a cero en todos los puntos
del plano de un anillo circular uniformemente cargado, que estn dentro del anillo.
= 0 = .
En consecuencia D = 0 para r>R. Puesto que tiene direccion radial, se puede tomar una
tajada dz del cilindro de craga y el resultado que se encontr arriba se puede aplicar tambin a
este anillo. para todos los puntos que estn dentro del anillo y en el plano del anillo D y E son
cero.
3.18. Una configuracin de carga en coordenadas cilndricas esta dada por = 5 2 (/2 ).
Utilice la ley de Gauss para hallar D.
21
= .
2
5 2 = (2)
0 0 0
1 1
5( 2 ( 2 ) + ) = (2)
2 2
25 1 1
Por consiguiente D = ( 2 ( 2 )) /2
2 2
3.19. Un volumen que, en coordenadas cilndricas, esta entre r = 2m y r=4m contiene una
densidad uniforme de carga (/3 ). Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las
regiones.
= (2)
=0
Para 2 <r< 4
( 2 4) = (2)
2
= ( 4) (/2 )
2
Para r > 4m
12 = (2)
6
= (/2 )
3.20. Un volumen descrito, en coordenadas esfricas, por r> a contiene una densidad uniforme
de carga . Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del
campo E correspondiente, encontrados en el problema 2.56. Qu carga puntual en el origen
dar por resultado el mismo campo D para r>a?
22
= .
4
3 = (4 2 )
3
= <
3
4 3
3 = (4 2 ) = >
3 3 2
Si una carga puntual Q = (4/3) 3 se coloca en el origen. el campo D para r > a sera el
mismo. Esta carga puntual es igual a la carga total contenida en el volumen.
= . + . + .
= 0+ . + 0
= =
= (2 ) y =
()
23
Ambos estn dirigidos de la placa positiva a la negativa
Un volumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristas r, r y z. El campo vectorial A
est definido en P, esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas r , , y z, como
= + +
Poe definicin,
= lim
v v
z
Y en la cara derecha:
( + r)( + r) z
( + r) ( + r)( + ) z
z + ( + ) rz
Donde el trmino ()2 ha sido depreciado. La contribucin neta de este par de caras entonces
es:
1
( + r) rz = (r ) rz= (r )
Ya que =r rz
24
En forma similar, las caras normales a dan
rz y ( +
) rz
1
Y las caras normales a , dan
z
zrr y (z + z
z) rr
z
v
z
Entonces
1 (r ) 1 z
div A= r
+
+ z
4.2 Demuestre que V E es cero para el campo de una carga lineal uniforme.
Para una carga lineal, en coordenadas cilndricas:
=
r
Entonces
1
E= ( )=0
r
4.3 Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero.
Para una carga puntual, en coordenadas esfricas:
Q
=
4r 2
1 2 Q
D= ( )=0
2 4r 2
25
A= ( cos ) + ( sin ) = ( sin ) + (sin ) = 0
2 2
A= ( ) + ( ) + () = 2 +
4.6 Dado = ( ) , hallar en x=1.
A= ( 5 2 )
2
5 2
= 5 2 ( ) + 10 = + 10
2 2 2 2 2 2
Y A|=1 = 10
/
4.7 Dado = ( + ) , hallar en (2, 2,0).
3
1
A = ( 2 + 2 )2 (2)
2
y A|(2,2,0) = -8.84x102
1 2 1
A= ( ) + (2 2 ) + (2 2 )
= 2 2 + 4z = 4z
26
1 2 1
A= ( ) + (2 2 ) + (2 5 ) = 2 10 5
= 4z
1 1 7
A|(1/2,/2,0) = 2 2 2 2 10 (2) 0 = 2
10sen2 + 2z 2
A=
Y A|(2, ,5) = 5
4.11 Dado = () + + , hallar
1 1 1
A= 2
(5 ) + ( ) + + ( )
= 1
4.12 Dado = () + (/) , hallar
1 1 1
A= (5) + (10) + + ( 2 ) =
2
1 1
A= (52 ) + (5 ) = 10 +5
A|(., /, /) = 24.14
= .
20
= = = 6.06 106 /2
3.30 106 2
27
= =
6.06 106 /2
= = 104.48 103 /
5.8 107 /
15.24
= = = 79.62 103
5.8 107 3.30 106 2
28
ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA
1.-
2.-
29
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
30
31