ENERGÍA DE

DEFORMACIÓN
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
 En la figura se observa una barra de longitud L y sección
transversal A, empotrada en B y sometida en C a una carga
axial P que se incrementa lentamente.

C A

B
x

C P
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
P
 Graficando la magnitudP de la carga
contra la deformaciónx de la barra se
obtiene un diagrama carga-
deformación que es característico
BC de
x
la barra 0

P
 El trabajo elementaldU realizado
por la carga
P cuando la barra se
alarga una pequeña cantidad
dx es U  Área

igual al producto de la magnitud

P de P

la carga y del pequeño alargamiento

dx
. Se tiene: 0 x x1 
dx

dU  P * dx
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

 El trabajo realizado por la cargaP cuando se le aplica

lentamente a la barra, debe producir el incremento de
energía asociada con la deformación de la barra. Esta
energía es la energía de deformación de la barra.
Por definición:

x1
U 
Energía de deformación

0
Pdx
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
 El trabajo se transforma parcial o totalmente en energía
potencial de deformación
Ley de Hooke
P
P * PL
U 
P 2 AE

P * P * L P 2 * L EA 2
U  
0 f  2 EA 2 EA 2L

Energía se disipa en forma de
calor
Deformación permanente


p Deformación permanente
DENSIDAD DE ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

 Es igual a la relación entre la Energía de deformación y el volumen

del elemento y se designará por lauletra .
Se tiene entonces: U
u
V

x1

Pdx x1

U Pdx
u  0 
V A* L 0 AL


0 1

u
Densidad de Energía de u  d
deformación 0
MÓDULO DE TENACIDAD

 Es la densidad de energía del material cuando llega a la

rotura, nos da la idea de la ductilidad de un material.

 
RUPTUR  RUPTUR
A RUPTUR A
A

u u1 u2

  
0 Módulo 0 0
de
Tenacida
u1  u2 d > ductilidad < ductilidad
MÓDULO DE RESILIENCIA

 Es la densidad de energía de deformación que el material puede

absorber sin fluir.
 La capacidad de una estructura para soportar una carga de impacto
sin deformase en forma permanente depende de la tenacidad y de
la resiliencia del material utilizado.
  f
u
f 2
 f f  2f
Módulo de u 
Resiliencia 2E 2E
0 f 
 2f
 Módulo de u
Resiliencia 2E
ENERGÍA DE DEFORMACION ELÁSTICA PARA
ESFUERZOS NORMALES

 En un elemento estructural con distribución de esfuerzos no

u se define considerando un
uniforme, la densidad
pequeño elemento de V de volumen
material .

dU
u  dU  udV
dV

U
 2 dV
0 

2
Energía de deformación
elástica bajo esfuerzos
uniaxiales
U
 2E dV
 Esto se usa para el rango elástico antes de llegar a la
fluencia.
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA BAJO
ESFUERZOS CORTANTES

 Cuando un material está sometido a esfuerzo cortante plano la

densidad de energía de deformación en un punto dado se

expresa: Ley de Hooke (En el rango
elástico)
  G *

G 
u   d  es la
cortante
deformación

correspondiente a
  * 2
0 u u
u 2 2G

 dU  udV
dU
u 
dV

2
Energía de deformación
elástica bajo esfuerzos
U
 2G dV
V
cortantes
  A
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA .

 Cargas Axiales
 Momentos Flectores

 Energía de deformación bajo carga

axial
Si un elemento de longitud L y área transversal se encuentra sujeto a una
carga axial siendo el esfuerzo normal o axial P y se tienen en cuenta las
relaciones entre tensión normal σ = P/A se obtiene:

  x 
dx P
A x 
A x 

P3 P2 P1
v
v

P x  P x 

x L dx dV  A x dx

L P2x 
U

0 2 E A x 
dx ......... *
Energía de deformación bajo carga axial

 Para una carga constante y sección

constante
L P2
U
0 2E A
dx

P2 L
L A U x0
2E A

P P2L Sabiendo que también se

U
2E A puede llegar con la expresión
general (*)
 Ejemplo
 Para una carga constante y sección
constante
A
P1  P2 2 L1
1 A2
P22 * L2
P1
P2 U 
2 EA 1 2 EA 2
L1 L2
  A
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA

 Energía de deformación bajo momentos

flectores
y
W x  Pi

Mx 

x x

 Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo

normal viene dado por:

M x * y

I
 Energía de deformación bajo momentos
flectores
y 
dA y y

Mx  E. N
x

dx

Esfuerzo varía en cada diferencial de

área
dV  dA* dx

2 1  M x  y 
2

U
V
2 E
dV  U 
L A
2 E  I  dAdx
 
 1 M x 2   1 M x  1 M x 
2


I 2
 
U  
y dA * dx  U  U * dx
2
* Idx
2 2 2E I
L 
 2E I 
A L
2E I L
Energía de deformación bajo momentos
flectores

 Problema:
PL P Solución:
1 PX  PL 2
L
U
2E I
* dx
P L

 P X 
1
PL U 2 2
 2 PXPL  P 2 L2 dx
Mx 
2 EI
L
x  3
L
2
L  L
1  2X
P L X 
P 2 X
U P  2P L 2 2
2 EI  3 2 0
 0 0 

M x   PX  PL 1  2 L3 2 L
2 
U P  2 P L  P L L
2 2
2 EI  3 2 
P 2 L3
U
6 EI
  A
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA .

 Torsión
 Fuerza Cortante

 Energía de deformación bajo

torsión
Sección
Circular

 T*

1 2
d  U  dV
J 2G
Energía de deformación bajo torsión

 La energía de deformación bajo

torsión se define:
T3 T2 T1 Tx Tx T2x *  2
v


1
U * 2 * 2  d dx
L 2G Jx 
V
x dx
2
1 T x 
T x  * 
U

L R x 
* 2 * 2 3d dx
2G J  x 

Jx 
 T 2 
J x 
  
 * 2  2 2  d  dx

1
U   x 
 L 2G J  x  R 
dV  2  d * dx   x

 
dA 2
1 T x 
U
L
 *
2G J x 
dx
  A
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA .

 Energía de deformación bajo fuerza cortante

Q
A  bh / 2  y  , y y
h / 2  y   1 h / 2  y 
2 2
y E. N
b  h  
2
x
Q  A * y     y 2
2  2  

1
t b , I b h3 , dV  bdy * dx
12

h/ 2
y
y


V x  * b / 2 h / 2 2  y 2   
6V x 
h / 2  y 
2 2

h/ 2
x 1
b * h3 * b bh3
12
Energía de deformación bajo fuerza
cortante

 
2
 2
1  6V x  2 2 
U 
V
 2G dV  U 

V

2G  bh3
h / 2 y  dV


U 

1
2G
 36V2x 

 b h
2 6
h/ 2 2 2
y  b dy dx
2

V 

U 
18V2x 
 Gb h 2 6
h / 2 4

 2h / 2 2 y 2  y 4 b dy dx U
L
18V2x 
 Gb h 6
*
1 5
30
h dx 
0.6
GbhV x2dx

18V2x   h/ 2  h4 h2  
   4
U    * y  y dy dx
2
Gb h 
6 
 h / 2  16 2  
L  
 4 h/ 2 
18V2x  2 3 5
U 
 h y  h * y  y
Gb h  16
6

2 3 5
 dx

h / 2 
L 
Energía de deformación bajo fuerza
cortante

18V x2 1 5
U  6
* h dx 
0.6
V x 2
dx
L
Gb h 30 Gbh

V x  dx

0.6
U 
2 Energía de deformación
GA L elástica bajo fuerza
cortante
Ejemplo 1

 Problema: Hallar la Energía de deformación del

sistema
A1  90 mm 2 F1
E  200GPa
L1  1.5 m
0.9m  Fx  0
º
37
F1Cos37  F2Cos37  F1  F2
0.9m 12 KN 12 KN

A2  150 mm 2 F2
L2  1.5 m

3 3
F1   F1   12  F1  10 KN , F2  10 KN
5 5

U 
P2 * L
 U
100002 x 1.50

 10000 x 1.50
2

2 EA 2 x 200 x 109 x 90 x 10 6 2 x 200 x 109 x 150 x 10 6

U  6.67 N * m  U  6.67 joule

Ejemplo 2

 Problema: Calcular la Energía de deformación para una carga

puntual. P
 V  Primer tramo
 M  V x  
P
P/2 P/2 2

P/2 Segundo
V x    tramo P
V x   
 2
P/2

Momentos por tramos:

Primer tramo Segundo tramo
P
L
Mx  M x   P / 2 X
2 M  x   P / 2 X  P  X  L / 2
P/2 Mx 
x P/2
x
Ejemplo 2

 La energía debida a :


1
U M x2 dx
2 EI
L
2
1 P 
P / 2 x  P  x  L / 2 2dx
L/ 2 L
 
1
 x  dx  L
0 2 EI  2  2 EI
2
L/ 2
2 3 L 1  P2 
 L  X 2  2dx
P X
U  L 
8 EI 3 2 EI  4 
0 2

Operando
: P 2 L3
U  Esto es debido 
a
96EI
normales
Ejemplo 2

 
La energía debida a :

2 2
L/ 2
P P
L
  
0.6 0.6 0.6
U V x2dx  U    dx    dx
G* A G* A 0 2 G* A L/ 2 2 

0.6 P2 L
U * * *2
G* A 4 2
0.15P 2 L
U
GA
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA
CARGA
P

 enla direcciónde la cargaP



M
 giro enla direccióndel momento
M


T  ángulode giro enla direccióndelT




 
d
P
W
2
dW  Pd
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA
CARGA
M T

M T
W W
2 2

   

Wext  U
P
En el problema anteriorU  6.67N * m 
2
Donde P ya no esF1 o2
F en las barras, sino la carga externa que produce
deformación12KN 

12000N * 
6.67 N * m 
2
   1.11 x 103 m  1.11mm
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA
CARGA

También se tiene que:

P 2 L3
U  Wext
96EI

P 2 L3 P *  PL3
   
96EI 2 48EI
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS
CARGAS
 Las cargas se aplican
lentamente
P1 P2 P

 X11 X 21

 Si luego aplica la carga 2

entoen1 debido a P1
P1 P2
X11  desplazami
entoen2  debido a P1
X 21  desplazami
X11 X 21
X12 X 22 entoen1 debido a P2
X12  desplazami
entoen2  debido a P2
X 22  desplazami
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS
CARGAS

P1
P2

X11  11P1
X 21   21P1
X12  12P2
X 22   22P2 X11 X12 

X 21 X 22

P1 X11
Wext   P1 X12
2
P2 X 22 P1 X11 P X
Wext  Wext total   P1 X12  2 22
2 2 2

11P12  22P22
Wext total   12P1P2  ......... 1
2 2
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS
CARGAS
Si cambiamos la secuencia de aplicación de carga ( es decir primero
P2 yP1
luego ) P1 P1

 
X12 X11 X 22 X 21

Reemplazando los s
queda: PX P X
Wext total  1 11  2 22  P2 X 21
2 2

11P12  22P22
Wext total     21P1P2 ......... 2
2 2
 El trabajo total es independiente del orden de secuencia de aplicación de
las cargas. Entonces:
 12   21
Las dos expresiones son iguales (1) =(2)
TEOREMAS ENERGÉTICOS

 Teorema Betti
“El trabajo externo realizado por un conjunto de cargas
P1 a lo largo
de los desplazamientos producidos por un segundo conjunto Pde 2
cargas es igual al trabajo producido por el segundo P grupo
2 de
cargas a lo largo de los desplazamientos
P1 producidos por ”.

P1 P2 P1 P2


X12 X 22 X11 X 21
TEOREMAS ENERGÉTICOS

 Teorema de Maxwell - Betti

“La deflexión originada en el punto (2) bajo la aplicación de un
carga unitaria en el punto (1) será igual a la deflexión del punto (1)
debido a una carga unitaria en el punto (2)”.

P1 P2 P1 P2
P1  P2
X11 X 21 X12 P2  P1
X12 X 22

P1  1
12   21  TeoremaBetti
P2  1