Flexion en Vigas

FACULTAD DE INGENIERIA
MECANICA, ELECTRONICA Y
BIOMEDICA
RESISTENCIA DE MATERIALES
CAPITULO 4
FLEXION PURA- DIAGRAMAS CORTANTE
MOMENTO FLECTOR
LUIS FERNANDO PESCA ANGULO

INGENIERO MECANICO
ESPECIALISTA EN MECANICA DE MATERIALES
lpesca@uan.edu.co; lfpesca@gmail.com
Los elementos estructurales suelen clasificarse de acuerdo con los tipos de
cargas que soportan.
Por ejemplo, una barra cargada axialmente soporta fuerzas con sus vectores
dirigidos a lo largo del eje de la barra y una barra en torsión soporta pares de
torsión (o pares) que tienen sus vectores momento dirigidos a lo largo del eje.
Ahora, iniciamos nuestro estudio de las vigas, que son elementos estructurales
sometidos a cargas laterales, es decir, fuerzas o momentos que tienen sus vectores
perpendiculares al eje de la barra.
Las vigas que se muestran en la figura, se clasifican como estructuras planares

debido a que yacen en un solo plano. Si todas las cargas actúan en ese mismo plano
y si todas las deflexiones (indicadas por las líneas discontinuas) también ocurren en
ese plano, entonces nos referimos a éste como el plano de flexión
Ahora analizamos las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en vigas y

mostraremos cómo estas cantidades están relacionadas entre sí y con las cargas.
La determinación de las fuerzas cortantes y de los momentos flexionantes es un
paso esencial en el diseño de cualquier viga.
Por lo general, no sólo necesitamos conocer los valores máximos de estas
cantidades, sino también la manera en que varían a lo largo del eje de la viga.
Una vez que se conocen las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes
podemos determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y las deflexiones.
FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS
FLEXIONANTES
Tipos de vigas, cargas y reacciones
Las vigas se describen por la manera en que están apoyadas.
Por ejemplo, una viga con un apoyo articulado en un extremo y un apoyo de
rodillo en el otro, ver figura, se denomina viga simplemente apoyada o viga simple
La característica esencial de un apoyo articulado es que evita la translación en el

extremo de una viga pero no evita su rotación.
De esta manera, el extremo A de la viga de la figura, no puede moverse horizontal
o verticalmente pero el eje de la viga puede girar en el plano de la figura.
En consecuencia, un apoyo articulado es capaz de desarrollar una fuerza de
reacción con componentes tanto horizontal como vertical (HA y RA), pero no
puede desarrollar una reacción de momento.
En el extremo B de la viga el apoyo de rodillo evita la translación en la dirección

vertical pero no en la dirección horizontal; de aquí que este apoyo puede resistir
una fuerza vertical (RB) pero no una fuerza horizontal.
Por supuesto, el eje de la viga puede girar en B y en A.
La viga que se muestra en la figura, que está fija en un extremo y libre en el otro,
se denomina viga en voladizo.
En el apoyo fijo (o apoyo empotrado) la viga no puede trasladarse ni girar, en
tanto que en el extremo libre puede hacer ambas cosas.
En consecuencia, en el apoyo empotrado pueden existir tanto reacciones de fuerza
como de momento.
El tercer ejemplo en la figura es una viga con un voladizo (ver figura).
Esta viga está simplemente apoyada en los puntos A y B (es decir, tiene un apoyo
articulado en A y un apoyo de rodillo en B) pero también se proyecta más allá del
apoyo en B.
El segmento BC en saliente es similar a una viga en voladizo excepto que el eje
de la viga puede girar en el punto B
En la figura, se ilustran varios tipos de cargas que actúan sobre vigas.
Cuando una carga se aplica sobre un área muy pequeña se puede idealizar como
una carga concentrada, que es una fuerza individual.
En la figura los ejemplos son las cargas P1, P2.
Cuando una carga se reparte a lo largo del eje de la viga, se representa como una
carga distribuida, como la carga q en la figura.
Las cargas distribuidas se miden por su intensidad, que se expresa en unidades de
fuerza por unidad de distancia (por ejemplo, newtons por metro o libras por pie).
Una carga distribuida uniformemente o carga uniforme, tiene una intensidad
constante q por unidad de distancia.
Una carga variable tiene una intensidad que cambia con la distancia a lo largo del
eje de la viga; por ejemplo, la carga linealmente variable de la figura, tiene una
intensidad que varía linealmente de q1 a q2.
Otro tipo de carga es un par, ilustrado por el par de momento M 1 que actúa sobre
la viga con saliente.
Como se mencionó anteriormente, en este estudio suponemos que las cargas
actúan en el plano de la figura, lo que significa que todas las fuerzas deben tener
sus vectores en dicho plano, y todos los pares deben tener sus vectores momento
perpendiculares al plano de la figura.
Cuando una viga se carga con fuerzas o pares, se desarrollan esfuerzos y
deformaciones unitarias en todo su interior.
Para determinarlos, primero debemos encontrar las fuerzas internas y los pares
internos que actúan sobre secciones transversales de la viga.
Para ilustrar cómo se determinan estas cantidades internas, considere una viga en
voladizo AB cargada por una fuerza P en su extremo libre (ver figura).
Cortamos a través de la viga en
una sección transversal mn
ubicada a una distancia x del
extremo libre y aislamos la parte
izquierda de la viga como un
diagrama de cuerpo libre (ver
figura).
El diagrama de cuerpo libre se
mantiene en equilibrio por la
fuerza P y por los esfuerzos que
actúan sobre la sección
transversal cortada.
Estos esfuerzos representan la
acción de la parte derecha de la
viga sobre la parte izquierda. En
este punto de nuestro análisis no
conocemos la distribución de los
esfuerzos que actúan sobre la
sección transversal; todo lo que
sabemos es que la resultante de
dichos esfuerzos debe mantener
De la estática sabemos que la resultante de los esfuerzos que actúan sobre la
sección transversal se puede reducir a una fuerza cortante V y a un momento
flexionante M (ver figura).
Como la carga P es transversal al eje de la viga, no existe fuerza axial en la

sección transversal. Tanto la fuerza cortante como el momento flexionante actúan
en el plano de la viga, es decir, el vector para la fuerza cortante se encuentra en el
plano de la figura y el vector para el momento es perpendicular al plano de la
figura.
Las fuerzas cortantes y los momentos
flexionantes, al igual que las fuerzas
axiales en barras y los pares de torsión
internos en ejes, son las resultantes de
esfuerzos distribuidos sobre la sección
transversal.
Por lo que a estas cantidades se les conoce

colectivamente como resultantes de
esfuerzo.
Las resultantes de esfuerzo en vigas estáticamente indeterminadas se
pueden calcular con ecuaciones de equilibrio.
En el caso de la viga en voladizo de la figura, utilizamos el diagrama

de cuerpo libre. Sumando fuerzas en la dirección vertical y también
tomando momentos con respecto a la sección cortada, obtenemos:
donde x es la distancia desde el extremo libre de la viga hasta la

sección transversal donde se van a determinar V y M.
Ahora consideremos las convenciones de signos para las fuerzas cortantes
y los momentos flexionantes.
Es costumbre suponer que las fuerzas cortantes y los momentos
flexionantes son positivos cuando actúan en las direcciones y sentidos que
se muestran en la figura.
Observe que la fuerza cortante tiende a hacer girar el material en el sentido
de las manecillas del reloj y el momento flexionante tiende a comprimir la
parte superior de la viga y a alargar la parte inferior.
En el caso de una viga, una fuerza cortante positiva actúa en el sentido de las
manecillas del reloj contra el material y una fuerza cortante negativa actúa en
sentido contrario al de las manecillas del reloj contra el material.
Además, un momento flexionante positivo comprime la parte superior de la
viga y un momento flexionante negativo comprime la parte inferior.
Ahora obtendremos algunas relaciones importantes entre cargas, fuerzas
cortantes y momentos flexionantes en vigas.
Estas relaciones son muy útiles al investigar las fuerzas cortantes y los
momentos flexionantes en toda la longitud de una viga y son de utilidad
especial al dibujar diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
Con objeto de obtener las relaciones, consideremos un elemento de una
viga cortado en dos secciones transversales que están separadas una
distancia dx (ver figura).
La carga que actúa sobre la superficie superior del elemento puede ser
una carga distribuida, una carga concentrada o un par, como se muestra
en las figuras.
En el caso de una carga distribuida (ver figura), los incrementos de V y M son
infinitesimales y los identificamos con dV y dM, respectivamente.
Las resultantes de los esfuerzos correspondientes sobre la cara derecha son V + dV
y M + dM.
En el caso de una carga concentrada o de un par los incrementos pueden ser
finitos, y entonces se denotan con V1 y M1. Las resultantes de esfuerzos
correspondientes sobre la cara derecha son V + V1 y M + M1.
Para cada tipo de carga podemos escribir dos ecuaciones de equilibrio para el
elemento —una ecuación para el equilibrio de fuerzas en la dirección vertical y la
otra para el equilibrio de momentos—.
La primera de estas ecuaciones da la relación entre la carga y la fuerza cortante y

la segunda da la relación entre la fuerza cortante y el momento flexionante.
Cargas distribuidas
El primer tipo de carga es una carga distribuida con intensidad q, como se

muestra en la figura. Primero consideraremos su relación con la fuerza
cortante y luego su relación con el momento flexionante.
Fuerza cortante. El equilibrio de fuerzas en la dirección vertical (las

fuerzas hacia arriba son positivas) da
A partir de esta ecuación observamos que la razón de cambio de la fuerza

cortante en cualquier punto sobre el eje de la viga es igual al negativo de
la intensidad de la carga distribuida en ese mismo punto.
Nota:
si la convención de signo para la carga distribuida se invierte, de
manera que q sea positiva hacia arriba en vez de hacia abajo, entonces
en la ecuación anterior se omite el signo menos.
Cargas distribuidas
Momento flexionante.
Ahora consideremos el equilibrio de

momentos del elemento de la viga que se
muestra en la figura. Sumando momentos
con respecto a un eje en el lado izquierdo
del elemento (el eje es perpendicular al
plano de la figura) y tomando los momentos
en sentido contrario al de las manecillas del
reloj como positivos, obtenemos:
Esta ecuación muestra que la razón de

cambio del momento flexionante en
cualquier punto sobre el eje de una viga es
igual a la fuerza cortante en ese mismo
Cargas concentradas
Ahora consideremos una carga concentrada P

que actúa sobre el elemento de la viga (ver
figura).
Del equilibrio de fuerzas en la dirección

vertical obtenemos:
Este resultado significa que ocurre un cambio

abrupto en la fuerza cortante en cualquier punto
donde actúa una carga concentrada.
Conforme pasamos de izquierda a derecha por

el punto de aplicación de la carga, la fuerza
cortante disminuye en una cantidad igual a la
magnitud de la carga P dirigida hacia abajo.
Del equilibrio de momentos con respecto a la cara izquierda del elemento (ver
figura), obtenemos:
Como la longitud dx del elemento es infinitesimalmente pequeña, en esta

ecuación observamos que el incremento M1 en el momento flexionante también
es infinitesimalmente pequeño.
Por tanto, el momento flexionante no cambia conforme pasamos por el punto de

aplicación de una carga concentrada.
Cargas en forma de pares
El último caso considerado es una carga en

la forma de un par M0 (ver figura).
Del equilibrio del elemento en la dirección

vertical obtenemos V1=0, que muestra que
la fuerza cortante no cambia en el punto de
aplicación de un par.
El equilibrio de momentos con respecto al

lado izquierdo del elemento da:
Si no tomamos en cuenta los términos que

contienen diferenciales (ya que son
despreciables comparados con los
términos finitos), obtenemos:
En la figura, se muestra la viga ABC con una saliente en el extremo
izquierdo. La viga está sometida a una carga uniforme con intensidad
q=1.0 k/ft sobre la saliente AB y a un par en sentido contrario al de las
manecillas del reloj M0 = 12.0k-ft que actúa a la mitad entre los apoyos
B y C.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para

esta viga.
Σ 𝐹𝑦=0 ; − ( 4 𝑞 ) + 𝑅 𝐵 − 𝑅 𝐶 =0
𝑅 𝐵 =5,25 𝑘 𝑅 𝐶 =1,25 𝑘
AREA 1
AREA 2
AREA 3
Una viga simple AB soporta dos cargas, una fuerza P=14 Kips y un par M 0
=500 lb*ft, que actúan como se muestran en la figura.
Encuentre la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la viga en

secciones transversales ubicadas como se indica:
(a) a una distancia pequeña a la izquierda del punto medio de la viga y

(b) a una distancia pequeña a la derecha del punto medio de la viga.
L=1ft.
Σ 𝐹𝑦=0 ; − 𝑃 + 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 =0
Σ 𝐹𝑦= 0 ; − 𝑃 + 𝑅 𝐴 +𝑉 = 0
Σ 𝐹𝑦= 0 ; − 𝑃 + 𝑅 𝐴 +𝑉 = 0
Una viga simple con una saliente está apoyada en los puntos A y B
(figura 4.13a). Una carga uniforme con intensidad q = 200 lb/ft actúa
en toda la longitud de la viga y una carga concentrada P = 14 k actúa en
un punto a 9 ft del apoyo izquierdo. La longitud del claro de la viga es
24 ft y la longitud del voladizo es 6 ft.
Calcule la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la sección

transversal D ubicada a 15 ft del apoyo izquierdo.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para
una viga simple con una carga uniforme de intensidad q que actúa
sobre parte del claro. q= 10 KN, a= 0,4m; b=0,5m; c=0,2m

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LUIS FERNANDO PESCA ANGULO

Las vigas que se muestran en la figura, se clasifican como estructuras planares

Ahora analizamos las fuerzas cortantes y los momentos ﬂexionantes en vigas y

La característica esencial de un apoyo articulado es que evita la translación en el

En el extremo B de la viga el apoyo de rodillo evita la translación en la dirección

Como la carga P es transversal al eje de la viga, no existe fuerza axial en la

Por lo que a estas cantidades se les conoce

En el caso de la viga en voladizo de la figura, utilizamos el diagrama

donde x es la distancia desde el extremo libre de la viga hasta la

La primera de estas ecuaciones da la relación entre la carga y la fuerza cortante y

El primer tipo de carga es una carga distribuida con intensidad q, como se

Fuerza cortante. El equilibrio de fuerzas en la dirección vertical (las

A partir de esta ecuación observamos que la razón de cambio de la fuerza

Ahora consideremos el equilibrio de

Esta ecuación muestra que la razón de

Ahora consideremos una carga concentrada P

Del equilibrio de fuerzas en la dirección

Este resultado significa que ocurre un cambio

Conforme pasamos de izquierda a derecha por

Como la longitud dx del elemento es infinitesimalmente pequeña, en esta

Por tanto, el momento ﬂexionante no cambia conforme pasamos por el punto de

El último caso considerado es una carga en

Del equilibrio del elemento en la dirección

El equilibrio de momentos con respecto al

Si no tomamos en cuenta los términos que

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento ﬂexionante para

Encuentre la fuerza cortante V y el momento ﬂexionante M en la viga en

(a) a una distancia pequeña a la izquierda del punto medio de la viga y

Calcule la fuerza cortante V y el momento ﬂexionante M en la sección

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