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Taller - HT 3 Matba Ing
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SESIÓN 03:
2021 - 1
ESPACIO VECTORIAL
NIVEL I:
1. Relacione cada uno de los axiomas del espacio vectorial con su respectivo nombre, según
corresponda:
a) 𝑆𝑖 𝑥⃗ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦⃗ ∈ 𝑉 ⇒ 𝑥⃗ + 𝑦⃗ ∈ 𝑉 ( ) Inverso aditivo
b) ∀𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗ ∈ 𝑉 ⇒ (𝑥⃗ + 𝑦⃗) + 𝑧⃗ = 𝑥⃗ + (𝑦⃗ + 𝑧⃗) ( ) Primera ley distributiva
c) ∃0 ⃗⃗ ∈ 𝑉/∀𝑥⃗ ∈ 𝑉, 𝑥⃗ + ⃗0⃗ = ⃗0⃗ + 𝑥⃗ = 𝑥⃗ ( ) Ley asociativa de la suma
d) 𝑆𝑖 𝑥⃗ ∈ 𝑉, ∃(−𝑥⃗) ∈ 𝑉/𝑥⃗ + (−𝑥⃗) = ⃗0⃗ ( ) Cerradura bajo la multiplicación
e) 𝑆𝑖 𝑥⃗, 𝑦⃗ ∈ 𝑉 ⇒ 𝑥⃗ + 𝑦⃗ = 𝑦⃗ + 𝑥⃗ ( ) Cerradura bajo la suma
f) 𝑆𝑖 𝑥⃗ ∈ 𝑉 ∧ 𝛼 ∈ ℝ ⇒ 𝛼 ⋅ 𝑥⃗ ∈ 𝑉 ( ) Idéntico o neutro multiplicativo
g) 𝑆𝑖 𝑥⃗, 𝑦⃗ ∈ 𝑉 ∧ 𝛼 ∈ ℝ ⇒ 𝛼(𝑥⃗ + 𝑦⃗) = 𝛼𝑥⃗ + 𝛼𝑦⃗ ( ) Idéntico o neutro aditivo
h) 𝑆𝑖 𝑥⃗ ∈ 𝑉 ∧ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ ⇒ (𝛼 + 𝛽)𝑥⃗ = 𝛼𝑥⃗ + 𝛽𝑥⃗ ( ) Ley asociativa de la multiplicación
i) 𝑆𝑖 𝑥⃗ ∈ 𝑉 ∧ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ ⇒ 𝛼(𝛽 ⋅ 𝑥⃗) = (𝛼 ⋅ 𝛽)𝑥⃗ ( ) Ley conmutativa de la suma
j) ∀ 𝑥⃗ ∈ 𝑉, 1 ⋅ 𝑥⃗ = 𝑥⃗ ( ) Segunda ley distributiva
2. Escriba en los espacios correspondientes, los elementos que conforman cada uno de los
espacios vectoriales dados:
a) ℝ2 es el espacio de todos los……………………………………..………….
3 es el espacio de todas las………………………………………………….
b) ℝ
𝑛
c) ℝ es el espacio de todas las………………………………………………….
d) 𝑀2×3 es el espacio de todas las…………………………………….…………….
e) 𝑀𝑚×𝑛 es el espacio de todas las……………………………………….………….
f) 𝑃2 es el espacio de todos los…………………………………………………..
g) 𝑃𝑛 es el espacio de todos los…………………………………………………..
NIVEL II:
un espacio vectorial.
𝑥
9. Sea 𝑉 = ℝ3, determine si el subconjunto 𝐻 = {[𝑦] /𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0} es un subespacio
𝑧
vectorial.
10. Determine si (ℝ2 , + , ℝ , · ), con las operaciones + y • definidas por : (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) =
(𝑏 + 𝑑, 𝑎 + 𝑐) 𝑦 𝑘(𝑎, 𝑏) = (𝑘𝑎, 𝑘𝑏),es un espacio vectorial.
NIVEL III:
15. En una clase de matemática básica, el profesor escribe los siguientes polinomios en la
pizarra: ℙ2 = {𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐/𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≠ 0} 𝑦 ℙ3 = {𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑/
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑔𝑟𝑎𝑑(ℙ3 ) ≤ 3} y les dice a sus estudiantes que aquel que determine cuál
de los polinomios es un espacio vectorial, tendrá un punto adicional en su práctica calificada.
Juan afirma que ℙ2 es un espacio vectorial mientras que Lucas indica que el espacio
vectorial es ℙ3 . ¿Quién obtendrá el punto adicional?
1 𝑓(0)+𝑓(1)
16. Dos amigos debaten si el conjunto 𝐻 = {𝑓 ∈ 𝑉/𝑓 (2) = 2
} es un subespacio
vectorial de (𝑉, +, ℝ, ⋅ ) 𝑒𝑛 𝑉 = {𝑓: [0,1] ⇒ ℝ/𝑓 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 }. Marcos indica que no es
un subespacio vectorial y Luis niega lo dicho por Marcos. ¿Cuál de ellos tiene la razón?
Referencias bibliográficas