Unidad Ii. La Recta

La recta
Docente: Dra. Isabel Márquez

El Leonard P. Zakim Bridge
Es el puente sustentado por cables más

largo del mundo, (también conocido como
el Bunker Hill Bridge) se encuentra al
norte de Boston, Massachusetts. Ubicado
sobre el Charles River, este puente de
diseño moderno se inauguró en 2002.
Los cables del puente son paralelos o casi
paralelos entre sí. Las torres verticales
encima del puente son perpendiculares a
su calzada.
Geometría I. 5ta Edición. Daniel C. Alexander

Geralyn M. Koeberlein.
Rectas perpendiculares
Por definición dos rectas (o

segmentos, o rayos) son
perpendiculares si convergen
para formar ángulos adyacentes
congruentes.
Utilizando esta definición se

demostró el teorema que establece
que las “rectas perpendiculares se
encuentran formando ángulos rectos”.
Rectas perpendiculares
También se puede decir que dos

rayos o segmentos de recta son
perpendiculares si son partes de
rectas perpendiculares.
Método para construir una recta Perpendicular a una recta dada un punto fuera de ésta
Construcción 6
Figura 2.1
Teorema 2.2.1
A partir de un punto fuera de una recta hay exactamente una

recta perpendicular a la recta dada.
Observaciones
El término perpendicular incluye relaciones recta-rayo, recta-plano y

plano-plano (ver figura 2.2 )
una recta perpendicular a un

plano
dos planos perpendiculares
dos rectas perpendiculares
Figura 2.2
Rectas paralelas
Así como la palabra perpendicular puede relacionar rectas y

planos, la palabra paralelo también se puede utilizar para
describir relaciones entre rectas y planos. Sin embargo, las
rectas paralelas se deben encontrar en el mismo plano, como se
enfatiza en la definición siguiente.
Definición
Las rectas paralelas son rectas en el mismo plano y no se

interceptan.
De manera más general dos rectas en un plano, una recta y un plano
o dos planos son paralelos si no se interceptan (vea la figura 2.3).
Ejercicio
En la figura 2.4 dos planos paralelos M y N se interceptan
por un tercer plano G. ¿Cómo se deben relacionar las rectas de
intersección, a y b?
Figura 2.4
Ejercicio
En la siguiente figura las rectas l y m se

encuentran en el mismo plano con la recta
t y son perpendiculares a la recta t.
¿Cómo se relacionan entre sí las
rectas l y m?
Figura 2.4
Geometría en el
mundo real
Los peldaños de una escalera son

segmentos de recta paralelos.
Geometría euclidiana
En la geometría euclidiana un plano es una superficie bidimensional plana

en la cual el segmento de recta que une cualesquiera dos puntos del plano
se encuentra por completo dentro del plano.
Postulado 10: (postulado paralelo)
A través de un punto fuera de una recta, exactamente una recta

es paralela a la recta dada.
Rectas paralelas
Considere la figura 2.5, en donde la recta m y el punto P (con P

fuera de m) se encuentran en el plano R.
Parece razonable que exactamente una recta se pueda trazar a

través de P paralela a la recta m.
Transversal
Una transversal es una recta que interseca dos (o más) rectas en puntos distintos;
todas las rectas se encuentran en el mismo plano. En la figura 2.6, t es una transversal
para las rectas r y s. Los ángulos que se forman entre r y s son ángulos internos;
aquellos fuera de r y s son ángulos externos. En relación con la figura 2.6, se tiene
En la figura 2.6 considere los ángulos que se
forman cuando las rectas se cortan
por una transversal. Dos ángulos que se
encuentran en las mismas posiciones relativas
(como arriba y abajo) se denominan ángulos
correspondientes para estas rectas. En la figura
2.6,
son ángulos correspondientes; cada uno está

arriba de la recta y a la izquierda de la
transversal que ayuda a formar el ángulo.
Como se muestra en la figura 2.6, se tiene
Dos ángulos internos que tienen
vértices diferentes y se encuentran
en lados opuestos de la transversal
son ángulos alternos internos.
Dos ángulos externos que tienen
vértices
diferentes y se encuentran en lados
opuestos de la transversal son
ángulos alternos externos.
Ambos tipos de ángulos alternos
deben ocurrir en pares; en la figura
2.6, se tiene:
Rectas paralelas y ángulos congruentes
Postulado 11
Si dos rectas paralelas se cortan

por una transversal, entonces los
ángulos correspondientes
son congruentes .
Ejemplo 1
Teorema 2.1.2
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,
entonces los ángulos alternos internos son congruentes. .
Ejercicio
Teorema 2.1.3
Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los

ángulos alternos externos son congruentes.
Rectas paralelas y ángulos suplementarios
Cuando dos rectas paralelas se cortan por una transversal se puede

demostrar que los dos ángulos internos en el mismo lado de la
transversal son suplementarios. Se puede hacer una afirmación
similar para el par de ángulos externos en el mismo lado de la
transversal.
Estrategia para una demostración Uso de la sustitución
en un enunciado de demostración
Regla general: En una ecuación una expresión puede reemplazar a su igual.

Ilustración: Consulte los enunciados 3, 6 y 7 en la demostración del
teorema 2.1.4.
Observe que (se encuentra en el enunciado 1) se sustituyó por
en el enunciado 6 para obtener el enunciado 7.

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Geometría I. 5ta Edición. Daniel C. Alexander

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