Interseccion de Planos

INTERSECCIÓN DE PLANOS
En geometría, una intersección es un punto, línea recta, curva, superficie o volumen, que
es común a dos o más elementos (como líneas rectas, curvas, planos, superficies o
volúmenes). El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección de
dos rectas distintas, que o bien es un punto o no existe si las líneas son paralelas.
La determinación de la intersección de planos o rectas definidos en un
espacio dimensional superior, es una tarea simple de álgebra lineal, es decir, la solución
de un sistema de ecuaciones lineales. Pero en general, la determinación de una
intersección conduce a sistemas no lineales, que pueden ser solucionados por análisis
numérico, por ejemplo, utilizando el método de Newton. Los problemas de intersección
entre una línea y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera,
cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones de segundo grado que se pueden
resolver fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas (superficies de cuarto grado) llevan
a ecuaciones cuárticas, que se pueden resolver algebraicamente.
A. CASOS DE INTERSECCIÓN DE PLANOS

Las intersecciones de planos es un tema sencillo del sistema diédrico si se comprenden los
conceptos claramente desde el principio. Así que tengo ante mí el reto de explicarlo lo
mejor posible para que lo entiendas de forma definitiva. Empezaremos por lo más
básico:
LA INTERSECCIÓN DE 2 RECTAS EN EL ESPACIO ES UN PUNTO.
Esto quiere decir que cuando dos rectas se cortan, existe un único punto en común, es
decir, un punto que pertenece a ambas y se llama punto de intersección. Dos rectas se
cortan en el espacio si son coplanarias. Si dos rectas no tienen ningún punto en común,
entonces estas rectas se cruzan en el espacio. La manera de detectar que dos rectas se
cortan es mirando si el punto de corte de las proyecciones verticales coincide con los
puntos de corte de las proyecciones horizontales.
LA INTERSECCIÓN DE 2 PLANOS EN EL ESPACIO ES UNA RECTA.

Esta recta obviamente es común a ambos planos, es decir, pertenece a ambos planos
simultáneamente. Para definir cualquier recta solo necesitamos 2 puntos de la misma y
eso es lo que haremos para encontrar la recta de intersección. Estos dos puntos los
conseguiremos de la intersección de dos pares de rectas.
3. LA INTERSECCIÓN DE 3 PLANOS EN EL ESPACIO ES UN PUNTO.

Si tenemos por ejemplo los planos A, B y C, los planos A-B dan una recta de intersección
i1, los planos B-C dan otra recta de intersección i2. La intersección de estas dos rectas i1-
i2 es un punto, como he explicado en el primer punto. Este será el punto de intersección
de los 3 planos.
B. INTERSECCIÓN DE 2 PLANOS
Como he dicho, para definir la recta de intersección de dos planos necesitamos 2 puntos
de la misma y estos puntos los obtendremos de la intersección de dos pares de rectas.
Para que dos rectas se corten hemos dicho que tenían que ser coplanarias y, por tanto, lo
más sencillo será que utilicemos las trazas del plano. Las trazas del plano son las rectas de
intersección de un plano con los planos de proyección. Por tanto, si utilizamos las trazas
de los planos estamos utilizando rectas coplanarias y como consecuencia nos estamos
asegurando que se cortan.
Volviendo al ejemplo anterior de los planos A y B, la intersección del plano A con el
plano vertical de proyección es la traza A’ (una recta). De la misma manera, la
intersección del plano B con el plano vertical de proyección es la traza B’ (también una
recta). La intersección de las trazas A’ con B’ nos da necesariamente un único punto,
porque son rectas coplanarias (ambas pertencen al plano vertical de proyección). El
punto que conseguimos en la intersección es V definido por su proyección horizontal v y
vertical v’.
Si sigues el mismo razonamiento para las trazas horizontales verás que obtenemos el
punto H (h’-h).
Si unes H con V, es decir h’-v’ y h-v obtienes la recta intersección I (i’-i) de los planos A,
B.

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A. CASOS DE INTERSECCIÓN DE PLANOS

LA INTERSECCIÓN DE 2 PLANOS EN EL ESPACIO ES UNA RECTA.

3. LA INTERSECCIÓN DE 3 PLANOS EN EL ESPACIO ES UN PUNTO.

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