Proyecciones - Figuras - Completas

I.S.A.R.M. - Profesorado en Matemática - Geometría III – Unidad 1 Pág.
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Proyecciones
Supongamos que tenemos dos planos π y π’ en el espacio. Entonces podemos hacer una proyección de π
en π’ desde un centro dado. Se presentan dos tipos de proyecciones según ese centro sea un punto propio,
o un punto impropio.
Proyección central
Dado un par planos π y π’ y un punto O fuera de ellos, la imagen de cada punto P del plano π es el punto
P’ en π’, que está en la misma recta que pasa por P y por O.
Es decir, conectamos los puntos P y O con una recta, y buscamos su intersección con el plano π’.
Si el punto O es impropio, O, también se puede hacer una proyección, donde las rectas de proyección
son todas paralelas, con la misma dirección que el punto O.
Proyección paralela
Dado un par planos π y π’ y un punto O, la imagen de cada punto P de π es el punto P’ en π’ que está en
la paralela a la dirección del punto O que pasa por P.
Algunas propiedades básicas que surgen de estas definiciones son las siguientes:
· Un punto se proyecta en un punto.
· Una recta se proyecta en una recta.
· Si un punto está en una recta, la proyección del punto estará en la proyección de la recta y si una recta
pasa por un punto la proyección de la recta pasará por la proyección del punto.
· Si tres puntos están en una misma recta, sus proyecciones estarán en una misma recta.
· Si tres rectas pasan por un mismo punto, sus proyecciones pasarán por un mismo punto.
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Apliquemos estos dos tipos de proyecciones a una figura, por ejemplo, un triángulo:
Sea un triángulo ABC situado en un plano ,
otro plano , y un punto O arbitrario del
espacio, que no pertenece a ninguno de los
planos  y . El punto O, conjuntamente
con cada punto del triángulo ABC
determina rectas que intersecan al plano .
Por ejemplo, si consideramos el vértice A, la
recta que lo une con el punto O corta al
plano  en un punto que denotaremos con
A’ y llamaremos proyección del punto A
(sobre el plano  desde el centro O). Las
proyecciones de todos los puntos de la
figura original sobre el plano  forman una
figura que se llama proyección de la figura
original. En este caso, el triángulo A’B’C’ es
la proyección del triángulo ABC sobre el plano  desde el punto O.
De la misma manera, si consideramos los dos planos  y , el triángulo ABC en el plano , y un punto O
impropio, O, la proyección paralela de un punto A sobre el plano  será el punto A’ que resulte de la
intersección entre el plano  y la recta paralela a la dirección del punto O que pasa por A. Así, el triángulo
A’B’C’ es la proyección paralela del triángulo ABC sobre el plano  desde el punto O.
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Principio de dualidad
Uno de los aspectos más interesantes de la geometría proyectiva es el principio de dualidad. El cual afirma
que los teoremas en la geometría proyectiva vienen a pares duales.
Es decir, si un teorema es verdadero entonces su teorema dual también lo es sin necesidad de volver a
demostrarlo.
Los teoremas duales surgen de reemplazar “vértices” por “lados”, (o lo que es lo mismo “punto” por
“recta”) y viceversa. Todo teorema de la geometría proyectiva que involucra estos términos puede
dualizarse, y obtenemos así un nuevo teorema.
Por ejemplo, en la geometría euclídea sabemos que dos puntos determinan una recta. Pero no siempre
dos rectas determinan un punto (no siempre son concurrentes). En cambio, en el plano proyectivo son
enunciados duales válidos:
Dos puntos determinan una recta. Dos rectas determinan un punto.
Este hecho fue descubierto por Jean-Victor Poncelet, un militar francés, que escribió un tratado de
geometría proyectiva. Aunque en ese momento lo asociaba solamente al trabajo con cónicas.
El Principio de Dualidad general se debe a otro francés, Joseph-Diez Gergonne, según el cual, a partir de
un teorema (proyectivo) dado se obtiene un nuevo teorema, llamado dual o correlativo, sin más que
intercambiar las palabras “punto” y “recta”.
De la misma manera. Este intercambio de términos vale para definiciones de objetos geométricos, como
lo veremos a continuación para las figuras en un plano proyectivo.
Figuras en la Geometría Proyectiva
n-vértices y n-láteros
Se denomina n-vértice completo a la figura formada por n puntos (vértices), tres a tres no alineados, y las
𝑛(𝑛−1)
2
rectas (lados) que ellos determinan dos a dos. (Cada uno de los n vértices forma un lado con los
(n – 1) vértices restantes, pero como es lo mismo, por ejemplo el lado AB que el BA, la fórmula se divide
por dos).
Ejemplo: Cuadrivértice Completo
Cuatro puntos A, B, C, D tales que

cada tres no están alineados,
forman un cuadrivértice
completo. Las seis rectas que los
unen dos a dos son sus seis lados:
AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Los lados opuestos son aquellos que no tienen vértices en común. Dos lados opuestos determinan puntos
diagonales. El cuadrivértice ABCD tiene tres puntos diagonales M, N, P, determinados de la siguiente
manera: AB y CD determinan N, AD y BC determinan M, AC y BD determinan P.
Simbólicamente se indica: AB.CD  N, AD.BC  M, AC.BD  P. (El punto indica la conjunción “y”)
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Si el cuadrivértice tiene dos pares de lados paralelos, dos de sus puntos diagonales serán impropios.
El número de puntos diagonales de un n-vértice completo es
En efecto: Como un lado tiene dos vértices, habrá tantos lados opuestos a él como lados no pasan por
esos dos vértices, pero, esos dos lados integran un polivértice de (n – 2) lados, los cuales determinan
lados que, por lo dicho, son lados opuestos al considerado.
Aplicando tal razonamiento a los lados del n-vértice dado, habrá en total
lados opuestos. Considerando que cada punto diagonal queda definido por dos lados opuestos, debemos
dividir tal fórmula por dos. Quedando así que el número total de puntos diagonales es la enunciada
anteriormente.
Si fuera un 5-vértice (penta-vértice), tendríamos lados y
puntos diagonales.
El n-látero es la figura dual del n-vértice, es decir:

Se denomina n-látero completo a la figura formada por n rectas (lados), tres a tres no concurrentes (no se
𝑛(𝑛−1)
cortan en un mismo punto), y los 2
puntos (vértices) que ellas determinan dos a dos.
Aplicando el principio de dualidad, intercambiando vértices por lados, tenemos:
Los vértices opuestos son aquellos que no pertenecen a un mismo lado (no tienen lados en común). Dos
vértices opuestos determinan rectas diagonales.
La fórmula para calcular el número de rectas diagonales de un n-látero completo es la misma que para
𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3)
calcular los puntos diagonales del n-vértice 8
.
Pág. 5/5
Ej:
El cuadrilátero es la figura dual del cuadrivértice, es decir, la figura formada por cuatro rectas tres a tres
no concurrentes, a, b, c y d. Las cuatro rectas son los lados del cuadrilátero, los seis puntos de intersección
de las rectas dos a dos son los seis vértices.
Las tres rectas que unen dos vértices opuestos son las diagonales: e, f y g.

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Figuras en la Geometría Proyectiva

Ejemplo: Cuadrivértice Completo

Cuatro puntos A, B, C, D tales que

El número de puntos diagonales de un n-vértice completo es

Si fuera un 5-vértice (penta-vértice), tendríamos lados y

El n-látero es la figura dual del n-vértice, es decir:

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