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    11 Teorema de Ángulo Exterior

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    11 TEOREMA DE ÁNGULO EXTERIOR

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    PARALELISMO

    𝑷𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒊𝒔𝒎𝒐 𝑯𝟑. 𝟏
    𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝛼, 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴
    𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎, 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑒𝑛
    𝑑𝑖𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑢𝑛𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝐴, 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒
    𝑟 𝑦 𝑠 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑛𝑔ú𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛.
    Numeración
    Sea 𝑋 ∈ 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷
    𝑋 ∈ 𝐴𝐶

    𝑋 ∈ 𝐵𝐷
    𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑋 ∈ 𝐶 𝐴𝐵
    Suposición

    Sea 𝑌 ∈ 𝐵𝐷, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝑋 ≅ 𝐵𝑌 Axioma de congruencia


    𝑌∈ 𝐷 𝐴𝐵

    𝑋 ∗ 𝐵∗ 𝑌
    ∢𝑋𝐵𝐴, ∢𝑌𝐵𝐴 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 Definición de suplementarios.
    𝐴𝑋 ≅ 𝐵𝑌 Construcción (6)
    ∢𝑋𝐴𝐵 ≅ ∢𝑌𝐵𝐴 𝑋 ∈ 𝐴𝐶, 𝑌 ∈ 𝐵𝐷
    𝐴𝐵 ≅ 𝐵𝐴 Reflexividad de ≅
    𝐴, 𝐵, 𝑋 ↔ 𝐵, 𝐴, 𝑌 Biyección
    ∆𝐴𝐵𝑋 ≅ ∆𝐵𝐴𝑌 Criterio 𝐿𝐴𝐿
    ∢𝑌𝐴𝐵 ≅ ∢𝑋𝐵𝐴 Definición de congruencia.
    ∢𝑌𝐴𝐵, ∢𝑋𝐴𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 Teorema (9, 11, 14)
    𝑋 ∗ 𝐴∗ 𝑌 Definición suplementarios (16)
    𝐴, 𝑋, 𝑌, 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 Orden (8, 17)
    𝐴, 𝑋, 𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 Definición de segmento (2)
    𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 18, 19
    𝐶 ∈ 𝐴𝐵
    Corolario.
    Dos rectas diferentes perpendiculares a una tercera son paralelas entre ellas.
    Demostración.
    𝑆𝑒𝑎𝑛 𝒓 𝑦 𝒔 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝒕.
    𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 𝑟 ∩ 𝑡, 𝐵 = 𝑠 ∩ 𝑡

    Numeración

    1. Sea 𝐶 ∈ 𝑟, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐶 ≠ 𝐴.


    1. Sea D∈ 𝑠, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐷 ≠ 𝐵 𝑦 𝐷 ∉ 𝐶 𝐴𝐵 .
    1. ∢𝐵𝐴𝐶, ∢𝐷𝐵𝐴 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠

    1. ∢𝐵𝐴𝐶 ≅ ∢𝐷𝐵𝐴

    1. 𝑟 𝑦 𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑎𝑠.
    Definición.

    Sea 𝒓 una recta y 𝑃 ∉ 𝑟. Definimos la proyección ortogonal de 𝑃 en 𝑟 como el


    punto 𝑄 de intersección de 𝑟 con la recta perpendicular a 𝑟 que pasa por 𝑃.

    Notación.

    𝑄 = 𝑝𝑟(𝑃, 𝑟)
    Definición. Los ángulos internos de un triángulo son los tres ángulos que
    determinan los vértices con los lados. Un ángulo exterior de un triángulo
    es cualquier ángulo suplementario a uno de sus lados internos.

    Teorema.

    Dado un triángulo ∆𝐴𝐵𝐶 y un punto 𝐷 tal que 𝐵∗ 𝐶 ∗ 𝐷, entonces el ángulo exterior


    ∢𝐴𝐶𝐷 es mayor que los ángulos interiores opuestos ∢𝐴 y ∢𝐵
    𝑩
    𝑩
    𝑬

    𝑨 𝑪 𝑫 𝑪 𝑫
    𝑨

    𝑩 𝑭
    𝑩 𝑭

    𝑬
    𝑬

    𝑪 𝑫 𝑪 𝑫
    𝑨 𝑨
    𝑩 𝑭

    𝑪 𝑫
    𝑨

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