Apuntes de Matemática

Conjuntos Numéricos
1- Sistema de Numeración Decimal o indo-arábigo
Los símbolos que usamos para los números se originaron en la India, aproximadamente en el
siglo I d.C. con la escritura Brahmi. Se usaban nueve símbolos para los números uno, dos, tres, cuatro,
cinco, seis, siete, ocho y nueve; y no tenían un símbolo para el cero.

Con el paso del tiempo esos símbolos

fueron cambiando hasta obtener los actuales 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; y se agregó el 0 para
indicar el número cero.

Se le atribuye a la cultura árabe el

dominio aritmético de estos símbolos para los
números. El matemático árabe Al-Jwarizmi (c.
780-c. 835) es el autor de "Acerca de los
cálculos con los números de la India" cerca de
825.

Cerca del año 1.200 los números indo-

arábigos se hacen conocidos en Europa a
través de la obra “Liber Abaci” del
matemático italiano Fibonacci (c. 1.170 – c.
1.240). Debido al sencillo y rápido manejo
aritmético de estos logran desplazar al
anticuado sistema de numeración romano.

Hoy en día, todos los países lo tienen

como el sistema de numeración oficial,
aunque también se usan otros, como el
romano, el sexagesimal, el binario, etc., que
también se estudian en la escuela. Por lo que
es necesario estudiarlos en este curso.

Empecemos con las principales

características del sistema de numeración
indo arábigo o sistema de numeración
decimal. Una curiosa idea sobre el origen de los símbolos para los
números es la que indica la cantidad de ángulos en cada
símbolo.

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2- Sistema de Numeración Decimal

Nuestro sistema de numeración tiene dos características esenciales: es decimal y es posicional.
• Es decimal porque:
➢ Utilizamos diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Agrupamos de 10 en 10 en órdenes cada vez mayores:
❖ 10 U = 1 D
❖ 10 D = 1 C
❖ 10 C = 1 UM
❖ 10 UM = 1DM
U 1 unidad 1U
D 1 decena 1D=10U
C 1 centena 1C=10D=100U
1 unidad de
UM mil
1UM=10C=100D=1.000U

1 decena de
DM mil
1DM=10UM=100C=1.000D=10.000U

1 centena de
CM mil
1CM=10DM=100UM=1.000C=10.000D=100.000U

Para escribir y leer un número lo separamos por grupos de tres cifras, y lo señalamos con un punto.
Unidades de Unidades Unidades de Unidades Unidades de mil U
nidades
mil billones simples de mil millones simples de
Simple
billón millón
C D U C D U C D U C D U CM DM UM C D U

Ejemplo: Leer el número: 43.526.625.213.032.004.080.068

1. Formamos grupos de tres cifras:
Unidades Unidades Unidades Unidades Unidades
Unidades de simples de mil simples de mil simples Unidades
Unidades de mil
mil trillones de trillón billones de billón millones millón Simple

C D U C D U C D U C D U C D U C D U CM DM UM C D U
4 3 5 2 6 6 2 5 2 1 3 0 3 2 0 0 4 0 8 0 0 6 8
2. Leemos los grupos empezando por el primero de la izquierda: cuarenta y tres mil quinientos
veintiséis trillones, seiscientos veinticinco mil doscientos trece billones, treinta y dos mil
cuatro millones, ochenta mil sesenta y ocho”.
En los puntos impares (primer, tercer, quinto, etc) de derecha a izquierda se dice mil.
En los puntos pares (segundo, cuarto, sexto, etc) de derecha a izquierda se dice millón, billón,
trillón, etc.
Téngase presente que debe suprimirse el mil si las 3 cifras que le preceden son ceros.
Igualmente se suprimen las palabras millón, billón, trillón, etc, si son ceros las 6 cifras
anteriores a sus números indicadores.

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Como comparar dos números

1. Contar el número de cifras de los números y es mayor el que más cifras tenga.
2. Si tienen el mismo número de cifras será mayor el que tenga mayor la primera cifra
comenzando por la izquierda. Si las primeras cifras son iguales se analizan las siguientes y así
sucesivamente.
Ejemplo:

a) 22.384.584 > 6.360.624 porque el primero tiene más cifras que el segundo.

b) 34.345 < 2.456.678 porque el segundo tiene más cifras que el primero

c) 3.284.321 > 2.181.382 Porque 3 > 2.

d) 3.181.382 < 3.284.321 pues 3 = 3 y 1 < 2

e) 4.321.108 > 4.321.105 pues 8 > 5 y las cifras anteriores son iguales.

• Es posicional porque:
o El valor de cada cifra en un número depende del lugar que ocupa.
En el número 320.241, la cifra 2 ocupa el orden de las centenas y el de las decenas de mil.

CM DM UM C D U
3 2 0 2 4 1
Valor de la cifra

2 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠 = 20 𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 = 𝟐𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

2 𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙 = 20 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙 = 200 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠

= 2.000 𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 = 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

Resumiendo, el sistema de numeración decimal:
❖ Usa diez símbolos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8 y 9.
❖ Se hacen agrupación de diez en diez
10 unidades =1 decena
10 decenas = 1 centena
……………………
❖ Cada cifra tiene un valor, según la posición que ocupa en el número.
Por ejemplo, la cifra 3, en el número 3.383, no tiene el mismo valor

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Aproximación o redondeo de números

En algunas situaciones, no se necesita recordar el

número exacto, si no una aproximación del mismo.
Por ejemplo, si viajaste de la ciudad de Salta a
Cafayate, Google maps te mostrara que recorriste
196,5 km que podrías redondear a 195 km, 200km,
190 km, etc., cifras que son más fáciles de recordar.
Pero para que un número no tenga distintas
aproximaciones según la persona que lo hace se
deben usar las siguientes reglas

1. Determinamos el orden al que queremos redondear (a las decenas, centenas, millares, etc)
2. Nos fijamos en la cifra que está a la derecha de esa posición (el orden al que queremos redondear)
a) Si la cifra es un cinco o mayor que cinco, redondeamos añadiendo una unidad más.
b) Si la cifra es menor que cinco, redondeamos a la cifra que ya tenemos en ese orden sin
añadir nada más
c) Las cifras de los órdenes menores se cambian a cero.

Por ejemplo, vamos a redondear el número 71.457 a las decenas, centenas, unidad de mil y decenas
de mil.

Redondeo a las decenas Redondeo a las centenas

𝟕𝟏. 𝟒𝟓𝟕 como la cifra de la derecha es 𝟕 > 𝟓 𝟕𝟏. 𝟒𝟓𝟕 como la cifra de la derecha es 𝟓 = 𝟓
𝟕𝟏. 𝟒𝟔𝟎 redondeo añadiendo una decena más 𝟕𝟏. 𝟓𝟎𝟎 redondeo añadiendo una centena
más
Redondeo a la unidad de mil Redondeo a la decena de mil
𝟕𝟏. 𝟒𝟓𝟕 como la cifra de la derecha es 𝟒 < 𝟓 𝟕𝟏. 𝟒𝟓𝟕 como la cifra de la derecha es 𝟏 < 𝟓
𝟕𝟏. 𝟎𝟎𝟎 redondeo si añadir una unidad de 𝟕𝟎. 𝟎𝟎𝟎 redondeo sin añadir una decena de
mil mil.

Para indicar una aproximación del número se usa el símbolo ≈

71.457 ≈ 71.460 71.457

≈ 71.500 71.457 ≈
71.000
71.457 ≈ 70.000

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3- Numeración Romana
Los romanos usaban siete letras mayúsculas para escribir los números siguiendo ciertas reglas. La
numeración arábiga (la que usamos) y el sistema decimal dejaron en desuso este sistema de
numeración.
Pero todavía se usa, seguro que más de lo que te puedes imaginar, por ejemplo:
• En los nombres de los reyes, papas y otros personajes históricos: Felipe IV, Francisco I
• En los Festivales, congresos, ferias, olimpiadas: XV Festival de Música, IX Congreso
Internacional
• En la numeración de volúmenes, capítulos de libros y en las series y películas: Tomo II,
Capítulo VII, VI Temporada, Tiburón IV, etc.
• En la numeración de los siglos: siglo XX, siglo XXI
• En los monumentos para datar el año de construcción: año MDCCXCIV.

Reglas del Sistema de numeración romana

La equivalencia entre los siete símbolos y el sistema decimal es el siguiente

𝑰 𝑽 𝑿 𝑳 𝑪 𝑫 𝑴
𝟏 𝟓 𝟏𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟏. 𝟎𝟎𝟎

Las reglas para combinar los símbolos romanos son

Regla de la repetición Regla de la suma
Las letras 𝐼, 𝑋, 𝐶 y 𝑀 se pueden repetirse hasta tres Una letra escrita a la derecha de otra le suma su
veces. Las leras 𝑉, 𝐿 y 𝐷 no se pueden repetir. valor.
𝐼𝐼𝐼 ⟹ 1 + 1 + 1 = 3 𝑋𝐼 ⟹ 10 + 1 = 11
𝐶𝐶𝐶 ⟹ 100 + 100 + 100 = 300 𝐿𝑋 ⟹ 50 + 10 = 60
𝑀𝐷𝐶𝐶𝐿𝐼𝐼𝐼 ⟹ 1.000 + 500 + 200 + 50 + 3 = 1.753 𝐶𝐿𝐼 ⟹ 100 + 50 + 1 = 151
𝑀𝐶𝐶𝐿𝑋𝑋𝑉𝐼𝐼 ⟹ 1.000 + 200 + 50 + 20 + 5 +
2 = 1.277
Regla de la resta Regla de la multiplicación
Las letras 𝐼, 𝑋 y 𝐶 le restan su valor a la letra que Una raya encima de una o más letras
tienen a su derecha. multiplica su valor por mil.
𝐼𝑉 ⟹ 5 − 1 = 4 𝐼𝑋 ⟹ 10 − 1 = 9 𝑉̅ ⟹ 5 × 1.000 = 5.000
𝑋𝐿 ⟹ 50 − 10 = 40 𝑋𝐶 ⟹ 100 − 10 = 90 ̅̅̅ 𝐶𝐶 ⟹ 11.000 + 200 = 11.200
𝑋𝐼
𝐶𝐷 ⟹ 500 − 100 = 400 𝐶𝑀 ⟹ 1.000 − 100 = ̅̅̅̅̅ 𝐶𝐶𝐶𝑋𝐿𝐼𝐼 ⟹ 8.000 + 300 + 40 + 2 = 8.342
𝑉𝐼𝐼𝐼
900

Ejercicios
 Escribe el número romano o decimal según corresponda:
o 222 ⟶ ____________
o 𝐷𝑋𝑋𝑋𝐼𝑋 ⟶ ____________
o 2019 ⟶ ____________
o 𝑋𝑋𝑋𝐼𝑉 ⟶ ____________
o Piensa y responde: el sistema de numeración romano es
un sistema decimal y posicional.

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4- Numeración China
En la antigua China se usaron varios sistemas de numeración. Uno de ellos tuvo mucho éxito porque
era fácil de usar. Hoy días lo conocemos como el SISTEMA DE VARILLAS CHINO, no solo lo
usaron los chinos, sino también los japoneses, coreanos, vietnamitas…, aunque en aquellos tiempos,
estos países no eran iguales a ahora. También es muy importante que sepas, que los sistemas de
varillas se inventaron hace 3000 años o más, y que tienen muchas variantes. Nosotros vamos a utilizar
una forma muy parecida a nuestro sistema, en la que se crean los símbolos para las cifras del 1 al 9
(el 0 se realiza con un hueco en blanco).

Número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cifras que
ocupan un
lugar impar
Cifras que
ocupan un
lugar par

Características Principales del Sistema de numeración china

➢ Cada varilla representa una unidad. Al llegar a 5, se representa con una varilla perpendicular
a las anteriores.
➢ En un principio, el 0 (cero) se representaba con un espacio vacío. Luego se representó con
una circunferencia.
➢ Se utilizan Varillas Verticales para las Cifras que ocupan un lugar Impar: unidades,
centenas, decenas de millar…
➢ Se utilizan Varillas Horizontales para las Cifras que ocupan un lugar Par: decenas,
unidades de millar, centenas de millar…
➢ Para señalar que un número es positivo se lo escribe con color negro y para los números
negativos, con color rojo.
➢ Este sistema funciona prácticamente igual que nuestro sistema de numeración decimal, la
diferencia principal es que cambian los símbolos.
➢ Con él se pueden realizar cualquier tipo de cálculo.

Veamos alguno de ejemplos

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5- Numeración Egipcia
El sistema de numeración egipcio jeroglífico es muy sencillo. A partir de unos símbolos que tienen
un valor asignado, se los suma para construir cualquier número. Se puede observar que cada
símbolo tiene un valor 10 veces mayor que el anterior. El sistema de numeración egipcio es aditivo
y no posicional, es decir que se suman los valores que representa cada símbolo y no importa la
posición que ocupa. Por ejemplo, al número 1.021 se lo puede representar del siguiente modo

Descripción Símbolo Valor 1.021=

Trazo 1

1.021=
Grillete 10

Rollo de
100
Cuerda

Flor de loto 1.000

1.021=
Dedo 10.000

Renacuajo 100.000

El dios Heh, 1.000.000

Escribir un nuero indo arábigo en número egipcio es fácil: por ejemple al número 365 hay que
descomponerlos del siguiente modo:
365 = 300 + 60 + 5
Escribo tres veces el 100, seis veces el 10 y cinco veces el 1

365=

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6- Numeración Maya
El sistema de numeración maya es bien distinto de los
sistemas que estudiamos hasta ahora, la primera diferencia Descripción Símbolo Valor
es que los Mayas cotaban hasta veinte, es decir que su base Punto 1
es vigesimal (los sistemas indo arábigo, chino y egipcio son
de base 10, son sistemas decimales) y posicional. Raya 5
Otra diferencia es que para los números 0, 1, 2, 3, …, Puño 0
17,18 y 19 usan solo tres símbolos, el punto, una raya
horizontal y un puño.

Reglas para escribir los números mayas

1- Un punto es 1 unidad. Cuando llegas a 5 puntos, se convierten en una raya.
2- Solo se pueden escribir 3 rayas
3- Como es un sistema de base 20, cuando se llega a 20 hay que subir un orden, lo mismo pasa con
los números indo arábigo, cuando llegamos a 10, 100, etc subimos un orden

Para escribir del 0 al 19 no hay mayores problemas, pero ¿cómo

escribimos el 20?
Los números mayas se escriben como en el sistema indo-aránbigo,
teniendo en cuenta que su base es 20. Por ejemplo, para el número
347 en sistema decimal sabemos que esto significa 3 centenas 4
decenas y 7 unidades.
347 = 3 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠 + 4 𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 + 7 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
347 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1
347 = 3 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100

¿Pero cómo lo hacemos si la base es 20?

347 = 17 × 201 + 7 × 200

Los números mayas se escriben en vertical del siguiente modo

Este es el 347 en numeración maya

En el sistema de numeración maya los números se escriben en forma vertical. En el primer nivel se
escriben los números del 0 al 19de base 20 y se escriben de manera vertical, podemos decir que, en
el primer nivel se escriben los números de 0 al 19
En el segundo nivel de 20 al 399,
En tercer nivel de 400 al 7.999 y así sucesivamente.
Esto se puede observar en la siguiente cuadrícula.
× 204 = 160.000
× 203 = 8.000
× 202 = 400
× 201 = 20
× 200 = 1

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Ejemplo, para pasar de un número a
decimal

Usamos la tabla anterior

× 200 2 × 8.000 = 16.000 × 202 0 × 400 = 0

× 201 6 × 20 = 120

× 200 15 × 1 = 15

16.135

Pasar el número 8.745 a maya

8.745 ÷ 8.000 = 1
745 ÷ 400 = 1 Entonces el número maya es
345 ÷ 20 = 17

5÷1=5

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