ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD DOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

Presentado a:
JUAN DAVID FIGUEROA

Tutor

Entregado por:

LUIS EDUARDO DIAZ CARVAJAL

Código: 1096213813
Grupo:100412_430

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
NOVIEMBRE
2023
 INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales de orden superior pueden ser un poco complejas, pero en realidad
son herramientas poderosas para entender situaciones del mundo real. Imagina que estás en un
auto y pisas el freno: la forma en que tu velocidad disminuye con el tiempo se puede describir
mediante una ecuación diferencial de segundo orden. Esto es solo un ejemplo de muchas
situaciones que se pueden involucrar con este tipo de ecuaciones.

Entender estas ecuaciones puede ayudarnos a tomar decisiones más acertadas en la vida común y
así evitar cualquier daño o catástrofe. En resumen, las ecuaciones diferenciales de orden superior
son herramientas que nos ayudan a modelar el mundo desde una vista matemática.
 OBJETIVOS

• Estudiar y comprender las diferentes técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales de

segundo orden y sus diferentes pasos para llegar a la solución general.
• Comprender los resultados obtenidos a partir de situaciones como lo son el péndulo
simple y los circuitos eléctricos y así entender la influencia de dichas ecuaciones en su
campo de acción.
 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD LETRA A.

EJERCICIO 1. ED HOMOGÉNEAS
ENUNCIADO EJERCICIO: Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior
homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe
presentar cada paso efectuado para el desarrollo de este).
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 3, 𝑦 ′ (0) = −2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZÓN O EXPLICACIÓN

MATEMÁTICA

Identificamos la ecuación y es de tipo homogénea

𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 3, 𝑦 ′ (0) = −2

𝑚2 − 2𝑚 + 4 = 0 Buscamos las raíces mediante la formula

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Con la fórmula de cuadrática

𝑚=
2𝑎
−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(4) 2 ± √4 − 16
𝑚= =
2(1) 2
2 ± √−12
=
2
2 ± 2√3𝑖
𝑚= = 1 ± √3𝑖
2
𝑚1 = 1 + √3𝑖 𝑚2 = 1 − √3𝑖

𝑚 =∝ ±𝛽𝑖 Raíces imaginarias de la forma

𝑦 = 𝐶1 𝑒 ∝𝑥 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 𝑒 ∝𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑥) Solución de la forma

𝑦 = 𝐶1 𝑒 1𝑥 cos(√3𝑥) + 𝐶2 𝑒 1𝑥 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥)
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 cos(√3𝑥) + 𝐶2 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥)
3 = 𝐶1 𝑒 0 cos(√3 − 0) + 𝐶2 𝑒 0 𝑠𝑒𝑛 (√3 − 0) Aplicando las condiciones
3 = 𝐶1 (1)(1) + 𝐶2 (1)(0) Con 𝑦(0) = 3
3 = 𝐶1 + 0
3 = 𝐶1
𝑦 ′ = 𝐶1 𝑒 𝑥 cos(√3𝑥) − √3𝐶1 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥) Con 𝑦 ′ (0) = −2 Derivando
+ 𝐶2 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥)
+ √3𝐶2 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 (√3𝑥)
−2 = 𝐶1 𝑒 0 cos(√3 ∙ 0) − √3𝐶1 𝑒 0 𝑠𝑒𝑛 (√3 ∙ 0)
+ 𝐶2 𝑒 0 𝑠𝑒𝑛 (√3 ∙ 0)
+ √3𝐶2 𝑒 0 𝑐𝑜𝑠 (√3 ∙ 0)
−2 = 𝐶1 (1)(1) − √3𝐶1 (1)(0) + 𝐶2 (1)(0)
+ √3𝐶2 (1)(1)
−2 = 𝐶1 + √3𝐶2
−2 − 𝐶1 = √3𝐶2
−2 − 3
= 𝐶2
√3
−5
= 𝐶2
√3

5 Encontradas las constantes se procede a dar la

𝑦 = 3𝑒 𝑥 cos(√3𝑥) − 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥) solución particular de la ecuación homogénea
√3

EJERCICIO 2. ED NO HOMOGÉNEAS

ENUNCIADO EJERCICIO: Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de orden superior no

homogéneas, resolver solamente por el método de coeficientes indeterminados. (Cada estudiante debe
desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el
desarrollo de este).
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 𝑦ℎ = 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎. Buscamos la

solución homogénea
𝑚2 − 2𝑚 + 4 = 0 Raíces por medio de la ecuación
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑚=
2𝑎
−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(4)
=
2(1)
2 ± √4 − 16 2 ± √−12
𝑚= =
2 2
2 ± 2√3𝑖 2 2√3
𝑚= = ± 𝑖 = 1 ± √3𝑖
2 2 2
𝑚 =∝ ±𝛽𝑖 Raíces tipo imaginarias

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 ∝𝑥 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 𝑒 ∝𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑥) Solución homogénea

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 1𝑥 cos(√3𝑥) + 𝐶2 𝑒 1𝑥 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥)
𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝑥 cos(√3𝑥) + 𝐶2 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥)

𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) Solución particular

𝑓(𝑥) = 2 cos(𝑥) Por coeficientes Indeterminados
𝑦𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝐵 cos(𝑥) Forma de 𝑦𝑝:

𝑦𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝐵 cos(𝑥) No hay multiplicidad ya que no se repite términos

con 𝑦ℎ
𝑦 ′ 𝑝 = 𝐴 cos(𝑥) − 𝐵 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) Derivando
𝑦 ′′ 𝑝 = −𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 𝐵 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
[−𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝐵 cos(𝑥)] − 2[𝐴 cos(𝑥) − 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] Reemplazando las derivadas en la ecuación original
+ 4[𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐵 cos(𝑥)] = 2 cos(𝑥)

−𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝐵 cos(𝑥) − 2𝐴 cos(𝑥) + 2𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

+ 4𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4𝐵 cos(𝑥) = 2 cos(𝑥)

3𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 3𝐵 cos(𝑥) − 2𝐴 cos(𝑥) + 2𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= 2 cos(𝑥)

De 𝑠𝑒𝑛(𝑥): Buscamos las constantes A y B

3𝐴 + 2𝐵 = 0
2𝐵 = −3𝐴
−3
𝐵= 𝐴
2

De cos(𝑥):
3𝐵 − 2𝐴 = 2
−3
3 ( 𝐴) − 2𝐴 = 2
2
−9
𝐴 − 2𝐴 = 2
2
−13
𝐴=2
2
−13
𝐴=2÷
2
−4
𝐴=
13

−3 Podemos encontrar B a partir de A

𝐵= 𝐴
2
−3 −4
𝐵= ( )
2 13
 6
𝐵=
13
𝑦𝑝 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐵 cos(𝑥) Conociendo A y B armamos la solución particular
−4 6
𝑦𝑝 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)
13 13

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 Entonces la solución general es la suma de la

𝑥 𝑥
4 homogénea y la particular:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 cos(√3𝑥) + 𝐶2 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (√3𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
13
6
+ cos(𝑥)
13

EJERCICIO 3. ED CAUCHY - EULER HOMOGÉNEA

ENUNCIADO EJERCICIO: Solucionar las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler (Cada estudiante

debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado
para el desarrollo de este).
𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ − 9𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

𝑦 = 𝑥𝑚 Solución de Cauchy de la forma

𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 Derivando
𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2
𝑦 ′′ = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2

𝑥 2 [(𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 ] + 𝑥[𝑚𝑥 𝑚−1 ] − 9[𝑥 𝑚 ] = 0 Sustituyendo las derivadas a la ecuación original
(𝑚2 − 𝑚)𝑥 2 𝑥 𝑚−2 + 𝑚𝑥1 𝑥 𝑚−1 − 9𝑥 𝑚 = 0
(𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚+2−2 + 𝑚𝑥 𝑚−1+1 − 9𝑥 𝑚 = 0
(𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚 + 𝑚𝑥 𝑚 − 9𝑥 𝑚 = 0

(𝑚2 − 𝑚 + 𝑚 − 9)𝑥 𝑚 = 0 Sacando factor común y despejamos las raíces

(𝑚2 − 9) = 0/𝑥 𝑚
𝑚2 − 9 = 0
𝑚2 = 9
𝑚 = ±√9 = ±3
𝑚1 = 3 𝑚2 = −3 Raíces reales distintas

𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚2 Solución de la forma
𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥 −3
1
Con 𝑥 −𝑎 = 𝑥 𝑎
 1 𝐶2
𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 3
→ 𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 3
𝑥 𝑥

EJERCICIO 4. ED - EULER NO HOMOGÉNEA

ENUNCIADO EJERCICIO: Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de Cauchy – Euler no

homogéneas, resolver solamente por el método de variación de parámetros. (Cada estudiante debe
desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el
desarrollo de este).
𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ − 9𝑦 = 𝑥 2 ln(2𝑥)

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

𝑦ℎ = 𝑥 𝑚 Empezamos por la homogénea asociada

𝑦ℎ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 Derivando

𝑦ℎ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2
𝑦ℎ′′ = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2

𝑥 2 [(𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 ] + 𝑥[𝑚𝑥 𝑚−1 ] − 9[𝑥 𝑚 ] = 0 Sustituyendo las derivadas a la ecuación original
(𝑚2 − 𝑚)𝑥 2 𝑥 𝑚−2 + 𝑚𝑥1 𝑥 𝑚−1 − 9𝑥 𝑚 = 0
(𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚+2−2 + 𝑚𝑥 𝑚−1+1 − 9𝑥 𝑚 = 0
(𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚 + 𝑚𝑥 𝑚 − 9𝑥 𝑚 = 0

(𝑚2 − 𝑚 + 𝑚 − 9)𝑥 𝑚 = 0 Sacamos factor común y despejamos las raíces

(𝑚2 − 9) = 0/𝑥 𝑚
𝑚2 − 9 = 0
𝑚2 = 9
𝑚 = ±√9 = ±3
𝑚1 = 3 𝑚2 = −3 Raíces distintas

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚2 Solución de la forma yh
𝑦ℎ = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥 −3
1
Con 𝑥 −𝑎 = 𝑥 𝑎
1 𝐶2
𝑦ℎ = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 3 → 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑥 3 + 3
𝑥 𝑥

1 9 Solución particular: 𝑦𝑝
𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2 𝑦 = ln(2𝑥) → 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥)
𝑥 𝑥 Dividimos la ecuación original en 𝑥 2 quedando:
𝑦1 𝑦2 3
𝑥 −3 |
𝑊 = |𝑦′ 𝑦′ | = | 𝑥 2 Por variación de Parámetros:
1 2 3𝑥 −3𝑥 −4 Wroskiano
𝑊= 𝑥 3 (−3𝑥 −4 ) − (3𝑥 2 )𝑥 −3
𝑊= −3𝑥 3−4 − 3𝑥 2−3
𝑊= −3𝑥 −1 − 3𝑥 −1
𝑊= −6𝑥 −1
−6
𝑊=
𝑥

𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 Solución particular de la forma

1 Hallamos 𝑢1
−𝑦2 𝑓(𝑥) − 3 ∙ ln(2𝑥)
𝑢1 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑊 −6
𝑥
𝑥 ln(2𝑥) 1 ln(2𝑥)
=∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥
6𝑥 3 6 𝑥2

1 Por partes
𝑢 = ln(2𝑥) 𝑑𝑣 = 2
𝑥
1 1 1 𝑥 −1 −1
𝑑𝑢 = ∙ 2 = 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 2 𝑑𝑥 = =
2𝑥 𝑥 𝑥 −1 𝑥

1 −1 −1 1
𝑢1 = [ln(2𝑥) ( ) − ∫ ∙ 𝑑𝑥]
6 𝑥 𝑥 𝑥
1 − ln(2𝑥)
𝑢1 = [ + ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥]
6 𝑥
1 − ln(2𝑥) 𝑥 −1
= [ + ]
6 𝑥 −1
1 − ln(2𝑥) 1
𝑢1 = [ − ]
6 𝑥 𝑥

𝑦1 𝑓(𝑥) 𝑥 3 ln(2𝑥) Hallamos 𝑢2

𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥
𝑊 −6
𝑥
−1
= ∫ 𝑥 4 ln(2𝑥) 𝑑𝑥
6
𝑢 = ln(2𝑥) 𝑑𝑣 = 𝑥 4 Por partes
1 1 4
𝑥5
𝑑𝑢 = ∙ 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
2𝑥 𝑥 5

−1 𝑥5 𝑥5 1
𝑢2 = [ln(2𝑥) − ∫ ∙ 𝑑𝑥]
6 5 5 𝑥
−1 1 5 1
𝑢2 = [ 𝑥 ln(2𝑥) − ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥]
6 5 5
 −1 1 5 1 𝑥5
𝑢2 = [ 𝑥 ln(2𝑥) − ]
6 5 5 5
−1 1 5 𝑥5
𝑢2 = [ 𝑥 ln(2𝑥) − ]
6 5 25
𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 Encontramos 𝑦𝑝
1 − ln(2𝑥) 1 3 1 1 5 𝑥5
𝑦𝑝 = [ − ] 𝑥 − [ 𝑥 ln(2𝑥) − ]
6 𝑥 𝑥 6 5 25
1
∙ 3
𝑥
1 2 1
𝑦𝑝 = − 𝑥 ln(2𝑥) − 𝑥 2
6 6
1 2 1 2
− 𝑥 ln(2𝑥) + 𝑥
30 190
1 4
𝑦𝑝 = − 𝑥 2 ln(2𝑥) − 𝑥 2
5 25

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 Solución general de la forma homogénea mas

𝐶2 1 4 particular
𝑦 = 𝐶1 𝑥 3 + 3 − 𝑥 2 ln(2𝑥) − 𝑥 2
𝑥 5 25

EJERCICIO 5. APLICACIONES DE LAS ED DE ORDEN SUPERIOR.

PREGUNTAS ORIENTADORAS RAZÓN O EXPLICACIÓN
1. ¿Cuál es el enunciado del Péndulo simple. Teniendo en cuenta lo anterior y
problema que me corresponde considerando que la longitud del hilo 𝑙 =40 𝑐𝑚, ¿cuál es
resolver? el ángulo 𝜃 después de que han transcurrido 5 𝑠𝑒𝑔 si
𝜃(0)=π/4 y 𝜃’(0)=0?
2. ¿Cuál sería el bosquejo, diagrama Gráfico representativo del péndulo simple:
o gráfica qué explique la situación
problema planteada?

3. ¿Cuál es la ecuación diferencial 𝐹 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

 que modela la situación 𝑑2 𝑥
Como 𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑚 𝑑𝑡 2
problema?
Pero es en el ángulo
𝑑2 𝜃
𝐹 = 𝑚𝐿 = −𝑚 2
𝑑𝑡
𝑑2𝜃
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝑚𝐿 2
𝑑𝑡
2
𝑑 𝜃
𝐿 2 + 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ 𝜃
𝑑𝑡
𝑑2𝜃 𝑔
+ 𝜃=0
𝑑𝑡 2 𝐿
1𝑚
𝐿 = 40𝑐𝑚 × = 0,4𝑚 𝑔 = 9,8𝑚/𝑠 2
100𝑐𝑚
𝑔 9,8 49
= =
𝐿 0,4 2
La ecuación diferencial queda:
𝑑 2 𝜃 49
+ 𝜃=0
𝑑𝑡 2 2

4. ¿Cuál es el método utilizado para Podemos solucionar esta ecuación diferencial por medio
encontrar la solución general 𝑦(𝑡) de una ecuación diferencial homogénea ya que esta
de la ecuación diferencial? igualada a cero
(Detalle paso a paso de este
método).
5. De acuerdo con la pregunta del Solución:
problema planteado, ¿cuáles son 𝑑 2 𝜃 49
+ 𝜃=0
los procedimientos algebraicos 𝑑𝑡 2 2
necesarios para llegar a la Raíces
solución particular 𝑦0 (𝑡0 )? 49
𝑚2 + =0
2
49
𝑚2 = −
2
−49 7√2
𝑚 = ±√ = 𝑖 𝑅𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠
2 2
𝑚 = ±𝛽

Raices imaginarias
𝜃(𝑡) = 𝐶1 cos(𝛽𝑡) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑡)
7√2 7√2
𝜃(𝑡) = 𝐶1 cos ( 𝑡) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡)
2 2
Aplicamos las condiciones para hallar 𝐶1 y 𝐶2
 𝜋
Con 𝜃(0) = 4
𝜋
= 𝐶1 cos(0) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(0)
4
𝜋
= 𝐶1 (1) + 𝐶2 (0)
4
𝜋
= 𝐶1
4
Derivando
−7√2 7√2 7√2 7√2
𝜃 ′ (𝑡) = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) + 𝐶2 cos ( 𝑡)
2 2 2 2
Con 𝜃 ′ (0) = 0
−7√2 7√2
0= 𝐶1 𝑠𝑒𝑛(0) + 𝐶 cos(0)
2 2 2
7√2
0= 0+ 𝐶
2 2
0 ∙ 2 = 7√2𝐶2
0
= 𝐶2
7√2
0 = 𝐶2
Por lo tanto, la solución particular queda:
𝜋 7√2
𝜃(𝑡) = cos ( 𝑡)
4 2

6. ¿Por qué esta solución particular Si 𝑡 = 5 𝜃 =? Solución a la pregunta

encontrada en el anterior ítem es 𝜋 7√2
la solución de este problema? 𝜃 = 5 𝜃(5) = cos ( ∙ 5)
4 2
𝜋 35√2
𝜃(5) = cos ( )
4 2
𝜃(5) ≈ 0,7282°
Se considera una solución particular ya que el péndulo
tiene ciertas características específicas , lo cual hacen
que la ecuación diferencial sea única, ya que también
esto se ve afectado por las condiciones de posición y
velocidad del problema
 EJERCICIO 6. VIDEO DE SUSTENTACIÓN

Nombre Estudiante Ejercicios Link video explicativo

sustentados
LUIS EDUARDO DIAZ C 5A. https://youtu.be/cB_Ph1ajzf0
 CONCLUSIONES
En conclusión, los métodos de ecuaciones diferenciales de orden 2, como Cauchy-Euler y
coeficientes indeterminados, son herramientas esenciales en matemáticas aplicadas. Estos
métodos permiten resolver ecuaciones diferenciales complejas que modelan situaciones del
mundo real en ingeniería, física y matemáticas.
Estos métodos proporcionan a los estudiantes de ciencia e ingeniería las herramientas necesarias
para resolver problemas complejos y avanzar en la ciencia y la tecnología, lo que los convierte
en un pilar importante en ambas disciplinas.
 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• ACERO, I.; LOPEZ, M. Ecuaciones Diferenciales. Teoría y Problemas. Ed. Tébar Flores,
Madrid, (1997).
• Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de modelado (9a.ed.).
México D.F.: Cengage learning.