GEOMETRIA

 Triángulos

El triángulo es el conjunto formado por tres

segmentos que unen, respectivamente, tres
puntos no colineales. Estos dividen el
plano en tres subconjuntos: el interior del
triángulo, el exterior del triángulo y el mismo
triangulo.

1.1Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus lados

1.2Clasifica los triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos

1.3Identifica los elementos pedidos en cada uno de los triángulos

1.4Relaciona cada triangulo con su clasificación

 1.5 Julián diseño una cometa
como la de la ilustración

a. ¿Cuántos triángulos se
distinguen en el diseño ¿Cuáles
Son?

b. Qué clase de triángulo es el

que determina los puntos A, B, y
D?

c. Julián afirma que en su cometa los puntos A, B y c

determina los vértices de un triángulo ¿Es cierta esta
afirmación? Explica.

 Propiedades de los triángulos

“En todo triángulo la suma de las medidas

de dos de sus lados es siempre mayor que
la medida del tercero” Por lo tanto, dicho
triangulo existe.

1 Encuentra el valor de la incógnita en cada triángulo

2. Escribe verdadero (v) o falso (F), según corresponda en cada caso.

a. En el triángulo formado por los segmentos a = 3 cm, b= 4 cm y c = 5 cm, el ángulo con

mayor apertura es el opuesto al lado b

b. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 8cm, 3 cm y 7 cm.

c. En un triángulo, los ángulos interiores pueden medir 45°, 32° y 50°

d. Los ángulos exteriores de un triángulo cuyos ángulos internos miden 60°, 50° y 70°, son 120°, 130° y
110° respectivamente.

e. Es posible construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 11 cm y 6 cm.

3. Selecciona un trío de segmentos con los cuales sea posible formar un triángulo en cada caso

3. Lee la información y luego, resuelve. 4. Encuentra los elementos desconocidos en

cada triangulo.

Pablo desea comprar enchapes de forma triangular para su cocina. Para esto, en el almacén le
han mostrado un catálogo con los siguientes modelos

a. Si en la primera tableta, uno de los

ángulos congruentes mide 73° ¿Cuánto
miden los otros dos?

b. Pablo se ha percatado de que el

catalogo tiene un error ¿de qué se trata?
Explica

c. Explica a qué se debe que el ángulo de

mayor amplitud en la tableta roja sea el
ĄA
 Construcción de triángulos

Con regla y compas puede construirse diferentes triángulos conociendo algunos de

sus elementos

1. Cuando se conocen sus tres lados: Teniendo esta opción se pueden construir
triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. Así para construir un triángulo
escaleno de medidas d = 3, e= 2 cm y f = 4 cm se realizan las siguientes
instrucciones.

2. cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

3. Cuando se conoce un lado y los ángulos adyacentes

Para esta actividad procura utilizar hojas milimetradas, regla compás y / o transportador)

Construye los siguientes triángulos, usando los materiales necesarios: (Regla, Compás y/o
Transportador)

  ABC, donde a = 3 cm,  = 60º, b = 3 cm

  ABC, donde a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm
  ABC, donde  = 60º, c = 7 cm,  = 60º
  ABC, donde c = 3 cm, b = 90º, a = 3 cm
  ABC, donde c = 4 cm, b = 5 cm, c = 4 cm
  ABC, donde  = 25º, c = 3 cm,  = 25º
  ABC, donde a = 3 cm,  = 45º, b = 4 cm
  ABC, donde a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
  ABC, donde  = 20º, c = 4 cm,  = 110º

 Líneas notables en el triángulo

Altura: Es el segmento perpendicular desde uno de los vértices hasta el lado opuesto.

Bisectriz de un ángulo: Es una semirrecta que tiene el mismo origen del ángulo (Vértice) y que divide
a este en 2 ángulos congruentes. Los bisectrices se interceptan en un punto llamado Incentro.
1. Traza en cada uno de los siguientes triángulos, las alturas, medianas y bisectrices, señala el
ortocentro, el baricentro y el incentro.

2. Traza el triángulo y las líneas notables que se indican en cada caso

a. b. c.

Un triángulo equilátero, y Un triángulo obtusángulo y

respecto a un mismo lado, Un triángulo rectángulo y las alturas respecto a los
la mediana, la altura y la la mediatriz de la hipotenusa lados opuestos de los
mediatriz. ángulos agudos.

Encuentra los puntos solicitados en los triángulos dados.

La siguiente es la estructura de cierta ala Delta, la cual está diseñada con base en dos triángulos
y varios tubos transversales más livianos, dispuestos de forma que determinan líneas notables
en dichos triángulos.

a. ¿Cuál es la línea notable determinada por el tubo rojo?

b. ¿Cuál es la línea notable que representa el tubo azul?

c. Si se ponen tubos determinando las alturas de los triángulos ABD Y CBD, ¿Todos estarán dentro de
la estructura? Explica

 Congruencia de triángulo

Algunas estructuras de torres de comunicación están compuestas por figuras triangulares

5.1Al trazar una diagonal en cierto tipo de cuadriláteros, se generan dos triángulos congruentes
5.2 Traza cualquier diagonal a cada uno de los siguientes cuadriláteros, e identifica e identifica en
cuales se generan dos triángulos congruentes.

5.3 ¿Para qué tipo de cuadriláteros se cumple esta propiedad? Explica

5.4 En los movimientos realizados sobre la figura se cometieron algunos errores. Usa el compás y
el transportador para verificar cuales de los triángulos son congruentes con el original.

5.5Traslada el triángulo ABC, 5 unidades hacia la derecha. Luego, reflejo sobre la recta I.
5.6 Dados los siguientes triángulos, determina cuáles son congruentes.

a. Solo I y II
b. Solo I y III
c. Solo II y III
d. I, II y III
e. Ninguno

5.7 Un alumno para demostrar en el cuadrado de la figura que ∆ ABC ≅ ∆

BCD, determino que AB ≅ BD, que AC ≅ DC y que el
< CAB ≅ < BDC, por ser rectos. ¿Qué criterio de congruencia utilizó?

a. LLL
b. LAL
c. ALA
d. AAL
e. LLA

5.8 ¿Qué parejas de triángulos son congruentes?

a. Solo II
b. Solo I y II
c. Solo I y III
d. Solo II y III
e. I, II y III
Justifica

5.9 En los triángulos siguientes se verifica que AB≅ DE, que BC ≅ EF y que el < CAB ≅ < FDE.
¿Qué criterio permite demostrar que estos triángulos son congruentes?

a. LLL
b. LAL
c. ALA
d. LLA
e. Falta información.

5.10 Los triángulos de la figura, son congruentes según el criterio.

a. LAL
b. LLA
c. ALA
d. LLL
e. AAA

5. 11 En la figura, el ∆ ABC ≅ ∆ DEF, entonces

se verifica

a. AB ≅ DE
b. AB ≅ FE
c. AC ≅ FE
d. AC ≅ DF
e. AF ≅ FD

5. 12 Para demostrar que los triángulos AOB Y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber
que:

a. < BAO ≅ < DCO

b. AB // CD
c. AO ≅ DO y AB ≅ CD
d. AB ≅ DC
e. BO≅ CO y AO ≅ DO
5.13 Marca la alternativa de la proposición verdadera.

a. Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes.
b. Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo.
c. Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales.
d. Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL
e. Todos los triángulos equiláteros son iguales.

5.14 Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida de EF es:

a.9 b.15 c.17 d.40

e. Falta información

5.15 En la figura, ABCD es rectángulo y el

<DEA ≅< CFB. ¿Qué criterio permite
demostrar que el ∆EAD≅ ∆FBC?

a. LLL
b. LLA
c. ALA
d. LLA
e. Falta información

5.16 En el triángulo ABC informa isósceles, ̅𝐴̅𝐶̅ ≅

𝐵̅̅̅𝐶̅ y ̅𝐴̅𝐷̅ ≅ ̅𝐵̅𝐸̅ . Se puede probar que ∆ ADC ≅
∆ BEC por el criterio.

a. LLL
b. LAL
c. ALA
d. LLA
e. B o C
ESTADISTICA

REPRESENTACION GRAFICA DE LA INFORMACIÓN

Diagrama circular: Presenta las categorías de la

variable en un círculo. Por lo general muestra los
porcentajes de cada categoría. Para determinar la
parte del círculo o el ángulo que corresponde a cada
categoría se multiplica la frecuencia relativa por 36

Teniendo en cuenta las tablas de frecuencias elaboradas en clase presenta de forma gráfica
(Diagrama Circular y de barras) la información organizada en la tabla de frecuencias.

 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS CON INTERVALOS

En algunas situaciones los datos recogidos presentan frecuencias muy pequeñas entonces es útil
construir una distribución de frecuencias que permita agrupar los datos por intervalos que tengan la
misma longitud.}

Ejemplo

Un nadador de 200 metros registra el tiempo de sus ultimos 14 entrenamientos los resultados
en segundos son

125 120 130 135 125 115 116 122 117 115 132 121 133 119

Para construir la distribución de frecuencias con intervalos se realiza el siguiente procedimiento.

1. Se encuentra la longitud de distribución que recibe el nombre de rango R y se calcula

restando del dato mayor, el dato menor R = 135 – 115 = 20

2. Se determina el enumero de intervalos que va a tener la tabla. Este criterio puede ser definido
por la persona que realiza el estudio, pero una buena aproximación es la raíz cuadrada del
total de datos n y aproximar su resultado al entero más cercano.

3. Como n = 14, √14 = 3,74 ≅4, El número de intervalo es 4

4. Se halla la longitud de cada intervalo realizando el cociente entre el rango y el número de

intervalos, es decir 𝑅𝑎𝑛g𝑜
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 i𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠
=20 =5
4

5. Finalmente se realiza la tabla de distribución de frecuencia. En esta tabla la primera

columna corresponde a los intervalos. Estos intervalos tienen un límite inferior cerrado [115 -
120) es decir toma el dato 115 y un límite superior abierto donde no se toma el 120,
excepto en el último intervalo donde ambos límites son cerrados

6. En el primer intervalo el límite inferior es el dato menor de la muestra 115 y el límite superior 120
resulta de sumar el límite inferior con la longitud de cada intervalo (115 +5)

7. Para el segundo intervalo se inicia con el límite superior del primer intervalo, y el límite
superior se obtiene sumando el límite inferior con la longitud del intervalo. Se sigue el
mismo procedimiento hasta el último intervalo donde el límite superior es cerrado y
coincide con el dato más grande de la muestra.

8. La frecuencia fr, % F Y Fr se calculan de la misma forma como una distribución de

frecuencias sin intervalos

9. La marca de clase m es el punto medio del intervalo, es decir, es el punto que representa
todos los datos que pertenecen al intervalo.
10. Se calcula m=𝐿i𝑚i𝑡𝑒 i𝑛f𝑒𝑟i𝑜𝑟+𝐿i𝑚i𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟i𝑜𝑠 para el segundo intervalo m=120+125 = 122,5 Entonces la
2 2
tabla de distribución de frecuencias es:
 Tiempo(s) f fr F Fr % m
[115 – 120) 5
[120 - 125) 3 122,5
[125 - 130) 2
[130– 135] 4
Total n = 14 1 100%

- Histogramas y polígonos de frecuencia

Son gráficos usados para la distribución de frecuencias

con intervalos. En el eje horizontal del histograma se
ubican los límites de los intervalos teniendo en cuenta
que el límite superior se escribe solo una vez y los
rectángulos que los componen van unidos del límite a
límite.

Los siguientes datos representan el número de horas que ven televisión, durante el fin de semana, 16
niños de primaria: 5, 5, 13, 8,13, 8, 13, 20,15,15,15,10,15, 7, 10, 10

-Elabora una tabla de frecuencias sin intervalos y una tabla de frecuencias con intervalos. Luego
obtener conclusiones de cada uno de ellos y realizar el histograma.

 GRAFICO DE BARRAS COMPUESTO

Las gráficas de barras compuestas muestra la relación de varios elementos en distintos momentos.
Cada barra representa el 100% de los individuos de cada clase y se divide proporcionalmente, en
los porcentajes del otro criterio de clasificación. En estas gráficas se pueden dibujar horizontal o
vertical, y se utilizan sombreados, colores o patrones para distinguir los segmentos.

ALUMNOS MATRICULADOS EN LA ESCUELA (2007-2011)

Años Preescolar Primaria Total
2010 121 138 259
2011 110 143 253
2012 115 125 240
2013 128 119 247
2014 103 111 214

PREESCOLAR PRIMARIA

2010 121 /259 = 0,467 x 100 = 46,7% 2010 138 /259 = 0,532 x 100 = 53,2%

2011 110 /253 = 0,439 x 100 = 43,4% 2011 143 /253 = 0,565 x 100 = 56,5%

2012 115 /240 = 0,479 x 100 = 47,9% 2012 125 /240 = 0,520 x 100 = 52,08%

2013 128 /247 = 0,518 x 100 = 51,8% 2013 119 /247 = 0,481 x 100 = 48,17%

2014 103 /214 = 0,481 x 100 = 48,1% 2014 111 /214 = 0,518 x 100 = 51,8%
 ALUMNOS
MATRICULADOS
PREES. PRIMARIA TOTAL %
2010 46,7% 53,2% 99.9%

2011 43,4% 56,5% 99,9%

2012 47,9% 52,08% 99,9%

2013 51,8% 48,17% 99,9%

2014 48,1% 51,8% 99,9%

Elabora el grafico de barras compuesto a partir de la siguiente tabla, la cual contiene información
sobre la cantidad de madres comunitarias en la ciudad de ciénaga y santa marta.

MADREC OMUNITARIAS DE SANTA MARTA Y

CIÉNAGA
Años Santa Marta Ciénaga Total
2011 290 265
2012 290 296
2013 322 320
2014 339 328
2015 354 338
2016 362 346

 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN GRAFICA

Se entrevistó a un grupo de personas y con los datos recogidos se

elaboró la siguiente grafica

En la gráfica se puede deducir que la mayoría de las persona

duermen 6h y que el promedio de horas de sueño estaría
alrededor de las 5h, exponiendo así, según el estudio, la mayoría
de ellas sufran molestias o trastornos. Con estos datos se
puede organizar una campaña para mejorar su calidad de vida.

En el caso dado, los estudios han comprobado que existe una

estrecha relación entre las horas de sueño que una persona
logra conciliar durante la noche con su estado de ánimo y nivel
de rendimiento intelectual a lo largo del dia; en otras palabras,
si el periodo de descanso nocturno es demasiado breve y no
alcanza 7 a 8 horas diarias como promedio una persona puede
exponerse a varios trastornos.

Analiza la información y luego contesta.

Un colegio desea saber cuál es el riego que tienen los estudiantes de

15 a 18 años, con una estatura promedio de 1,60 m, de sufrir
sobrepeso (Mayor que 55 kg); para ello, se les pregunto por su peso
y la información recogida fue la siguiente.

¿Cuántos estudiantes se analizaron?

¿Tienen riesgo de sufrir sobre peso estos estudiantes?

¿Qué decisión tomarías, de acuerdo con estos resultados, sobre la

¿Cuántos estudiantes sufren de sobrepeso?

¿Si la dieta del almuerzo de los estudiantes continua igual, ¿Aquellos que actualmente sufren sobre
peso están exentos de sufrirlo?

¿En el grupo de encuestado hay más estudiantes normales o con sobrepeso?

 PROBABILIDAD

La baraja francesa consta de un conjunto de 52 cartas,

compuesto de cuatro palos (Cuatro grupos de cartas de una
misma figura). En cada palo hay un as (A) y cartas del dos al
diez, además de o Q y un valet o J.

Sea E el experimento “Sacar una carta al azar de la bajara francesa” y A , el evento “as”

Puesto que E tiene 52 resultados posibles y A tiene cuatro resultados favorables, la probabilidad del
evento A es:

P(A) = 4
52
= 0,0 77 -- Aproximación a las milésimas

5.1 Considera el experimento de sacar a balota al azar, de la urna que se muestra a

continuación, luego completa la tabla.

5.2Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V) y
azul (A), y una gran caja vacía. Echamos en la caja 1 R, 50 V y 200 A. Removemos y extraemos
una al azar. Asocia con flechas:

P [R] Imposible
P [V] Muy poco probable
P [A] Poco probable
P [N] Muy probable

5.3Razona de cuál de las bolsas siguientes es más probable sacar bola roja:

I.Roja, roja, azul y azul.

II. Roja, roja, roja, azul y azul.
III. Roja, roja, roja, roja, roja, azul, azul y azul

5.4Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos
el número obtenido.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Escribe los sucesos:

A= “Menos de 5”:
B= “Más de 4” :
C = “Número par”:
D = “No múltiplo de 3”:

5.6 Halla la probabilidad de obtener un 2 y la probabilidad de obtener un 5, al lanzar un dado

correcto en cada uno de estos casos:
5.7 Si lanzamos una moneda cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos
caras? ¿Y la de obtener al menos dos caras?

5.8 Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada
color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el
color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente. Durante unos días hacemos 1
000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve.
Hemos obtenido estos resultados:

¿Cuántas bolas hay de cada color?

7. Responde verdadero o falso a estas afirmaciones:

a) La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1.

b) Al lanzar un dado correcto, es más probable obtener un 2 que un 5.
c) Si un suceso es muy probable, su probabilidad es próxima a 1.
d) Si al lanzar una moneda seis veces nos ha salido CARA en los seis casos, la próxima vez es
más probable que salga CRUZ.