Semejanza y Trigonometria
Semejanza y Trigonometria
Semejanza y Trigonometria
Un triángulo es un polígono de tres lados. Los tres lados de un triángulo determinan tres vértices,
que los nombramos con letras mayúsculas (A, B, C).
A + B + C = 180º
α = 180º - A
Primera Propiedad: “La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º”.
Segunda Propiedad: “En un triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de los
otros dos”.
Observa que en todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos.
IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados y los tres ángulos iguales.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Observa que el cuadrado grande, dibujado sobre la hipotenusa, contiene tantos cuadraditos como
entre los dos dibujados sobre los catetos.
25 = 52
¿Y los cuadrados más pequeños?
9 = 32
16 = 42
Observa que 52 = 32 + 42
En un triángulo rectángulo los lados que forman ángulo recto se llaman CATETOS. El tercer lado,
que es el mayor, se llama HIPOTENUSA.
“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos”.
a2 = b2 + c2 => a =
c2 = a2 – b2 => c =
a2 = 62 + 82
a2 = 36 + 64 = 100
lal= cm = 10 cm
FIGURAS SEMEJANTES
Estas figuras son ampliaciones o reducciones de un mismo motivo. Es decir, conservan la FORMA
pero no el TAMAÑO. Las figuras que tienen la misma forma se llaman SEMEJANTES. Para que la
forma se conserve, la variación del tamaño no puede ser realizada de cualquier manera, las medidas
deben variar en forma PROPORCIONAL.
Por ejemplo, en la vaca la razón entre las medidas de las colas debe ser igual a la razón entre las
medidas de las cabezas. Si no se cumple con la condición de proporcionalidad, hay una “deformación
de la imagen.
modificaron proporcionalmente.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Vemos que los lados que se correspondan del ejemplo guardan la misma proporción:
Lado A / Lado A’ = 6 / 3 = 2
Estos dos ángulos tienen el ángulo C igual (25º) y los dos lados A y B son proporcionales.
Lado A / Lado A’ = 8 / 4 = 2
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:
En ambos triángulos un lado agudo mide 40º. Como el ángulo recto mide 90º, el otro ángulo agudo
tiene que medir 50º ya que en cualquier triángulo la suma de sus tres ángulos siempre es 180º.
Por lo tanto los tres ángulos son iguales, que ya vimos antes que era uno de los requisitos para que
dos triángulos fueran semejantes.
Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2
Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto que forman mide 90º, cumple
uno de los requisitos que vimos para que dos triángulos fueran semejantes.
Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos.
Calculamos su proporción:
Luego todos los lados son proporcionales que vimos que era uno de los requisitos para
que dos triángulos fueran semejantes.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
c1 2 c2 2 h 2
12 22 h 2
Acá tenemos una raíz cuadrada que no podemos “resolver” de forma exacta, porque
1 4 h 2 obtendríamos un número irracional. Entonces, en un caso como este, la hipotenusa
5 h2 mide 5 cm (como en el ejemplo anterior, no consideramos el caso negativo)
5 h
Ejercitación
2) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. ¿Cuánto mide
el otro cateto?
4) Dos de los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm. Calcula cuánto mide su hipotenusa
y halla su perímetro y su área.
5) El lado mayor de un triángulo rectángulo mide 15 cm y uno de los dos lados menores mide 9 cm.
¿Cuánto mide el tercer lado?
7) Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la
pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
8) Calcula lo que mide la diagonal de un rectángulo sabiendo que uno de sus lados mide 8 cm y que su
perímetro es de 30 cm
9) Clasificar cada triángulo según sus lados y sus ángulos, y decidir cuáles son semejantes entre sí.
Realizá una figura de análisis de cada uno:
A) A = 90°, B = 40°
B) AB = 3 cm, BC = 4cm, B = 90°
C) AB = 6 cm, BC = 8 cm, B = 90°
D) B = 50°, C = 90°
E) AB = 1 cm, BC = 1 cm, AC = 2 cm, B = 90°
F) AB = 6cm, BC = 6 cm, AC = 7 cm, B = 30°
G) AB = 1 cm, BC = 3 cm, AC = 10 cm, B = 90°
H) AB = 30 cm, BC = 30 cm, AC = 35 cm, B = 30°
13) El triángulo ABC, cuya área es de 54 cm2, es semejante al triángulo DEF. La razón entre AC y DF es
3 y AB mide 6 cm. Calcular el área de DEF.
14) La superficie del triángulo rectángulo ABC es 30 m2. La suma de sus catetos AB y BC es 17 m.
a) Plantear y resolver un sistema de ecuaciones para calcular la medida de AB y BC
b) ¿Es posible calcular la medida de la hipotenusa AC? De ser posible, calcularla.
c) DEF es semejante a ABC, cuya hipotenusa mide 26 m. Decidir si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justificar:
I) DEF es un triángulo rectángulo
II) La suma de los catetos de DEF es 34 m, justamente el doble de la suma entre los catetos de ABC
III) No es posible determinar la medida de los catetos de DEF
IV) La razón de semejanza es 13.
Respuestas de la ejercitación