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FUNCIÓN CUADRÁTICA

Introducción
La función cuadrática es un modelo matemático empleado para describir trayectorias y figuras
geométricas con forma de parábola, y resolver problemas de optimización.

Los piroclastos de proyección aérea, fragmentos sólidos de

material volcánico expulsados durante una erupción
volcánica, siguen trayectorias parabólicas.

La presión tectónica en rocas plásticas origina pliegues. La

morfología de los pliegues parabólicos se describe con una
función cuadrática.

El área óptima de un canal para drenaje, con sección

transversal rectangular, es la ordenada del vértice de una
parábola.

Objetivos
1. Analizar y graficar funciones cuadráticas.
2. Obtener la ecuación de la parábola a partir de tres puntos de la gráfica.
3. Optimizar con funciones cuadráticas.
4. Resolver problemas con modelos cuadráticos.

Función cuadrática

Una función cuadrática tiene la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
Con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales y 𝑎 distinto de cero. La gráfica se llama parábola. 𝑎 es el
coeficiente del término cuadrático, 𝑏 el coeficiente del término lineal y 𝑐 el término
independiente.

Actividad 11: Gráficas de funciones cuadráticas

Grafique la parábola y observe hacia dónde se abre (concavidad), intersección con los ejes
coordenados, coordenadas el punto máximo o mínimo (vértice) e imagen de la función.

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Introducción a la Matemática para Geología

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 8𝑥 − 7 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 10
ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 10𝑥 + 16 𝑚(𝑥) = 0,5𝑥 2 − 8𝑥 + 32

Concavidad

La parábola es cóncava hacia arriba si el coeficiente del término cuadrático es un número

positivo (𝑎 > 0) y hacia abajo si es un número negativo (𝑎 < 0).

Discriminante

Es el número real ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Si es un número negativo, la parábola no intercepta al eje 𝑥.

Intersección con el eje x

Si el discriminante es un número positivo, la parábola intercepta al eje 𝑥 en dos puntos. Si es

cero, intercepta al eje 𝑥 en un único punto:

𝑏 √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑏 √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥1 = − + 𝑥2 = − −
2𝑎 2𝑎 2𝑎 2𝑎

Intersección con el eje y

La parábola intercepta al eje de las ordenadas en 𝑦 = 𝑐. El número 𝑐 es el término

independiente de la ecuación.

Figura 31 La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Intercepta o no al eje de las
abscisas. Intercepta al eje de las ordenadas en 𝑦 = 𝑐.

Eje de simetría

El eje de simetría de la parábola es la recta vertical 𝑥 = ℎ, que divide a la parábola en dos ramas
simétricas. La expresión [2] es útil cuando la parábola no intercepta al eje 𝑥:
𝑥1 + 𝑥2
ℎ= [1]
2
𝑏
ℎ=− [2]
2𝑎

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Vértice de la parábola

El vértice de la parábola es el punto 𝑉(ℎ, 𝑘) donde el eje de simetría intercepta a la parábola. La

ordenada del vértice se obtiene evaluando la función en ℎ, expresión [1]:
𝑘 = 𝑎(ℎ)2 + 𝑏(ℎ) + 𝑐 [1]
4𝑎𝑐 − 𝑏 2
𝑘= [2]
4𝑎
La expresión [2] es útil para calcular las coordenadas del vértice con los coeficientes y término
independiente de la ecuación.

Dominio

El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales, 𝐷 = 𝑅.

Imagen

La imagen de la función depende de la concavidad de la parábola:

• Si es cóncava hacia arriba, el vértice es un punto mínimo, y la imagen es 𝐼𝑓 = [𝑘, +∞).
• Si es cóncava hacia abajo, el vértice es un punto máximo, y la imagen es 𝐼 = (−∞, 𝑘].

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento dependen de la concavidad de la parábola:

• Si es cóncava hacia arriba, es creciente en 𝐼𝑐 = (ℎ, +∞) y decreciente en 𝐼𝑑 = (−∞, ℎ).
• Si es cóncava hacia abajo, es creciente en 𝐼𝑐 = (−∞, ℎ) y decreciente en 𝐼𝑑 = (ℎ, +∞)

Figura 32 La parábola tiene eje de simetría, aunque no intercepte al eje de las abscisas. La
imagen y los intervalos donde crece o decrece dependen de la concavidad.

Actividad 12: Elementos y gráfica de la parábola

Realice los cálculos necesarios, complete la tabla con la información solicitada y utilícela para
esbozar la gráfica de la parábola.

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Introducción a la Matemática para Geología

Propiedades 𝑦 = −𝑥 2 + 8𝑥 − 7 𝑦 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 10 𝑦 = 𝑥 2 + 10𝑥 + 16

Concavidad
Intersección con el eje x
Intersección con el eje y
Eje de simetría
Vértice
Intervalo crecimiento
Intervalo decrecimiento

Aplicación 21: Temperatura en el núcleo

El siguiente es un modelo matemático para calcular la temperatura 𝑇 (en grados Celsius) a una
profundidad 𝑧 (en kilómetros) cercana al núcleo interno.
Halle coordenadas del vértice, interprete estos valores y grafique la función teniendo en cuenta
el dominio. Obtenga la profundidad a la cual la temperatura es de 3000℃.
𝑇(𝑧) = −8,26 × 10−5 𝑧 2 + 1,05𝑧 + 1110

Figura 33 La temperatura cerca de la superficie aumenta mucho más rápidamente que en

el centro de la Tierra.

Aplicación 22: Velocidad de sedimentación

La determinación de la textura del suelo o análisis granulométrico consiste en la separación y
cuantificación de las partículas de arena, limo y arcilla de una muestra de suelo.
La fórmula propuesta por Stokes para calcular la velocidad de sedimentación de las partículas
(cm/s) es:
𝑑2 𝑔(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 )
𝑣 (𝑑) =
18𝜂

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Con 𝑔 = 980 cm/s 2 (gravedad), 𝜌𝑝 = 1,3 g/cm3 (densidad de partículas sólidas, en este caso
arena), 𝜌𝑓 = 1 g/cm3 (densidad del agua), 𝜂 = 1 Poise (viscosidad del fluido).
Realice la gráfica, considerando que el diámetro 𝑑 (cm) de un grano de arena varía de 0,063 a
2mm. Calcule 𝑣(0,12).

Optimización

Existen una variedad de problemas y aplicaciones en las cuales se requiere encontrar valores
máximos o mínimos. Por ejemplo, área máxima, costo mínimo o mayor alcance de un proyectil.
El proceso de encontrar valores máximos o mínimos de una función se denomina optimización.
Cuando la función a optimizar es cuadrática interesa su vértice 𝑉(𝑘, 𝑘):
• La abscisa ℎ del vértice es el valor que optimiza la función.
• La ordenada 𝑘 del vértice es el valor óptimo de función, que será valor máximo o valor
mínimo, según la parábola sea cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba, respectivamente.

Figura 34 En el proceso de optimización con funciones cuadráticas, la abscisa del vértice es

el valor que optimiza la función y la ordenada del vértice es el valor máximo o mínimo.

Actividad 13: Optimización con funciones cuadráticas

Se quiere construir un canal para drenaje doblando una lámina de 60 cm de ancho, de modo
que el área 𝐴 de la sección transversal interna rectangular sea máxima. Justifique que la función
1
a optimizar es 𝐴(𝑥) = − 𝑥 2 + 30𝑥, que el doblez de la lámina debe tener un ancho 30 cm y
2

una altura 15 cm, medidas para las cuales el área alcanza un valor de 450 cm cuadrados.

Aplicación 23: Tasa máxima de reacción

Una reacción química auto catalizadora produce un compuesto que hace que aumente la
velocidad de formación del compuesto. La velocidad de reacción 𝑣 está dada por:
𝑣(𝑥) = 𝑘𝑥(𝑎 − 𝑥) con 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
donde 𝑘 es una constante positiva, 𝑎 es la cantidad inicial del compuesto y 𝑥 es la cantidad
variable del compuesto.

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Introducción a la Matemática para Geología

Analice y grafique la función. Determine la cantidad de compuesto para el cual la velocidad de

reacción es máxima y obtenga la máxima velocidad de reacción.

Aplicación 24: Drenaje de máxima capacidad

Se quiere construir un drenaje de 50 metros de largo y sección rectangular. Los cálculos previos
determinaron que se dispone de material para una superficie total de hormigón de 150 metros
cuadrados ¿Qué ancho y qué profundidad debe tener el drenaje para que su capacidad sea
máxima? ¿Cuál será la capacidad máxima?

Figura 35 Para evitar la contaminación de las aguas, alrededor de las minas se construyen
canales para que la escorrentía de aguas de lluvia y de deshielos de montaña no pasen por
las instalaciones.

Expresión factorizada para la construcción de la ecuación de la parábola

Para construir la ecuación de la parábola se necesitan tres puntos de la misma. Si dos puntos
son las intersecciones con el eje de las abscisas, se emplea la expresión factorizada.
La expresión factorizada de la parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que intercepta al eje de
las abscisas en 𝑥1 y 𝑥2 es:
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
Para obtener la expresión factorizada:
1) Sustituya las coordenadas del punto y las intersecciones con el eje de las abscisas en la
expresión factorizada y calcule el valor del coeficiente del término cuadrático.
2) Sustituya las intersecciones con el eje de las abscisas y el valor del coeficiente del término
cuadrático en la expresión factorizada.
3) Aplique la propiedad distributiva y realice las operaciones necesarias para obtener la
ecuación de la parábola 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Actividad 14: Arcos parabólicos

Un techo parabólico tiene 10 metros de ancho y una altura máxima de 8 metros. Coloque el
origen del sistema coordenado en el punto que considere conveniente, obtenga la ecuación del

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arco parabólico y demuestre que la altura del techo, a 2 metros del inicio del arco, es 5,12 metros
¿Para qué rango de valores es válida la ecuación del arco parabólico? Obtenga una fórmula para
cualquier techo parabólico de altura H y ancho A.

Figura 36 Los techos parabólicos requieren de cálculos matemáticos y se caracterizan por

cubrir luces de hasta 40 metros sin columnas de apoyo intermedias, proporcionando
espacios interiores libres de obstáculos.

Aplicación 25: Túnel parabólico

Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel cuyo techo se aproxima a arco parabólico,
que tiene 7 m de ancho en la base y 6 m de altura. Obtenga la altura el arco en función del ancho
¿Podrá atravesarlo un camión que transporta una máquina si tiene un total de 3 m de ancho y
4,5 m de alto? Si su respuesta es afirmativa, justifique con el correspondiente cálculo
matemático. Si su respuesta es negativa, diga cuál debería ser la altura total del camión con la
máquina.

Sistema de ecuaciones para la construcción de la ecuación de la parábola

Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos arbitrarios 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑅(𝑥3 , 𝑦3 )
de la parábola, reemplazando las coordenadas de los puntos en la ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
se tiene un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 𝑎, 𝑏 y 𝑐:
𝑎𝑥12 + 𝑏𝑥1 + 𝑐 = 𝑦1 [1]
{ 𝑎𝑥22 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 𝑦2 [2]
𝑎𝑥32 + 𝑏𝑥3 + 𝑐 = 𝑦3 [3]
La primera ecuación se obtiene reemplazando las coordenadas de 𝑃, la segunda sustituyendo
las coordenadas de 𝑄 y la tercera reemplazando las coordenadas de 𝑅.

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas de una de las ecuaciones,
por ejemplo, [1] se despeja una incógnita, por ejemplo 𝑐, y se sustituye en las ecuaciones [2] y
[3] y así se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 𝑎 y 𝑏. Una vez calculadas las
incógnitas 𝑎 y 𝑏, se halla el valor de la incógnita 𝑐. Finalmente, con los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 se
escribe la ecuación de la parábola.

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Introducción a la Matemática para Geología

Actividad 15: Ecuación de la parábola con sistema de ecuaciones

Halle la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (2,5), (0,1) y (6,1). Verifique con una
planilla de cálculo: Elabore una tabla con los puntos, obtenga el diagrama de dispersión y la
ecuación de la línea de tendencia polinómica de segundo grado ¿Qué valor toma 𝑅 2?.

Aplicación 26: Altura en función del tiempo en una caída libre

En la tabla se anota la altura sobre el suelo, cada 0,25 segundos, de una piedra que se deja caer
desde una altura de 19,6 metros. Utilice una planilla de cálculo para obtener la expresión
algebraica de la altura ℎ en función del tiempo 𝑡 y 𝑅 2, y calcule la altura de la piedra a los 0,9
segundos ¿Es buena la estimación?

Tiempo (s) 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

Altura (m) 19,6 19,3 18,4 16,8 14,7 11,9 8,6 4,6 0

Aplicación 27: Carga de rotura mínima de un cable

Una empresa ofrece cables de acero de distinto diámetro y carga de rotura mínima. Utilice una
planilla de cálculo para obtener un gráfico de dispersión, línea de tendencia, ecuación y
coeficiente de determinación. Estime la carga de rotura mínima de un cable de 7 mm y
determine en qué medida es fiable la estimación.
Diámetro (mm) 2 4 6 8 10
Carga de rotura (kg) 300 1000 2000 4000 6000

Aplicación 28: Distancia de frenado

Los camiones mineros poseen frenos de discos múltiples, enfriados por aceite y control
hidráulico constantemente monitoreado. Si llegase a ocurrir una falla en el circuito de freno
primario, ambos frenos de parqueo frontal y trasero son activados por medio de un pedal de
freno secundario. La velocidad de un camión y su distancia de frenado aparecen en la tabla.
Halle la ecuación de la distancia de frenado en función de la velocidad y estime la distancia de
frenado a una velocidad de 53 km/h ¿Es buena la estimación?

Velocidad (km/h) 0 35 40 45 50 55
Distancia de frenado (m) 0 45 50 70 85 95

Aplicación 29: Resistencia a la compresión

La resistencia a la compresión es el esfuerzo máximo que puede soportar un material bajo una
carga de aplastamiento.

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En la tabla se registra un conjunto de datos experimentales codificados acerca de la resistencia

a la compresión de un material, para distintos valores de la concentración de cierto aditivo.
Estime la resistencia a la compresión, cuando la concentración del aditivo es 35, y valore la
calidad de la estimación.

Concentración Resistencia a la compresión

10 25,2 27,3 28,7
15 29,8 31,1 27,8
20 31,2 32,6 29,7
25 31,7 30,1 32,3
30 29,4 30,8 32,8

Bibliografía
1. DEMANA, F., Waits, B. y Foley, G. (2007). Precálculo gráfico, numérico y algebraico. (7a ed.).
México. Pearson Educación. (página 176)
2. STEWART, J., Redlin, L. y Watson, S. (2012). Precálculo Matemáticas para el Cálculo. (6a ed.).
México. Cengage Learning. (página 224)

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