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    de 5

    Universidad San Francisco de Quito

    Nombre: Sebastián Hidalgo 00326921

    Fecha: 23/10/2023

    Ejercicio de la Uva

    Hallar el coeficiente de convección del agua, cuando la uva se sumerge en este medio

    Tenemos las siguientes constantes, el radio, R, de la uva es 1,1 [cm], la temperatura inicial,
    W
    𝑇0, es de 21,5 ℃, la conductividad térmica, k, es de 0,55 [mK], y la difusividad térmica, ∝,
    𝑚2
    es de 1,35 × 10−7 [ ]. El calor se transfiere desde el centro de la uva hacia los exteriores,
    𝑠

    por lo tanto, 𝑟 = 0 y por ende 𝜉 = 0. La temperatura, 𝑇∞, del agua es 4 ℃.

    Tabla 1. Tiempo transcurrido al colocar la uva en el agua y la temperatura interna de la uva


    que se registra.

    t [s] Tc
    0 21,5
    224 15
    448 10
    672 7,4
    896 5,8
    1120 5

    Resolución del Problema

    Aquí debemos considerar que 𝑇 = (𝑡, 𝑟). Sin embargo, vamos a usar variables
    adimensionales y para ello vamos a usar las siguientes fórmulas

    𝑇 − 𝑇∞
    𝜃𝑐 = (1)
    𝑇0 − 𝑇∞

    ∝𝑡
    𝜏= (2)
    𝑅2
    𝑟
    𝜉= (3)
    𝑅
    ℎ𝑅
    𝐵𝑖 = (4)
    𝑘

    𝐵𝑖 = 1 − 𝜆𝑛 𝑐𝑜𝑡𝜆𝑛 (5)
    ∞
    4 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑛 ) − 𝜆𝑛 cos(𝜆𝑛 ) 𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑛 𝜉 ) −𝜆 2 𝜏
    𝜃=∑ ∙ ∙ ∙𝑒 𝑛 (6)
    𝜆𝑛 2𝜆𝑛 − 𝑠𝑒𝑛(2𝜆𝑛 ) 𝜉
    𝑛=1

    Para resolver el problema y hallar el coeficiente de convección, h, del aire, podemos igualar
    la ecuación (4) y (5). Sin embargo, es necesario primero hallar 𝜆𝑛 , para ello vamos a
    realizar una tabla de valores y calcular 𝜃𝑐 y 𝜏 para cada uno de los tiempos y temperaturas
    medidas.

    Tabla 2. Valores calculados para 𝜃𝑐 y 𝜏

    t [s] Tc 𝝉 𝜽𝒄
    0 21,5 0 1
    224 15 0,24991736 0,62857143
    448 10 0,49983471 0,34285714
    672 7,4 0,74975207 0,19428571
    896 5,8 0,99966942 0,10285714
    1120 5 1,24958678 0,05714286

    De la ecuación (6) vamos hallar la primera lambda, 𝜆1 , por lo que la expresión queda

    En donde

    4 𝑠𝑒𝑛(𝜆1 ) − 𝜆1 cos(𝜆1 ) 𝑠𝑒𝑛(𝜆1 𝜉 )


    𝐴= ∙ ∙
    𝜆1 2𝜆1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝜆1 ) 𝜉

    Quedando
    2
    𝜃𝑐 = 𝐴𝑒 −𝜆1 𝜏
    (7)

    Despejando tenemos

    𝑙𝑛(𝜃𝑐 ) = −𝜆1 2 𝜏 + ln(𝐴) (8)

    Podemos graficar 𝜃𝑐 en función de 𝜏, y una vez graficado podemos hallar la ecuación de la


    gráfica en donde tenemos la siguiente estructura.
    La ecuación de la gráfica es

    𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

    En donde tenemos que

    𝑦 = ln(𝜃𝑐 )

    𝑚𝑥 = −𝜆1 2 𝜏

    𝑏 = ln(𝐴)

    Por lo tanto, sabemos que

    𝑚 = −𝜆1 2

    Calculamos 𝑦 obteniendo los siguientes valores

    Tabla 3. Valores de y para graficar 𝑦 en función de 𝜏

    t [s] Tc 𝝉 𝜽 Y
    0 21,5 0 1 0
    224 15 0,24991736 0,62857143 -0,46430561
    448 10 0,49983471 0,34285714 -1,07044141
    672 7,4 0,74975207 0,19428571 -1,63842545
    896 5,8 0,99966942 0,10285714 -2,27441422
    1120 5 1,24958678 0,05714286 -2,86220088
    En la figura 1 podemos observar la gráfica de 𝑦 en función de 𝜏, también la ecuación de la
    gráfica calculada por Excel.

    Y vs Tao
    0,5

    0
    0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
    -0,5

    -1

    -1,5
    Y

    y = -2,3218x + 0,0657
    -2 R² = 0,9983
    -2,5

    -3

    -3,5
    Tao

    Figura 1. Gráfica de 𝑦 en función de 𝜃𝑐 .

    De este modo obtenemos la ecuación de la gráfica

    𝑦 = −2,3218𝑥 − 0,0657

    En donde tiene la misma estructura que la ecuación (9)

    𝑙𝑛(𝜃𝑐 ) = −𝜆1 2 𝜏 + ln(𝐴)

    Por lo tanto, sabemos que

    𝜆1 2 = 2,3218

    Calculamos la raíz cuadrada de 𝜆1 2 y así obtenemos 𝜆1 .

    √𝜆1 2 = √2,3218

    𝜆1 = 1,523745386

    Ahora procedemos a igualar la ecuación (4) y (5) para despejar el coeficiente de


    convección, ℎ.
    ℎ𝑅
    = 1 − 𝜆1 𝑐𝑜𝑡𝜆1 (9)
    𝑘

    𝑘 ∙ (1 − 𝜆1 𝑐𝑜𝑡𝜆1 )
    ℎ= (10)
    𝑅

    Y procedemos a resolver la ecuación (10)

    (0,55) ∙ (1 − (1,523745386)cot(1,523745386))
    ℎ=
    0,011

    𝑊
    ℎ = 46,41 [ ]
    𝑚2 ∙𝐾

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