5.3 Interpolacion - Extrapolacion

Bloque 3 5. Funciones algebraicas 5.
3 Interpolación y extrapolación
lineal y cuadrática
Interpolar es intercalar entre los extremos. Una interpolación lineal consiste en ajustar una recta
a los datos para obtener un valor intermedio.
Ejemplo: En el tratamiento de una enfermedad se están probando en un laboratorio distintas
dosis de un medicamento para comprobar sus efectos. Se han obtenido los siguientes datos:
Dosis (mg.) X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Curaciones (%) Y 32 40 47.1 53.3 58.6 63 66.5 69.1 70.8 71.6
Se puede dibujar gráficamente los datos de esta tabla, y unirlos según diferentes criterios.
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
80
Si los unimos mediante segmentos de rectas y
queremos estimar el porcentaje de curaciones 60
para una dosis de 6.4 mg, debemos calcular la 40
ecuación de la recta que pasa por los puntos 20
(6, 63) y (7, 66.5):
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cálculo de la ecuación de la recta:
y = f(x) = mx + n →
f(6) = 63 = m·6 + n
f(7) = 66.5 = m·7 + n
Restamos las ecuaciones: 3.5 = m → n = 63 – m·6 = 63 − (3.5)⋅6 = 42.
Así, la ecuación de la recta que pasa por (6, 63) y (7, 66.5) es y = 3.5x + 42.
Para una dosis de 6.4 mg tendremos, aproximadamente, y = 3.5⋅6.4 + 42 = 64.4.
es decir, tendremos un porcentaje de curaciones del 64.4 %.
Hemos hecho una interpolación lineal.
5.3.1 Utiliza la recta anterior para obtener el porcentaje de curaciones esperado para una dosis de
7.3 mg. Al querer obtener un valor que está fuera del intervalo [6, 7] lo que hacemos ahora es una
extrapolación lineal.
Extrapolar es estimar más allá del intervalo de observación. Extrapolación lineal es extrapolar
utilizando una recta.
Ya sabes, por 2 puntos pasa una única recta, por 3 puntos pasa una única función cuadrática, por
4 puntos pasa una única función polinómica de tercer grado... y por n + 1 puntos, pasa una única
función polinómica de grado n.
1 de 2
Bloque 3 5. Funciones algebraicas 5.3 Interpolación y extrapolación
lineal y cuadrática
Interpolación y extrapolación cuadrática 80
En el ejemplo anterior también podíamos
haber unido los puntos de la tabla mediante 60
otro tipo de curvas. Si los unimos mediante 40
p a r á b o l a s e s t a r e m o s h a c i e n d o u n a 20
interpolación (o una extrapolación) cuadrática.
0
Queremos conocer, como en el caso anterior, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
el porcentaje de curaciones para una dosis de
6.4 mg. Para ello necesitamos 3 puntos: (6, 63), (7, 66.5) y (8, 69.1) y buscamos la parábola que
pasa por esos tres puntos.
Cálculo de la ecuación de la parábola:
y = f(x) =ax2 + bx + c→
f(6) = 63 = a·36 + b·6 + c
f(7) = 66.5 = a·49 + b·7 + c
f(8) = 69.1 = a·64 + b·8 + c
Restamos: 3.5 = 13 a + b
2.6 = 15 a + b
Y volvemos a restar y obtenemos el coeficiente a: −0.9 = 2a → a = −0.45.
Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores obtenemos el coeficiente b:
b = 3.5 − 13(−0.45) = 9.35
Despejando c de cualquiera de las primeras ecuaciones y sustituyendo a y b:
c = 63 – 36a – 6b = 63 – 36(–0.45) – 6(9.35) = 23.1.
La parábola buscada es: y = f(x) = −0.45x2 + 9.35x + 23.1.
Para conocer el porcentaje de curaciones, por interpolación cuadrática, con una dosis de 6.4 mg,
sustituimos ese valor en la ecuación de la parábola:
y = f(6.4) = −0.45⋅ (6.4)2 + 9.35⋅(6.4) + 23.1 = 64.508.
Ahora prevemos un porcentaje algo mayor de curaciones: 64.508% que con la interpolación lineal.
Una interpolación cuadrática consiste en ajustar una función cuadrática a los datos para obtener
un valor intermedio.
Si utilizamos la parábola para determinar el porcentaje de curaciones para una dosis de fuera del
intervalo (6, 8), como por ejemplo para 5.5 mg, estaremos haciendo una extrapolación cuadrática:
y = f(5.5) = −0.45⋅(5.5)2 + 9.35⋅(5.5) + 23.1 = 60.91 %.
Una extrapolación cuadrática consiste en ajustar una función cuadrática a los datos para
obtener un valor fuera del intervalo de observación.
5.3.2 El número de habitantes (en miles) de una determinada Años 2010 2013 2016
ciudad ha evolucionado según la siguiente tabla:
Población 53 71 91
Sabiendo que dicha población se ajusta a una función cuadrática,
calcular la población que tenía la ciudad en 2008.
5.3.3 Los beneficios, en miles de euros, de una Año 1975 1980 1982 1985 1990
empresa fueron:
Beneficio 20 60 77 140 255
a) ¿Habría servido la extrapolación lineal de los años
1982-85 para determinar los beneficios de 1980?
b) Y la interpolación lineal 1982-1990 para determinar la ganancia de 1985?
c) Hallar el polinomio interpolador de 2o grado determinado por los beneficios de los años 1975,
1980 y 1985. ¿Podría servir esa función para extrapolar el beneficio de 1990?.
2 de 2

5.3 Interpolacion - Extrapolacion

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

5.3 Interpolacion - Extrapolacion

Cargado por

Información del documento

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

5.3 Interpolacion - Extrapolacion

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Bloque 3 5. Funciones algebraicas 5.

Curaciones (%) Y 32 40 47.1 53.3 58.6 63 66.5 69.1 70.8 71.6

También podría gustarte