Anlisis Numrico I

Facultad de Ingeniera-UBA

75.12 ANLISIS NUMRICO I

FACULTAD DE INGENIERA
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

GUA DE PROBLEMAS
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A. Mtodos Directos
1. Resolver el sistema lineal A x = b utilizando eliminacin de Gauss sin
pivoteo, donde:
4
1 2 3
1 4 9 16

A=
1 8 27 64

1 16 81 256

2
10

b=
44
190

2. Calcular la inversa de la matriz A resolviendo el sistema A X = I , utilizando

eliminacin de Gauss, siendo I la matriz identidad y X la matriz inversa de A.
Qu es lo que se obtiene si se utiliza pivoteo?

2 1 2

A = 1 2 3
4 1 2

3. Dada la siguiente descomposicin LU de Doolittle de la matriz A efectuada

utilizando pivoteo parcial
0 0
1

L = 1 / 2 1 0
1 / 2 1 / 5 1

0
4 1

U = 0 5 / 2 1
0 0 4 / 5

2

p = 3
1

a) resolver el sistema de ecuaciones Ax = b siendo

b = {1 2 7}

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b) obtener la matriz A y verificar la solucin obtenida en a)

4. Resolver el siguiente sistema:

3.241 160 x 163.2
10200 1540 y = 11740

a) Utilizar el mtodo de eliminacin de Gauss sin pivoteo y aritmtica de punto

flotante con t=4 y redondeo simtrico.
b) Idem a) pero con pivoteo parcial.
c) Idem (a), sin pivoteo y con refinamiento de la solucin.
d) Obtener conclusiones.
5. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
31.69 14.31 x 45.00
13.11 5.890 y = 19.00

a) Obtener la solucin mediante eliminacin de Gauss utilizando cuatro dgitos

significativos y redondeo truncado
b) Estimar el nmero de digitos significativos de la solucin obtenida
previamente (Utilizar doble precisin al calcular el residuo)
c) Efectuar el refinamiento iterativo de la solucin.
d) Repetir el punto c) sin utilizar doble precisin al evaluar el residuo
e) Obtener la solucin del problema utilizando toda la precisin de una
calculadora. Comparar las soluciones obtenidas y extraer conclusiones
6. Considerar la matriz A definida segn:

ai, j =

1 i, j 4

1
i + j 1

Considerar el sistema A X = B donde:

b = {0.58333 0.21667 011666

.
0.07381}

Resolver el sistema utilizando eliminacin de Gauss con pivoteo parcial,

operando con 5 decimales. Investigar las caractersticas de la matriz y
obtener conclusiones.

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7. Dada la matriz A del problema anterior y:

b = {2.66666 150000
.
106666
.
0.83334}

resolver Ax=b aplicando la descomposicin LU de A, con 5 decimales.

Obtener conclusiones.

8. Resolver el siguiente sistema:

2.15 0.924 129

. x1 122
.

2.29
0.294 x2 = 356
.
4.12
101
.
0.872 3.25 x3 0.972

Utilizar eliminacin de Gauss con pivoteo parcial. Hallar la descomposicin

LU de la matriz de coeficientes y utilizarla para hallar una estimacin del error
de redondeo, refinando la solucin. Utilizar aritmtica de punto flotante con 3
dgitos.

9. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

a11 x + a12 y = b1
a 21 x + a 22 y = b2
a) Hallar la solucin por la regla de Cramer y por eliminacin de Gauss, con
aritmtica de punto flotante y 3 dgitos de precisin.
b) Estimar el error de redondeo en los resultados anteriores utilizando la grfica
de proceso. No considerar los errores de entrada en los coeficientes de las
ecuaciones.
c) Indicar cul de los dos mtodos es ms estable y por qu.
Datos:
a11 = 158
.
a 21 = 0.524

a12 = 2.31
a 22 = 3.42

b1 = 3.35
b2 = 137
.

10. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

0.721 x 0.352 y = 162
.
0836
.
x 0.410 y = 189
.

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a) Resolverlo utilizando eliminacin de Gauss con pivoteo parcial. Hallar la

descomposicin LU de la matriz de coeficientes. Trabajar con una precisin
de 3 dgitos.
b) Hallar dos refinamientos de la solucin obtenida en el punto a) utilizando la
descomposicin LU.
11. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
.
0
0 x1 3.40
2.50 014
0.25 140
.
0.72
0 x 2 110
.

0
0.44 3.20 0.21 x3 160
.

0
011
.
180
. x 4 2.20
0.85
Los coeficientes estn correctamente redondeados. Para resolverlo se
propone el siguiente mtodo mixto directo/iterativo:
Se da a x1 el valor de arranque x1=0
Con ese valor de x1 se pasa el primer trmino de la ltima ecuacin
miembro derecho, resultando un sistema tridiagonal.
Se resuelve el sistema por medio del algoritmo tridiagonal.
Con el nuevo valor hallado para x1 se corrige el trmino independiente de
cuarta ecuacin y se vuelve a resolver el sistema tridiagonal, utilizando
descomposicin LU del punto anterior.
Se repite el procedimiento descripto en el punto anterior hasta obtener
convergencia.

al

la
la
la

a) Resolver el sistema en la forma propuesta, utilizando aritmtica de punto

flotante con 3 dgitos de precisin, de modo de mantener pequeo el error de
redondeo.
b) Estimar los errores en los resultados debido a los errores de entrada en los
coeficientes del sistema. Para ello estimar el nmero de condicin de la
matriz de coeficientes. Hallarlo efectuando un refinamiento de la solucin
obtenida en el primer paso del procedimiento de resolucin.

12. Sea la siguiente matriz:

2.510 0142
.
0.754

A = 1210
.
3.440 0.231
2.510 0142
.
0.754
a) Hallar la descomposicin LU utilizando pivoteo total y aritmtica de punto
flotante con 3 dgitos de precisin.

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b) Utilizando la descomposicin LU obtenida en el punto anterior, calcular la

solucin de un sistema de ecuaciones lineales cuyo vector de trminos
independientes es:
b = {3.760 2.120 2.120}

13. Sea el sistema de ecuaciones lineales:

0.001325 x1 5843
. x 2 = 5844
.
3128
.
x1 2.745 x 2 = 0.3831
a) Obtener las soluciones numricas utilizando eliminacin de Gauss sin y con
pivoteo parcial.
b) Hallar estimaciones de los errores de redondeo en los resultados obtenidos
en a). No considerar errores en los coeficientes ni en los trminos
independientes. Obtener conclusiones.
14. Sea el sistema de ecuaciones lineales:
0.003152 15.28 x1 14.98
0.009413 45.60 x = 44.75

a) Obtenerla solucin numrica utilizando dos algoritmos: eliminacin de Gauss

con pivoteo parcial y eliminacin de Gauss con pivoteo total.
b) Estimar el nmero de condicin de la matriz de coeficientes.
c) En base a los resultados obtenidos en los puntos a) y b), indicar cuales de las
siguientes afirmaciones son correctas y por qu:
El primer algoritmo est mal condicionado.
El segundo algoritmo est mal condicionado.
El problema est mal condicionado.

15. Sea el sistema de ecuaciones lineales:

.
0.235 x1 166
.
138
=

0.742 0125

. x2 0.891

a) Hallar la solucin mediante eliminacin de Gauss, obteniendo la

descomposicin LU de la matriz de coeficientes.
b) Analizar la propagacin de errores mediante la grfica de proceso.
Descomponer el proceso total en los siguientes subprocesos: obtencin del

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multiplicador, eliminacin y sustitucin inversa. Obtener estimaciones de los

errores finales en los resultados.
c) Obtener otra estimacin de los errores, realizando un refinamiento de la
solucin. Estimar el nmero de condicin de la matriz.
d) Extraer conclusiones sobre los resultados obtenidos en b) y c).

16. Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax=b , donde:

3142
.
2.458 0.7542

A = 1154
.
5.258 0.4385
2.374 7.518 3.246

7.177

b = 6.879
2.886

a) Obtener la solucin utilizando eliminacin de Gauss con pivoteo parcial.

Hallar la descomposicin LU de la matriz de coeficientes. Trabajar con 4
dgitos de precisin.
b) Hallar el factor de amplificacin FB de los errores de entrada en b mediante
perturbaciones experimentales. Tomar:

b = {0.1 0.1 0.1}

utilizar la descomposicin LU y el estimador

FB =

dx x
db b

c) Efectuar un refinamiento utilizando la descomposicin LU y, en base a los

resultados, estimar el nmero de condicin de la matriz KA.
d) Comparar log (FB) y log (KA) y obtener conclusiones.
e) Estimar el orden de magnitud de la perturbacin que se producira en x si la
matriz A se perturbara en un 5%.
17. Programar en pseudolenguaje un algoritmo que resuelva sistemas de
ecuaciones lineales mediante eliminacin de Gauss con pivoteo total
teniendo en cuenta que se dispone de las siguientes subrutinas:
a) BUSCA(n,A,apf,apc,i,s,r): Dado el ndice i, que indica la posicin de pivoteo
(i,i), devuelve los ndices s y r de fila y columna en donde se encontr el
pivote. A es la matriz de coeficientes, n la dimensin, apf y apc son los
apuntadores de fila y columna.
b) CAMBIO(apf,apc,i,s,r): Dado el ndice i, que indica la posicin de pivoteo, y
los ndices s y r, que indican la posicin del pivote, efecta la actualizacin
de los vectores apuntadores de fila y columna.

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c) ELIMINA(A,b,apf,apc,i,j,m): Dado el ndice i de la fila de pivoteo, el ndice j de

la fila de eliminacin y el multiplicador m, efecta la eliminacin sobre los
elementos de A y del vector de trminos independientes b; apf y apc son los
apuntadores de fila y columna.

18. Programar en seudolenguaje las subrutinas del problema anterior.

19. Repetir los problemas 17 y 18 para el caso de pivoteo parcial

20. Describir como se simplifica el algoritmo del mtodo de eliminacin de

Gauss para el caso particular en que la matriz de coeficientes es simtrica
definida positiva.

21. Programar en seudolenguaje un algoritmo para realizar el refinamiento

iterativo de soluciones de sistemas lineales obtenidas por eliminacin de
Gauss. El programa se debe estructurar de modo de contar con las
siguientes subrutinas:
a) GAUSS(n,A,b,L,U,x): Dada la dimensin n del sistema, la matriz de
coeficientes A y el vector de trminos independientes b, devuelve el vector
solucin x y las matrices L y U.
b) RESIDUO(n,A,b,x,r): Dado el vector solucin x, devuelve el vector residuo r.
c) SUSTDIR(L,r,y): Dada la matriz triangular inferior L y el vector de trminos
independientes r, devuelve el vector solucin y.
d) SUSTINV(U,r,y): Dada la matriz triangular superior U y el vector de trminos
independientes r, devuelve el vector solucin y.
e) NORMA(x,m): Dado el vector x, devuelve su norma m.

22. Programar en seudolenguaje las subrutinas del problema anterior.

B. Mtodos Iterativos
23. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde la matriz A no
singular
a11
a
21

a12 x1 b1
=
a 22 x2 b2

a) Establecer cuando el mtodo de Jacobi diverge.

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b) Demostrar que si el mtodo de Jacobi converge el mtodo de Gauss Seidel lo

hace ms rpido.

24. Sea el sistema de ecuaciones lineales:

0.01235 2.387 x1 1.370
5.462 0.008406 x = 10.85

a) Resolverlo por el mtodo de Jacobi. Efectuar las modificaciones necesarias

para garantizar la convergencia. Trabajar con 5 dgitos de precisin.
b) Explicar la convergencia o no de los algoritmos del punto a) en trminos de la
norma de la matriz de iteracin.
c) Si el sistema se expresa simblicamente como Ax=b, escribir en
seudolenguaje un algoritmo que evale e informe la matriz de iteracion a
partir de A y b.

25. Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de Gauss-Seidel, iterando

hasta que la mxima diferencia entre dos valores sucesivos de x, y z sea
menor que 0.02. Indicar si esto ltimo significa que la solucin obtenida est
en un intervalo de radio 0.02 alrededor de la solucin exacta.
10 x + 2 y + 6 z = 28
x + 10 y + 4 z = 7
2 x 7 y 10 z = -17

26. Resolver el siguiente sistema utilizando el mtodo de Gauss-Seidel:

a
a+4b
a+

+d=2
d=4
c
=2
c+d=2

27. Considerar el sistema poco denso de ecuaciones:

2ab
=1
-a+2b c
=1
- b+2c d=1
- c+2d=1

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Mostrar que el sistema permanece poco denso cuando se lleva a la forma

triangular utilizando el mtodo de eliminacin de Gauss. Hallar la solucin
por Gauss y luego por Gauss-Seidel.

28. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

3.210 x1 + 0.943 x2 + 1.020 x3 = 2.300
0.745 x1
- 1.290 x3 = 0.740
0.875 x1 2.540 x2 + 0.247 x3 = 3.390
a) Efectuar las modificaciones necesarias para poder garantizar la convergencia
utilizando el mtodo de Gauss-Seidel.
b) Resolverlo iterando hasta alcanzar una precisin de 3 dgitos significativos,
sin exceder un mximo de 5 iteraciones. Trabajar con una precisin que
garantice un error de redondeo despreciable.
c) Establecer la cantidad de dgitos significativos efectivamente obtenidos en el
punto a), para cada una de las 3 componentes del vector solucin. Indicar si
se verifica el criterio para acotar el error de truncamiento por medio de la
norma de la diferencia entre dos vectores solucin consecutivos.
d) Determinar cmo influye un error absoluto de 0.01 en el primer coeficiente de
la primera ecuacin sobre los valores calculados de x1, x2 y x3.

29. Construir un algoritmo para hallar experimentalmente el valor ptimo del

factor de sobre-relajacin para un dado sistema de ecuaciones lineales.
Programarlo en seudolenguaje. La precisin requerida para dicho factor es
de 2 dgitos.

30. Dado el sistema Ax = b, construir un algoritmo que halle el vector solucin x

mediante el mtodo de Gauss-Seidel.

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