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    Eq LaPlace 2D Hoja Calculo PierreMillet

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    0.1. LA RELACIÓN FLUJO-FUERZA.

    0.1 La relación flujo-fuerza.


    A A V
    i = −λ · ∇ϕ , en unidades: =− · (1)
    m 2 V ·m m
    La corriente es igual en cualquier punto de un circuito, siempre que el mismo
    esté en serie como vamos a considerar aquí. Entonces:

    i =i (2)
    x+dx x

    −λ · ∇ϕ = −λ · ∇ϕ (3)
    x+dx x

    ∇ϕ = ∇ϕ (4)
    x+dx x

    ∇ϕ −∇ϕ =0 (5)
    x+dx x
    2
    δϕ
    =0 (6)
    δx2

    0.2 El algoritmo para solucionar la ecuación de


    Laplace.
    Las ecuaciones para la hoja de cálculo y tomadas del artículo de Pierre Millet:

    ∂2ϕ ϕ(x + 1, y) − 2ϕ(x, y) + ϕ(x − 1, y)


    = (7)
    ∂x2 y ∂x2
    ∂2ϕ ϕ(x, y + 1) − 2ϕ(x, y) + ϕ(x, y − 1)
    = (8)
    ∂y 2 x ∂y 2

    Ahora, las sumamos:

    ∂2ϕ ∂2ϕ
    2
    + 2 =0 (9)
    ∂x y ∂y x
    ϕ(x + 1, y) − 2ϕ(x, y) + ϕ(x − 1, y) ϕ(x, y + 1) − 2ϕ(x, y) + ϕ(x, y − 1)
    + =0
    ∂x2 ∂y 2
    (10)

    Si ∂x = ∂y
    ϕ(x + 1, y) − 4ϕ(x, y) + ϕ(x − 1, y) + ϕ(x, y + 1) + ϕ(x, y − 1)
    =0 (11)
    ∂x2
    Lo que queremos calcular es la celda del centro de la “cruz”, entonces des-
    ϕ(x, y)
    pejamos , y tenemos:
    ∂x2
    ϕ(x, y) ϕ(x + 1, y) + ϕ(x − 1, y) + ϕ(x, y + 1) + ϕ(x, y − 1)
    = (12)
    ∂x 2 4 · ∂x2

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