Análisis de Datos - Primer parcial - Primera fecha (8-10-2018).

TEMA 2

Ejercicio 1
La función de distribución acumulada asociada a la producción de una máquina, en miles de unida-
des, es del tipo:

 k si x<0
x2

F (x) = x − si 0≤x≤2

 4
1 si x > 2.

a) Determinar el valor de k. Dado que para cualquier función de distribución F , se cumplen las siguientes
propiedades:
0 ≤ F (x) = P (X ≤ x) ≤ 1
F es no decreciente (creciente o constante)
lı́mx→−∞ F (x) = 0
lı́mx→+∞ F (x) = 1

Luego debe verificarse que lı́mx→−∞ F (x) = 0. Dado que lı́mx→−∞ F (x) = k entonces k = 0.

b) Calcule la función de densidad de la variable producción

Sabemos que la derivada de la función de distribución, en todos los puntos en los que esta última
dF (x)
sea derivable, es la fdp: f (x) = = F 0 (x).
dx
Observa que en x = 0 F no es derivable.
Luego, la función de densidad de la variable producción es:

 0 x si
 x<0
f (x) = 1 − si 0 < x < 2
 2
0 si x > 2.


c) Obtenga la media, mediana y varianza de la producción.

La media de la producción es la E(X).
Z ∞
Dado que, por definición E[X] = xf (x) dx si la integral converge. Entonces
−∞
Z 0 Z 2 Z ∞ Z 2
R∞  x  x
E[X] = −∞
xf (x) dx = x · 0 dx + x · 1− dx + x · 0 dx = x · 1− dx =
−∞ 0 2 2
| {z } |2 {z } 0
0
2   20 3
x 2 x3
 2
2 23 0 0 2
− = − − − =
2 6 0 2 6 2 6 3
Recordemos que si α es un número entre 0 y 1, se define el cuantil-α de la v.a. X (discreta o continua)
con función de distribución F como el número x(α) tal que F (x(α)) = α. El cuantil-α se suele llamar
también percentil (100α) %. El cuantil α = 0,5, se llama mediana y la notación del cuantil-0.5 es µ̃,
Z µ̃
F (µ̃) = f (x) dx = 0,5
−∞
Es claro que en los intervalos (−∞, 0) y (2, +∞) no va a estar el valor de µ̃ pues F (x) = 0 para
todo x < 0, y F (x) = 1, para todo x > 2. Luego µ̃ ∈ (0, 2). Luego para los valores en ese intervalo
µ̃2
planteamos la siguiente ecuación F (µ̃) = µ̃ − = 0, 5, es decir buscamos las raíces de la ecuación
14
 q q
1 1
µ̃2 1− 2
1+ 2
− µ̃ + 0, 5 = 0, que son µ̃1 = 1 ≈ 0,58579 y µ̃2 = 1 ≈ 3,4142. Como µ̃2 ∈
/ (0, 2), el
4 2 2
valor de la mediana (µ̃) es µ̃1 .
Finalmente calculemos el valor de la V (X) = E(X 2 )−(E(X))2 . Luego, para hallarlo nos falta obtener
E(X 2 ).
Z X es una v.a. continua con fdp f y h : R −→ R es una función cualquiera, entonces
Dado que: si
+∞
E[h(X)] = h(x)f (x) dx cuando esta integral está definida.
−∞
Z +∞ Z 0 Z 2 Z ∞ Z 2
2 2 2
 x 2
 x
2
E[X ] = x f (x) dx = x · 0 dx + x · 1− dx+ x · 0 dx = x2 · 1 − dx =
−∞ −∞ 0 2 2
| {z } |2 {z } 0
0 0
2
x 3 x4 23 24 03 04
   
2
− = − − − =
3 8 0 3 8 3 8 3
 2
2 2 2
Así V (X) = − =
3 3 9
d) Cuál es la probabilidad de que la producción sea inferior a 1200 unidades? Y la de que sea superior
a 450 unidades?
Dado que nuestra v.a está medida en miles de unidades, la probabilidad de que la producción sea
inferior a 1200 unidades=P (X < 1,2) y por continuidad P (X < 1,2) = P (X ≤ 1,2) = F (1, 2) =
1,22
1,2 − = 0,84.
4
Luego probabilidad de que la producción sea inferior a 1200 unidades es 0.84.
La probabilidad de que la producción sea superior a 450 unidades=P (X > 0, 45); por propiedad
del
 complemento  y por continuidad P (X > 0, 45) = 1 − P (X ≤ 0,45) = 1 − F (0,45) = 1 −
0,452
0,45 − = 1 − 0,3994 = 0,6006.
4
Luego probabilidad de que la producción sea superior a 450 unidades es 0.3994.

e) Si el beneficio de la máquina viene dado, en función de la producción, por B = 5X − 2. Calcule la

esperanza y la varianza del beneficio.
Nos piden calcular E(B) y la V (B). Utilizaremos dos propiedades para calcularlas:
Linealidad de la esperanza: E[aX + Y ] = aE[X] + b donde X es una variable aleatoria y a, b son
dos constantes cualesquiera.
Si X una v.a. tal que existe su varianza, a y b dos constantes. Entonces: var(aX + b) = a2 var(X)
5×2 4
Luego, E[B]= E[5X − 2] = 5E[X] − 2 = −2= y
3 3
2 2 50
V (B)= var(5X − 2) = 5 var(X) = 25 × = .
9 9

Ejercicio 2
En un laboratorio el aparato encargado de examinar si un árbol está afectado por un hongo saza tiene
un 97 % de exactitud tanto en los que tienen el hongo como en los que no lo tienen. Elegido un individuo de
una determinada especie arborea, de un determinado bosque, la prueba de laboratorio dio positivo para
el hongo saza. La probabildad de que en la población de la que se elegió el individuo, uno de ellos
esté afectado por saza es de 0,01. Qué podemos decir acerca de la probabilidad de acierto del laboratorio
para el individuo que hemos elegido?

Comencemos definiendo los correspondientes eventos.

A = “el individuo seleccionado está afectado por el hongo saza”
2
 AC = “el individuo seleccionado no está afectado por el hongo saza”
B = “la prueba de laboratorio da positivo para el hongo saza”
B C = “la prueba de laboratorio da negativo para el hongo saza”
Observemos que el enunciado nos brinda los datos de las siguientes probabilidades:
P (B|A) = 0, 97 y P (B C |AC ) = 0, 97.

Como P (B|A) + P (B c |A) = 1. Tenemos que P (B C |A) = 1 − 0, 97 = 0, 03 y P (B|AC ) = 0, 03

Además P (A) = 0, 01 y por la propiedad del complemento P (AC ) = 1 − 0, 01 = 0, 99
Usaremos el Teorema de Bayes para calcular lo pedido.
Sea {A1 , A2 , ..., Ai , ..., An } representan una partición del espacio muestral Ω y tales que la probabilidad
de cada uno de ellos es mayor que cero (0). Sea B un suceso cualquiera con P (B) > 0 del que se conocen
P (B|Ai )P (Ai )
las probabilidades condicionales P (B|Ai ). Entonces, la probabilidad P (Ai |B) = Pn
i=1 P (B|Ai )P (Ai )
Nos preguntan por la siguiente probabilidad: P (A|B). Dado que A ∪ A = Ω y A ∩ Ac = ∅ y sus respec-
c

tivas probabilidades son mayores a cero. Podemos aplicar el Teorema de Bayes enunciado anteriormente.
P (B|A)P (A) 0, 97 × 0, 01 0,0097
P (A|B) = C C
= = ≈ 0, 246.
P (B|A)P (A) + P (B|A )P (A ) 0, 97 × 0, 01 + 0, 03 × 0, 99 0,0394

Ejercicio 3
El contenido de un tipo de garrafas de gas se distribuye normalmente con media 23 kg y desviación típica
0,5 kg. Cuál es la probabilidad de que si se extraen dos garrafas al azar de este tipo ambas tengan mas de 23,5kg?
Comencemos definiendo las v.a. que utilizaremos para resolver el ejercicio.
Xi =“contenido en kg de la i-ésima garrafa”. i = 1, 2
Xi ∼ N (23, 0, 52 ) para i = 1, 2.
Observemos
 que X1 y X2 son v.a independientes y que P ({Xi >23, 5} = 1 − P (Xi ≤ 23,  5)) estandari-
Xi − 23 Xi − 23 23, 5 − 23
zando ∼ N (0, 1) tenemos que P ({Xi > 23, 5}) = 1 − P ≤ = 1 − Φ(1) =
0,5 0,5 0,5
1 − 0, 8413 = 0, 1587
Nos piden P ({X1 > 23, 5} ∩ {X2 > 23, 5})P ({X1 > 23, 5} × P ({X2 > 23, 5} = 0, 1587 × 0, 1587 ≈ 0, 025

Ejercicio 4
Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una
distribución de Poisson con una tasa promedio de 0,1 mensajes por minuto.

a) Cuál es la probabilidad de que lleguen 2 mensajes por hora?

Definamos las siguientes variables aleatorias:
X1 = “cantidad de mensajes que llegan a una computadora en un minuto”. X1 ∼ P (λ), siendo
λ = c × t donde, la tasa, c = 0,1 y t = 1. Es decir, X1 ∼ P (0,1).
Luego, X60 = “cantidad de mensajes que llegan a una computadora en una hora (ó 60 minutos)”.
X60 ∼ P (λ60 ), siendo λ60 = c × t donde, la tasa, c = 0,1 y t = 60. Es decir, X60 ∼ P (6).
Luego, la probabilidad de que lleguen 2 mensajes por hora es igual a

e−6 62
P (X60 = 2) = = (ó F (2) − F (1) = 0,0620 − 0,0174) = 0, 0446
2!
b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje
durante ese lapso de tiempo sea 0,8.
Xt =“cantidad de mensajes que llegan a una computadora en t minutos”, Xt ∼ P (0,1 × t)
Nos piden hallar t que verifique: P (Xt = 0) = 0, 8.
3
 e(0,1×t) (0,1 × t)0
Como P (Xt = 0) = = e−(0,1×t) = 0, 8 despejamos t de está última ecuación.
0!
Primero aplicamos a ambos lados de la igualdad la función ln, es decir ln e−(0,1×t) = ln(0, 8), de

donde se obtiene que

ln(0,8)
0, 1 × t = ln(0, 8) despejamos t y obtenemos que t = ≈ 2, 23.
−0, 1
Luego, necesitamos 2.23 minutos, para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante
ese lapso de tiempo, sea 0.8.

1. Ejercicio 5
El peso de un artículo (medido en gramos) es una v.a con media 10 y desviación típica 1,1; este pro-
ducto se vende en cajas de 50 unidades, y el peso de la caja vacía es 6 gramos. Cuál es la probabilidad de
que el peso total de una caja llena sea a lo sumo 526 grs.?
Sea Xi =“peso (en gramos) del i-ésimo artículo” i = 1, . . . , 50
E(Xi ) = 10 y V ar(Xi ) = 1, 12 para todo i = 1, . . . , 50. P50
El peso total de la caja llena es una variable
P50aleatoria Y = X
1 + · · · + X
P50 50 + 6 = Xi + 6.
i=1

Tenemos que encontrar P (Y ≤ 526) =P i=1 X i + 6 ≤ 526 = P i=1 X i ≤ 526 − 6 .
Como n = 50 > 30 podemos aplicar TCL para calcular lo P pedido.
Dado que el Teorema Central del Límite indica que si Sn = ni=1 Xi es la suma de n variables aleatorias,
independientes, idénticamente distribuidas,
Pn con media µ y varianza σ 2 finitas (σ 2 6= 0): Entonces si n es
grande (n ≥ 30) √entonces Sn = i=1 Xi tiene distribución aproximadamente normal con media nµ y
desviación típica nσ . 2
P50 !
P50
i=1 X i − 50 × 10 520 − 50 × 10
P (Y ≤ 526) =P i=1 Xi ≤ 526 − 6 = P p ≤ p
50 × 1, 12 50 × 1, 12
P50
Xi − 50 × 10
Como Z = i=1 p ≈ N (0, 1)
50 × 1,12
P (Y ≤ 526) = P (Z ≤ 2, 57) ≈ Φ(2, 57) = 0,9949