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    Ma7 pr2 SD 07

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    José Olivier Román
    Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones y derivadas generalizadas. En el primer ejercicio, se grafican funciones relacionadas con una distribución dada. En el segundo ejercicio, se demuestran identidades involucrando derivadas generalizadas. En el tercer ejercicio, se calculan derivadas generalizadas de varias funciones. Finalmente, en el cuarto ejercicio, se estudian límites de sucesiones de funciones generalizadas que convergen a distribuciones como el delta de Dirac y sus derivadas.

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    Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones y derivadas generalizadas. En el primer ejercicio, se grafican funciones relacionadas con una distribución dada. En el segundo ejercicio, se demuestran identidades involucrando derivadas generalizadas. En el tercer ejercicio, se calculan derivadas generalizadas de varias funciones. Finalmente, en el cuarto ejercicio, se estudian límites de sucesiones de funciones generalizadas que convergen a distribuciones como el delta de Dirac y sus derivadas.

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    Matemáticas VII. Práctica 2.

    Juan C. Moreno y Amı́lcar Pérez

    8 de octubre de 2007

    1. Distribuciones.
    1. Dada la función φ, definida por

    e−1/(1−x2 ) si |x| < 1,
    φ(x) =
    0 si |x| ≥ 1.

    R∞ R1
    Note que φ(x)dx = φ(x)dx.
    −∞ −1

    Zx
    1
    1.1 Gráfique la función ψ(x) = φ(t)dt
    I
    −∞

    Zx
    1
    1.2. Gráfique la función ψ(x) = (φ(t + 2) − φ(t − 2))dt
    I
    −∞

    2. Usando la definición de derivadas generalizadas, demuestre las siguientes identidades:

    2.1. Para todo c ∈ R, φ(x)δ 0 (x − c) = φ(c)δ 0 (x − c) − φ0 (c)δ(x − c).

    2.2. Para todo c ∈ R, (x − c)δ 0 (x − c) = −δ(x − c).

    2.3. Para todo n = 1, 2, · · · ; xδ k = −kδ (k−1) (x) (Sugeencia: Use el ejercicio 2.2.)

    2.4. x2 δ 0 (x) = 2δ(x)

    2.5. (e−cx − 1)δ 00 (x) = c2 δ(x) − 2cδ 0 (x).

    1
    2.6. Sea φ ∈ C ∞ (M ) fijo. Dado F ∈ D(V ); V ⊆ C ∞ (M ) (F es una distribución sobre V ),
    demuestre que

    (φF )0gen = φ0 F + φFgen


    0
    , (φF )00gen = φ00 F + 2φ0 Fgen
    0 00
    + φFgen .

    3. Usando la definición de derivadas generalizadas, realize los siguientes calculos:

    3.1. Verifique que

    x(δ(x) + δ 0 (x))00gen + (x + 3)(δ(x) + δ 0 (x))0gen + δ(x) + δ 0 (x) = 0.

    0 00
    3.1. Para f (x) = H(x) sen(x), Calcule fgen (x) y fgen (x).
    0 00
    (Respuesta: fgen (x) = H(x) cos(x), fgen (x) = δ(x) − H(x) sen(x))

    3.2. Considerando la función F (x) = H(x)e−λx . Calcule Fgen


    0
    (x) + λF (x).
    0
    (Respuesta: Fgen (x) + λF (x) = δ(x))

    1 00
    3.3. Dada la función F (x) = w
    H(x) sen(ωx). Calcule Fgen (x) + ω 2 F (x).
    00
    (Respuesta:Fgen (x) + ω 2 F (x) = δ(x))

    3.4. Para 


    x si 0 < x < 1,

    f (x) = 1 − x si 1 < x < 2,



    0 otros casos.
    0 00 000
    Calcule fgen (x), fgen (x), fgen (x).
    0 00
    (Respuesta: fgen (x) = 1(0,1) (x) − 1(1,2) (x), fgen (x) = δ(x) − 2δ(x − 1) + δ(x − 2) y
    000
    fgen (x) = δ 0 (x) − 2δ 0 (x − 1) + δ 0 (x − 2).)

    3.5. Para f (x) = 12 H(x)(ex − e−x ), verifique que ggen


    00
    (x) − g(x) = δ(x).

    3.6. Para 
    1 − x2 si |x| ≤ 1,
    f (x) = = (1 − x2 )1(−1,1) (x)
    0 si |x| > 1.
    R1
    . Calcule (1 − x2 ) cos(nπx)dx, para todo n = {0, 1, 2, · · · }.
    −1

    2
    R1 4(−1)(n+1)
    (Respuesta: (1 − x2 ) cos(nπx)dx = n2 π 2
    )
    −1
    0 00 00
    (Sugerencia: Calcule fgen (x), fgen (x) y use la identidad hfgen |φi = hf |φ00 i, donde φ(x) =
    cos(nπx))

    3.7. Para 


    − sen(x) si −π < x < −π/2,


    −1

    si −π/2 < x < π/2,
    f (x) =



    sen(x) si π/2 < x < π,


    0 otros casos.

    Rπ
    Calcule para λ > 0, f (x)eλx dx.
    −π

    (Respuesta:)

    3.8.

    4. A continuación, use la definición de lı́mites de sucesiones de funciones generalizadas:

    4.1. Dado 
    n si 0 < x < 1 ,
    n
    fn (x) ==
    0 otros casos.

    Demuestre que lı́m fn (x) = δ(x), y lı́m (fn )0gen (x) = δ 0 (x).
    n→∞ n→∞

    −x2 /4t
    4.2 Demuestre que lı́m e √4πt = δ(x).
    t↓0

    2
    xe−x /4t √
    4.3 Demuestre que lı́m √ = −4 πδ 0 (x)
    t↓0 t3
    n
    4.4 Demuestre que lı́m 2 2 = δ(x − a).
    n→∞ π(1+n (x−a) )

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