Palg2020 Sol

UNIVERSIDAD NACIONAL SEDE BOGOTÁ
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
I Examen de Álgebra Lineal
Nombre: No. de Identificación:
INSTRUCCIONES: El siguiente parcial contiene puntos de selección múltiple y completar, ası́ que no hay ne-
cesidad de exhibir EL procedimiento. Si puede imprimir, hágalo diligencie el parcial y envı́e foto de la hoja. Sino puede
imprimir, copie en una hoja o directamente en el mail las respuestas y envı́elo. Recuerde que la duración del examen
es de 2 horas, pero para hacer el envı́o tiene una hora adicional.
OBSERVACIÓN: Para el primer ejercicio si debe hacer operaciones entre filas para llegar a la escalonada lo puede
hacer.
1. [20 pts]. Sean A = [a1 a2 a3 a4 ] y b tales que la matriz [A|b] es equivalente por filas a la matriz
 
2 −1 0 1 4
 0 κ+1 1+α 0 −1 
 2 2

[U|c] = 
 0 0 α − α 1 κ −1 
 0 0 κ + κ2 2α − 2κ ακ 
0 0 0 α−1 ακ + 1
i) Suponga que κ = −1 y α = 1 y responda

El conjunto solución del sistema Ax = b es
a) vacı́o b)unitario c)infinito d)Ninguna de las anteriores
Un vector del espacio columna de la matriz D = [U|c] (es decir, la matriz ampliada de U x = c) es:
   
  4 1  
−1 1 0 2
0     −1
a)  −1
b)  1
c)  d) 
   
1 0
0 4
−1 1
2 0
ii) Suponga que κ = −1 y α = 0, y responda

Un vector del espacio nulo de A es:
   
0   4  
0 −1 1 −2
  2   −4
a) 0 b)  0
c)  d) 
   
0 0
0 0
−1 0
0 1
Un conjunto de vectores l.i del espacio columna de U es

a) {u1 , u1 + u3 , u4 } b) {u1 , u3 , u2 } c) {u1 , u2 , u4 } d) {u1 + u2 , u1 , u4 }
iii) Suponga que κ = 1 y α = −1 y responda

El conjunto solución del sistema homogéneo Ax = 0 es
a)infinito b)unitario c) vacı́o d)Ninguna de las anteriores
 
1
0
 0  entonces Ud =
Si d =  
−1
iv) Suponga que κ = 3 y α = −1, y responda

¿El conjunto de vectores {a1 , a2 , a3 , a4 } es l.i? SI NO
El espacio nulo de la matriz B = [A|b] (es decir, la matriz ampliada de Ax = b) está contenido en
a) R3 b) R4 c) R5 d) R6
 
0
0
 
 0  es combinación lineal de las siguientes columnas {u2 , u3 , u4 } de U? SI
¿Si z =  NO

1
−1
v). Suponga que κ = 1 y α 6= 0, y considere las siguientes afirmaciones sobre el conjunto H = {a1 , a2 , a4 }
(I.) H es l.i (II.) H genera R3
1
De la información dada
a) se deducen I y II. b) se deducen II pero no I. c) se deducen I pero no II. d) no se deduce ni I ni II.
2. [3 pts] Halle los valores reales de α para los cuales el vector (α2 , α3 , α4 ) es paralelo a (1, −2, 4).Respuesta:
α=
3. [4 pts] Calcule el valor que deben tomar a, b y c para que el vector (a, b, c) sea unitario, ortogonal a (0, 0, 13) y
forme un ángulo de π/3 (o 60 grados) con el vector (−4, 0, 0). Respuesta: a = ,b= yc= .
4. [3 pts] Si u y v son vectores ortogonales no nulos, y w = Proyu v, entonces

a) v = Gen{w}, b) v ∈ Gen{u, w} c) Gen{u} = Gen{u, w}, d) u ∈ Gen{w}
5. [3 pts] Si u y v son vectores paralelos y w = Proyv u, entonces

a) v = w b) v·w = 0 c) u = w d) w = 0
6. [3 pts] Si H = {u, v, w} es l.i., determine cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.
(a) Gen {u, v} ⊆ Gen(H) (b) Gen {u + v, v − w} = Gen(H)

(c) 0 ∈ H (d) w es combinación lineal de u y v
7. [3 pts] Si u y v son vectores ortogonales no nulos de Rn , de los siguientes conjuntos, el único que no es l.d es
a) {u, v} b) {u, v, (u · v)v} c) {u, v, 2u − 3v} d) {u, v, Proyu 2v}
8. (3 P untos) Si u, v, w ∈ Rn ¿cúal de las operaciones no está bien definida?

a) ((−3v+u)·w)+5 b) (u·v)(5v−w) c) 2v−3w+kuk w d) u·(−2v·(1/3)w)
9. (3 P untos) Un conjunto generador de A = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y = 0, z = 2w} es

10. [5 pts] Indique FALSO o VERDADERO en las siguientes afirmaciones.
a) Si u, v ∈ Rn y kuk = kvk entonces u + v y u − v son ortogonales.

b) Sean A una matriz tamaño 4 × 4, U su matriz escalonada y b un vector en R4 . Si Ax = b no tiene
solución entonces U y = b puede tener solución.
c) Sean A una matriz de tamaño 5 × 4, y U una matriz equivalente a A. Si las columnas de A son l.i
entonces CA = CU .
d) Dos vectores diferentes de R2 generan a R2 .
e) Un sistema de ecuaciones lineales consistente con 7 variables y 7 ecuaciones tiene solución única.
f) Si el sistema Ax = b tiene solución única para algún vector no nulo b, entonces el sistema homogéneo
asociado Ax = 0 también tiene solución única.
g) Si el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones entonces el sistema Ax = c también tiene infinitas
soluciones.
h) Si u, v, w ∈ R3 son vectores diferentes y no nulos entonces {u, v, w} es l.i.
i) Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con 10 variables y 8 ecuaciones no tiene solución única
j) Un sistema de ecuaciones lineales con 17 variables y 5 ecuaciones tiene infinitas soluciones

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Nombre: No. de Identificación:

i) Suponga que κ = −1 y α = 1 y responda

ii) Suponga que κ = −1 y α = 0, y responda

Un conjunto de vectores l.i del espacio columna de U es

iii) Suponga que κ = 1 y α = −1 y responda

iv) Suponga que κ = 3 y α = −1, y responda

4. [3 pts] Si u y v son vectores ortogonales no nulos, y w = Proyu v, entonces

5. [3 pts] Si u y v son vectores paralelos y w = Proyv u, entonces

(a) Gen {u, v} ⊆ Gen(H) (b) Gen {u + v, v − w} = Gen(H)

8. (3 P untos) Si u, v, w ∈ Rn ¿cúal de las operaciones no está bien definida?

9. (3 P untos) Un conjunto generador de A = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + y = 0, z = 2w} es

a) Si u, v ∈ Rn y kuk = kvk entonces u + v y u − v son ortogonales.

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