Universidad Autónoma de Santo Domingo

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela de Estadística

Materia:
Método Estadístico II

Nombre: José Leonardo Tejada García Matricula: AC0807

Profesor@: Juan Lugo Sección: 09

Tema: Ejercicios Propuestos Unidad 5 Números Impares

1. Considere el experimento que consiste en lanzar una moneda dos veces.

a. Enumere los resultados experimentales.

1) Que en el primer
lanzamiento salga cara y en el
segundo sello
2) Que en el primer
lanzamiento salga cara y en el
segundo cara
3) Que en el primer
lanzamiento salga sello y en el
segundo cara
4) Que en el primer
lanzamiento salga sello y en el
segundo sello
1) Que en el primer
lanzamiento salga cara y en el
segundo sello
2) Que en el primer
lanzamiento salga cara y en el
segundo cara
3) Que en el primer
lanzamiento salga sello y en el
segundo cara
4) Que en el primer
lanzamiento salga sello y en el
segundo sello
1) Que en el primer lanzamiento salga cara y en el segundo cruz
2) Que en el primer lanzamiento salga cara y en el segundo cara
3) Que en el primer lanzamiento salga cruz y en el segundo cara
4) Que en el primer lanzamiento salga cruz y en el segundo cruz

b. Defina una variable aleatoria que represente el número de caras en los dos
lanzamientos.

La variable que elegimos para representar el número de caras en los dos

lanzamientos es x. El resultado experimental que lo representa es el número 2 del
punto A.

c. Dé el valor que la variable aleatoria tomará en cada uno de los resultados

experimentales.

Las variables aleatorias discretas

son las variables que toman
valores contables, como es el
caso de lanzar dados o monedas.
A esta corresponde nuestra
variable X
La probabilidad que salga cara en los dos lanzamientos se obtiene al multiplicar la
probabilidad que en el primer lanzamiento salga cara por la probabilidad que el
segundo lanzamiento también salga cara.
x = cantidad de caras en dos lanzamientos
En cada caso es de 0,5. La probabilidad que salgan ambos lanzamientos cara es
de 0.5*0.5=0.25.
d. ¿Es una variable aleatoria discreta o continua?
Las variables aleatorias discretas son las variables que toman valores contables,
como es el caso de lanzar dados o monedas. A esta corresponde nuestra variable
X

3. Tres estudiantes agendan entrevistas para un empleo de verano en el

Brookwood Institute. En cada caso el resultado de la entrevista será una
oferta de trabajo o ninguna oferta. Los resultados experimentales se definen
en términos de los resultados de las tres entrevistas.

a. Enumere los resultados experimentales.

Y: oferta de trabajo
N: ninguna oferta de trabajo.

S = {(Y, Y, Y), (Y, Y, N), (Y, N, Y), (Y, N, N), (N, Y, Y), (N, Y, N), (N, N, Y), (N, N,
N)}

b. Defina una variable aleatoria que represente el número de ofertas de

trabajo. ¿Es una variable aleatoria continua?

Sea Y= número de ofertas de trabajo;

Y es una variable aleatoria discreta ya que esta solo puede tomar cuatro valores
(0,1,2,3)
c. Dé el valor de la variable aleatoria que corresponde a cada uno de los
resultados experimentales.
Resultado (Y,Y,Y (Y,Y,N (Y,N,Y (Y,N,N (N,Y,Y (N,Y,N (N,N,Y (N,N,N
experimenta ) ) ) ) ) ) ) )
l
Valor de Y 3 2 2 1 2 1 1 0

5. Para realizar cierto análisis de sangre, los técnicos laboratoristas tienen

que llevar a cabo dos procedimientos. En el primero requieren uno o dos
pasos y en el segundo requieren uno, dos o tres pasos.

a. Enumere los resultados experimentales correspondientes a este análisis

de sangre.

Las posibles combinaciones que se pueden tener para realizar ambos eventos,
teniendo que cuenta que para el primer análisis se requiere 1 ó 2, y para el tercero
se requiere 1 ó 2 ó 3, tenemos:
E = (1,1) E = (1,2) E = (1,3) E = (2,1) E = (2,2) E = (2,3)

b. Si la variable aleatoria que interesa es el número de pasos requeridos en

todo el análisis (los dos procedimientos), dé los valores que toma la variable
aleatoria en cada uno de los resultados experimentales.

Entonces los valores que tomaría

en cada caso sería 2, 3, 4, 5, que
viene siendo la suma de
la cantidad de análisis por cada
experimento.
Entonces los valores que tomaría en cada caso sería 2, 3, 4, 5, que viene siendo
la suma de análisis por cada experimento.

7. A continuación se presenta la distribución de probabilidad de una variable

aleatoria x.
X f(x)
20 0.20
25 0.15
30 0.25
35 0.40

a. ¿Es válida esta distribución de probabilidad?

Si es válida, porque cumple con las propiedades

f(x)≥0 para todos los valores de x
≤f(x)=1 por tanto es uno distribución de probabilidad valida

b. ¿Cuál es la probabilidad de que x =30?

La probabilidad de que x=30 es f(30)=0.25

c. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual que 25?

Probabilidad de que x ≤ 25 es f(20)+ f(25)= 0.20 + 0.15 = 0.35

d. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?

Probabilidad de que x > 30 es f(35)= 40

9. En Estados Unidos 38% de los niños de cuarto grado no pueden leer un

libro adecuado a su edad. La tabla siguiente muestra, de acuerdo con las
edades, el número de niños que tienen problemas de lectura. La mayoría de
estos niños tienen problemas de lectura que debieron ser detectados y
corregidos antes del tercer grado.

Edad Número de niños

6 37 369
7 87 436
8 160 840
9 239 719
10 286 719
11 306 533
12 310 787
13 302 604
14 289 168
Si desea tomar una muestra de niños que tienen problemas de lectura para
que participen en un programa que mejora las habilidades de lectura. Sea x
la variable aleatoria que indica la edad de un niño tomado en forma aleatoria.

a. Con estos datos elabore una distribución de probabilidad para x.

Especifique los valores de la variable aleatoria y los correspondientes
valores de la función de probabilidad f(x).

Edad x! Números de niños P(x) P(x)

6 37,369 0.018
7 87,436 0.043
8 160,840 0.080
9 239,719 0.119
10 286,719 0.142
11 306,533 0.152
12 310,787 0.154
13 302,604 0.150
 14 289,168 0.143
Total 2,021,175

P (6) = 37,369/2,021,175= 0.018

P (7) = 87,436/2,021,175= 0.043
P (8) = 160,840/2,021,175=0.080
P (9) = 239,719/2,021,175=0.119
P (10) = 286,719/2,021,175=0.142
P (11) = 306,533/2,021,175=0.152
P (12) = 310,787/2,021,175=0.154
P (13) = 302,604/2,021,175=0.150
P (14) = 289,168/2,021,175=0.143

b. Trace la gráfica de esta distribución de probabilidad.

c. Muestre que la distribución de probabilidad satisface las ecuaciones (5.1)

y (5.2).

F(x) f(x) ≥0
0.185 Si
0.0433 Si
0.196 Si
0.1186 Si
0.1419 Si
0.1517 Si
0.1532 Si
 0.1487 Si
0.1431 Si
1

11. Un técnico da servicio a máquinas franqueadoras de empresas en el área

de Phoenix. El servicio puede durar 1, 2, 3 o 4 horas dependiendo del tipo de
falla. Los distintos tipos de fallas se presentan aproximadamente con la
misma frecuencia.

a. Elabore una distribución de probabilidad de las duraciones de los

servicios.

Distribució f(x)
n
1 0.1
2 0.2
3 0.3
4 0.4
Total 10 1

b. Elabore una gráfica de la distribución de probabilidad.

c. Muestre que la distribución de probabilidad que ha elaborado satisface las

condiciones requeridas para ser una distribución de probabilidad discreta.

f(x)=1/4 x=1,2,3,4

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un servicio dure tres horas?

P(X=3) 0,3
1/3 =0.3=33.33%
e. Acaba de llegar una solicitud de servicio y no se sabe cuál es el tipo de
falla. Son las 3:00 p.m. y los técnicos de servicio salen a las 5:00 de la tarde.
¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio tenga que trabajar
horas extras para reparar la máquina hoy?

F(X)=1/4
X1=4 pm
X2=5 pm
X3=6 pm
X4=7 pm

1/1 =1%
1/2=50%
1/3=33%
1/4=25%

13. Un psicólogo encuentra que el número de sesiones necesarias para

ganarse la confianza de un paciente es 1, 2 o 3. Sea x la variable aleatoria
que representa el número de sesiones necesarias para ganarse la confianza
de un paciente. Se ha propuesto la función de probabilidad siguiente.

x
f ( x )= para x _ 1, 2 o 3
6

a. ¿Es válida esta función de probabilidad? Explique.

Un psicólogo para ganarse la confianza de un paciente propuso la siguiente

función de probabilidad:
f(x) = C 6,x para x= 1,2 y
f(1) = C6,1 = 6
f(2) = C6,2 = 15
f(3) = C6,3 =20
No es válida, ya que la estima que en promedio de 6 sesiones o en la primera o en
la segunda o en la tercera ya se gana la confianza, y la función determina
maneras que puede plantear las sesiones.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 2 sesiones para

ganarse la confianza del paciente?

P = 2/6 = 0,33 = 33%

c. ¿De qué se necesiten por lo menos 2 sesiones para ganarse la confianza
del paciente?
P = 1/6 + 2/6 = 0,17 +0,33 = 0,5 = 50%

15. La tabla siguiente muestra la distribución de probabilidad de una variable

aleatoria x.
x f(x)
3 0.25
6 0.50
9 0.25

a. Calcule E(x), el valor esperado de x.

=3(0.25) +6(0.50) +9(0.25) =6

b. Calcule σ2, la varianza de x.

= (3-6) ^2(0.25)+(6-6)^2(0.50)+(9-6)^2(0.25)=4.5

c. Calcule σ, la desviación estándar de x.

√4.5 =2.12

17. Una ambulancia de voluntarios realiza de 0 a 5 servicios por día. A continuación,

se presenta la distribución de probabilidad de los servicios por día.

Numero de Probabilidad Numero de probabilidad

servicios servicios
0 0.10 3 0.20
1 0.15 4 0.15
2 0.30 5 0.10

a. ¿Cuál es el valor esperado del número de servicios?

x F(x) X*f(x)
0 0.10 0.00
1 0.15 0.15
2 0.30 0.60
3 0.20 0.60
4 0.15 0.60
5 0.10 0.50
 Total 2.45

El valor esperado es 2.45

b. ¿Cuál es la varianza del número de servicios? ¿Cuál es la desviación
estándar?
Σx 0+ 1+ 2+ 3+4 +5 15
𝑥̅ = n = 6
= =2.5
6
Σ ( x−x ) 2 ( 0−2.5 ) 2+ ( 1−2.5 ) 2+ ( 2−2.5 ) 2+ ( 3−2.5 ) 2+ ( 4−2.5 ) 2+ (5−2.5 ) 2
0= =
n 6
625+2.25+0.25+ 0.25+2.25+6.25 17.5
𝜎¿ 6
=
6
=2.910

¿Cuál es la desviación estándar?

√𝜎 = √2.916 = 1.707

19. La National Basketball Association (NBA) lleva diversas estadísticas de

cada equipo. Dos se refieren al porcentaje de tiros de campo hechos por un
equipo y el porcentaje de tiros de tres puntos hechos por un equipo. En
parte de la temporada del 2004, el registro de tiros de los 29 equipos de la
NBA indicaba que la probabilidad de anotar dos puntos en un tiro de campo
era 0.44, y que la probabilidad de anotar tres puntos en un tiro de tres puntos
era 0.34 (www.nba.com, 3 de enero de 2004).
a. ¿Cuál es el valor esperado para un tiro de dos puntos de estos equipos?
29x0.44=12.76
b. ¿Cuál es el valor esperado para un tiro de tres puntos de estos equipos?
29x0.34=9.86
c. Si la probabilidad de hacer un tiro de dos puntos es mayor que la
probabilidad de hacer uno de tres puntos, ¿por qué los entrenadores
permiten a algunos jugadores hacer un tiro de tres puntos si tienen
oportunidad? Use el valor esperado para explicar su respuesta.

se les permiten porque esa oportunidad de tener tres puntos puede aumentar la
probabilidad de anotar; con respecto a los valores esperados hay una diferencia
de 2.9, el jugador al aprovechar esa oportunidad de obtener tres puntos puede
hacer que sea diferencia se reduzca lo más posible
21. La siguiente distribución de probabilidad sobre puntuaciones dadas a la
satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos de alto nivel y de
nivel medio en sistemas de la información va desde 1 (muy insatisfecho)
hasta 5 (muy satisfecho).

Probabilidad
Puntuación de la Directivo de Directivo de
satisfacción con el nivel alto nivel medio
trabajo
1 0.05 0.04
2 0.09 0.10
3 0.03 0.12
4 0.42 0.46
5 0.41 0.28

a. ¿Cuál es el valor esperado en las puntuaciones dadas a la satisfacción

con el trabajo por los ejecutivos de nivel alto?

Valor esperado alto 4.05

b. ¿Cuál es el valor esperado en las puntuaciones dadas a la satisfacción

con el trabajo por los directivos de nivel medio?

Valor Esperado Medio 3.84

c. Calcule la varianza de las puntuaciones dadas a la satisfacción con el

trabajo por los directivos de nivel medio.
Varianza Nivel Alto Varianza Nivel Medio
Probabilidad
Puntuación de la Varianza de Varianza de
satisfacción con el nivel alto nivel medio
trabajo
 1 0.465125 0.322624
2 0.378225 0.338560
3 0.033075 0.084672
4 0.001050 0.011776
5 0.370025 0.376768
Varianza de los directivos de nivel medio 1.1344
d. Calcule la desviación estándar de las puntuaciones dadas a la satisfacción
con el trabajo en las dos distribuciones de probabilidad.
Desviación Estándar Nivel Medio 1.065082

e. Compare la satisfacción con el trabajo de los directivos de alto nivel con la

que tienen los directivos de nivel medio.

En mi punto de vista los ejecutivos de nivel alto tienen un mayor nivel de críticas
positivas ya que 1.116915 > 1.065082

23. El estudio 2002 New York City Housing and Vacancy Survey indicó que
había 59 324 viviendas con renta controlada y 236 263 unidades con renta
estabilizada construidas en 1947 o después. A continuación, se da la
distribución de probabilidad para el número de personas que viven en estas
unidades (www.census.gov, 12 de enero de 2004).
Número de Renta controlada Renta estabilizada
personas
1 0.61 0.41
2 0.27 0.30
3 0.07 0.14
4 0.04 0.11
5 0.01 0.03
6 0.00 0.01

a) ¿Cuál es el valor esperado para el número de personas que viven en cada

tipo de unidad?

Número de Renta controlada Renta xf(x)

personas estabilizada
1 0.61 0.41 0.61
2 0.27 0.30 0.54
3 0.07 0.14 0.21
4 0.04 0.11 0.16
 5 0.01 0.03 0.05
6 0.00 0.01 0.00

Número de Renta controlada Renta xf(x)

personas estabilizada
1 0.61 0.41 0.41
2 0.27 0.30 0.60
3 0.07 0.14 0.42
4 0.04 0.11 0.44
5 0.01 0.03 0.15
6 0.00 0.01 006

La suma de las entradas en la columna xf(x) indica que el valor esperado es 1.57,
significa el valor medio. 1.57
La suma de las entradas en la columna xf(x) indica que el valor esperado es 2.08,
significa el valor medio. 2.08
b. ¿Cuál es la varianza para el número de personas que viven en cada tipo de
unidad?

Rentas controladas 18.5351

Rentas estabilizadas 16.6736

c. Haga comparaciones entre el número de personas que viven en una

unidad de renta controlad y el número de personas que viven en una unidad
de renta estabilizada.
Renta controlada
Número Renta Renta (x -
de controlada estabilizada x-ValEspRC (x- ValEspRC)^2 ValEspRC)
personas ^2 * f(x)
 1 0.61 0.41 -0.50 0.3249 0.198189
2 0.27 0.30 0.43 0.1849 0.049923
3 0.07 0.14 1.43 0.0449 0.143143
4 0.04 0.11 2.43 5.9049 0.236196
5 0.01 0.03 3.43 11.7649 0.117649
6 0.00 0.01 443 19.6249 0.000000

Renta estabilizada
Número Renta Renta (x -
de controlada estabilizada x-ValEspRC (x- ValEspRC)^2 ValEspRC)
personas ^2 * f(x)
1 0.61 0.41 -1.08 1.1664 0.478224
2 0.27 0.30 -0.08 0.0064 0.001920
3 0.07 0.14 0.92 0.8464 0.118496
4 0.04 0.11 1.92 3.6864 0.405504
5 0.01 0.03 2.92 8.5264 0.255792
6 0.00 0.01 3.92 15.3664 0.153664

25. Considere un experimento binomial con dos ensayos y p =0.4.

a. Dibuje un diagrama de árbol para este experimento (véase figura 5.3).

b. Calcule la probabilidad de un éxito, f (1).

f(1)=(2/1)(0.4 )1 ( 0.6)1=2!/1!1!(0.4)(0.6)=0.48

c. Calcule f(0).

f(0)=(2/0)(0.4 )0 (0. 6)2 =2!/0!2!(1)(0.36)=0.36

d. Calcule f(2).
f(2)=(2/2)(0.4 )2 ( 0.6)0 =2!/2!0!(0.16)(0.1)=0.16

e. Calcule la probabilidad de por lo menos un éxito.

P(x≥1)=f(1)+f(2)=0.48+0.16+.064
f. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

E(x)=np=2(0.4)=0.8
Var(x)=np(1-p)=2(0.4)(0.6)=048
Σ=√0.48=0.6928

27. Considere un experimento binomial con n = 20 y p = 0.70.

a. Calcule f(12).
N = 20
P = 0.70
Q = 12
(P +Q)N
(0.70 + 12)2 0 = 1.191446152 x 102 2
b. Calcule f(16).
N = 20
P = 0.70
Q = 16
(P +Q)N
(0.70 + 16)2 0 = 2.846619519x102 4
c. Calcule P (x≥ 16).
N = 20
P = 0.70
Q = 15
(P +Q)N
(0.70 + 15)2 0= 8.279289108x102 3
d. Calcule P (x ≤ 15).
N = 20
P = 0.70
Q = 18
(P +Q)N
(0.70 + 18)2 0= 2.734211658x102 5
e. Calcule E(x).
Q = 0,1
Q = -0,1
10 x 10-7(0.10+0.1) =1.02410 (0.10+(0.1)=10
f. Calcule Var(x) y σ.
N = 10
P = 0.10
Q = 0.1

VARIANZA 𝜎2=𝑁𝑃𝑄
𝜎2=1.0,4.0,1=0.04

N = 10
P = 0.10
Q = -0.1

Varianza 𝜎2=𝑁𝑃𝑄
𝜎2=1.0,4.(−0,1)=−0.04
Desviacion 𝜎= √𝑁𝑃𝑄
𝜎= √0.04= 0.2

Desviaciion 𝜎= √𝑁𝑃𝑄
𝜎= √−0.04= 0

29. En San Francisco, 30% de los trabajadores emplean el transporte público

(USA Today, 21 de diciembre de 2005).
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 trabajadores
exactamente tres empleen el transporte público?
N=3
P = 0.30
Q = 10
(P +Q)N (0.30 + 10)3 = 1.092.727

b. ¿De que en una muestra de 10 trabajadores por lo menos tres empleen el

transporte público?
N=3
P = 0.30
Q = 0.7
P+Q=1
P=1+Q
Q=1–P
Q = 1 - 0.30 = 0,7
(P +Q)N
(0. 30+0.7) =1 (0. 23+0. 7 7) =1(P+Q)
3 6 n

31. Nueve por ciento de los estudiantes tienen un balance en su tarjeta de

crédito mayor a $7000 (Reader’s Digest, julio de 2002). Suponga que
selecciona aleatoriamente 10 estudiantes para entrevistarlos respecto del
uso de su tarjeta de crédito.
a. ¿Es la selección de 10 estudiantes un experimento binomial? Explique.
Si, el ejercicio nos da la probabilidad, los ensayos son tomados aleatoriamente y
cada uno de ellos puede tener uno de los resultados.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los estudiantes tengan un balance
en su tarjeta de crédito superior a $7000?
n
P( x=r )=( ) pr . q n−r
r
P(x=2)=(45)0.092 (1- 0.09 ¿ ¿2=0.171
c. ¿De que ninguno tenga un balance en su tarjeta de crédito superior a
$7000?
P(x=0)=(1)0.090 (1- 0.09 ¿ ¿10=0.389
d. ¿De que por lo menos tres tengan un balance en su tarjeta de crédito
superior a $7000?
P(X=0oX=1oX=2)=(1)0.090 (1-0.09 ¿ ¿10 +(10)0.091 ¿
1-0.945=0.054

33. Cincuenta por ciento de los estadounidenses creyeron que el país se

encontraba en una recesión aun cuando en la economía no se habían
observado dos trimestres seguidos con crecimiento negativo. (Business
Week, 30 de julio de 2001). Dada una muestra de 20 estadounidenses, calcule
lo siguiente. a. Calcule la probabilidad de que exactamente 12 personas
hayan creído que el país estaba en recesión.
a) Calcule la probabilidad de que exactamente 12 personas hayan creído que
el país estaba en recesión.
 12
P ( x=12 )=( 125970 ) 0.50 ¿
b. De que no más de cinco personas hayan creído que el país estaba en
recesión.

P(x=0)=( 1 ) 0.50 0 (1−0.50)2 0=1/1048576

P(x=1)=( 20 ) 0. 500 (1−0.50)20=5 /262144

P(x=2)=( 1 90 ) 0.50 2 (1−0.50)18=95 /524288

P(x=3)=( 1 ,140 ) 0. 503 (1−0.50)17=285/262144

P(x=4)=( 4,845 ) 0. 50 4 (1−0.50)16=4620 x 10−3

P(x=5)=( 1 5,504 ) 0. 505 (1−0.50)15=969 /65536

c. ¿Cuántas personas esperaría usted que dijeran que el país estuvo en

recesión?
Los estudiantes de la muestra de 20 que equivale al 50%
d. Calcule la varianza y la desviación estándar del número de personas que
creyeron que el país estuvo en recesión.
𝜎=nx0x(1-p)

Desviación estándar
𝜎= √nxpx(1-p)

𝜎= √20x0.5x(1-05) = 2.236

35. En una universidad se encontró que 20% de los estudiantes no terminan

el primer curso de estadística, al curso se inscriben 20 estudiantes.
a. Calcule la probabilidad de que dos o menos no terminen.
Distribución: Binomial
Área Cola Inferior (<)
Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5
0 0.0
1 0.0115292.
2 0.0691753
La tabla que se realizó nos indica que la probabilidad de dos o menos no terminen
es de:
0= 0.0= 0%
1=0.0115292=1.11%
2=0.069173=6.91%
b. De que cuatro, exactamente, no terminen.
La probabilidad de que 4 exactamente no terminen es de 4= 0.411449 = 4.11%
Distribución Acumulada
Distribución: Binomial

Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5

4 0.411449

c. De que más de tres no terminen.

La probabilidad de que 3 o mas no terminen es de 0.588551=5.88%
Variable Dist. 1 Dist. 2 Dist. 3 Dist. 4 Dist. 5
3 0.588551

d. ¿Cuál es el número esperado de estudiantes que no terminan?

Los estudiantes que no terminan son 4

37. Veintitrés por ciento de los automóviles no cuenta con un seguro (CNN,
23 de febrero de 2006). En un fin de semana determinado hay 35 automóviles
que sufren un accidente.
a. ¿Cuál es el número esperado de estos automóviles que no cuentan con un
seguro?
E(X) = µ = n p = (35)(0,23) = 8 automóviles sin seguro
b. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?
V(X) = σ² = n p (1 - p) = (35)(0,23)[1 - (0,23)] = 6,20
σ = = = 2,49
39. Considere una distribución de Poisson en que la media es de dos
ocurrencias por un periodo de tiempo.
a. Dé la adecuada función de probabilidad de Poisson.

f(x)=25 x e−2 / x !
b. ¿Cuál es el número esperado de ocurrencias en tres periodos de tiempo?
M=6 tres lapsos
c. Dé la adecuada función de probabilidad de Poisson para determinar la
probabilidad de x ocurrencias en tres lapsos.
f(x)=6 x e−2 /x !
d. Calcule la probabilidad de dos ocurrencias en un periodo de tiempo.
f(2)=22 e−2=4 (0.1353)/2=0.2706
e. Calcule la probabilidad de seis ocurrencias en tres periodos de tiempo.
f(16)=6 6 e−6 [ 6 ] =0.1606
f. Calcule la probabilidad de cinco ocurrencias en dos periodos de tiempo.
f(5)=4 5 e−4 [ 5 ] =0.1563

41. Durante el periodo en que una universidad recibe inscripciones por

teléfono, llegan llamadas a una velocidad de una cada dos minutos.
a. ¿Cuál es el número esperado de llamadas en una hora?
30 llamadas

b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres llamadas en cinco minutos?

La media principal nos dice que se recibe media llamada cada minuto, lo que cad
5 minutos se recibe 2.5 llamadas.
c. ¿De que no haya llamadas en un lapso de cinco minutos?
Es de 0.082084999 expresado en porciento es8% de que no se recibe ninguna
llamada en 5 minutos
43. Los pasajeros de las aerolíneas llegan en forma aleatoria e independiente
al mostrador de revisión de pasajeros. La tasa media de llegada es 10
pasajeros por minuto.
a. Calcule la probabilidad de que no llegue ningún pasajero en un lapso de
un minuto.
P(x)= M x ∗e−m /¿x! η=10pasajeros /1 minuto
P(x=0) =0.0000
b. Calcule la probabilidad de que lleguen tres o menos pasajeros en un lapso
de un minuto.
P(x ≤3)=0.0104 P=0.0005+0.0023+0.0076 = 0.0104
c. De que no llegue ningún pasajero en un lapso de 15 segundos.
η=25 pasajeros /15 segundos
P(x=0/15segundo)=0.0821

d. De que llegue por lo menos un pasajero en un lapso de 15 segundos.

P(x≥1/15 segundos)=
1-0.0821=0.9179

45. El National Safety Council de Estados Unidos estima que los accidentes
fuera del trabajo tienen para las empresas un costo de casi $200 mil millones
anuales en pérdida de productividad. Con base en estos datos, las empresas
que tienen 50 empleados esperan tener por lo menos tres accidentes fuera
del trabajo por año. Para estas empresas con 50 empleados, conteste las
preguntas siguientes.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún accidente fuera del trabajo

en un año?
Poisson M=Eventos/tiempo=3/1año
P(X=0/1 año)
P (0)= 0.0498
?=3
b. ¿De que haya por lo menos dos accidentes fuera del trabajo en un año?
P(X≥2)1 año
P (2)=0.8008
? =3
c. ¿Cuál es el número esperado de accidentes fuera del trabajo en un lapso
de seis meses?
M lapso de 6 meses
M= 1.5/6 meses
=0.25
d. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún accidente fuera del
trabajo en los próximos seis meses?
P (X=0/6 meses) =0.223
? =1.5
47. Suponga que N = 15 y r = 4. ¿Cuál es la probabilidad de x = 3 para n = 10?
P(X = 3) = (4/3)*(15-4)/(10-3) / (15/10)
P(X = 3) = (4 * 330) / 3003
P(X = 3) = 0,440

Por lo tanto, la probabilidad de obtener 3 éxitos en una muestra de tamaño 10, de

una población de tamaño 15, es de aproximadamente 0,440 o 44,0%.

49. Blackjack, o veintiuno, como se le suele llamar, es un popular juego de

apuestas en los casinos de Las Vegas. A un jugador se le reparten dos
cartas. Las figuras (sotas, reinas y reyes) y los 10 valen 10 puntos. Los ases
valen 1 u 11. Una baraja de 52 cartas tiene 16 cartas que valen 10 (sotas,
reinas, reyes y dieces) y cuatro ases.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas repartidas sean ases o
cartas que valgan 10 puntos?
1/52=0.01923077=0.02%
b. ¿De que las dos cartas sean ases?
0/52=0.019230769=0.2%
c. ¿De que las dos cartas valgan 10?
10/10=1%
d. Un Blackjack es una carta de 10 puntos y un as que suman 21. Use sus
respuestas a los incisos a, b y c para determinar la probabilidad de que a un
jugador se le reparta blackjack. (Indicación: El inciso c no es un problema
hipergeométrico. Desarrolle su propio razonamiento lógico para combinar
las probabilidades hipergeométricas de los incisos a, b y c para responder
esta pregunta.)
La probabilidad de recibir una como primera carta es 4/52 = 1/13.
Si la primera carta es una as, la probabilidad de recibir una carta de 10 puntos
como segunda carta es 16/51, según el inciso b.
Si la primera carta no es una as, la probabilidad de recibir una carta de 10 puntos
como segunda carta es 16/51, según el inciso c.
Por lo tanto, la probabilidad de obtener un blackjack se puede calcular como la
suma de dos probabilidades condicionales:

P(Blackjack) = P(Como primera carta) * P(10 como segunda carta si se recibe

como) + P(10 como segunda carta si no se recibe como)
P(Veintiuna) = (1/13) * (16/51) + (12/13) * (16/51)
P (Veintiuna) = 64/663
P(Blackjack) ≈ 0.0965 o 9.65%
la probabilidad de que un jugador se le reparta un blackjack en una mano es de
aproximadamente 0.0965 o 9.65%.
51. En una revista de encuestas se da información sobre la evaluación a los
platillos, la decoración y el servicio de varios de los principales restaurantes
de Estados Unidos. En 15 de los mejor evaluados restaurantes de Boston, el
costo promedio de una cena, que incluye una bebida y la propina, es $48.60.
Usted va a ir en viaje de negocios a Boston y le gustaría cenar en tres de
estos restaurantes. Su empresa le pagará máximo $50 por cena. Sus
conocidos en Boston le han informado que en una tercera parte de estos
restaurantes una cena cuesta más de $50. Suponga que escoge al azar tres
de estos restaurantes para ir a cenar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de ninguna de las cenas sea
mayor a la cantidad que paga su empresa?
0.0219 N=15 n=3 r=5x=0
(0,3,15-3,5)
= 0.2637363

b. ¿De que el costo de una de las cenas sea mayor a la cantidad que paga su
empresa?
4945 N= 15 n=3 r= 5 x= 1
(1,3,15-3,5)
0.4945055
c. ¿De que el costo de dos de las cenas sea mayor a la cantidad que paga su
empresa?
2197 ó 21.97%

(2,3,-15,-3,5)
= 0.2197802

d. ¿De que el costo de las tres cenas sea mayor a la cantidad que paga su
empresa?
02197

(3,3,15-3,5)

0.2197 = 2.19%

53. El Barron´s Big Money Poll preguntó a 131 gerentes de inversiones de

Estados Unidos acerca de sus puntos de vista sobre las inversiones a corto
plazo (Barron´s, 28 de octubre de 2002). De acuerdo con las respuestas 4%
se encontraban muy optimistas, 39 % se encontraban optimistas, 29% se
encontraban neutrales, 21% se encontraban pesimistas y 7% se encontraban
muy pesimistas. Sea x la variable aleatoria que refleje el grado de optimismo
y que vaya desde x = 1 para muy pesimista hasta x = 5 para muy optimista.
a. Elabore una distribución de probabilidad para el grado de optimismo de
los gerentes de inversiones.
x f(x) μ f(x) x_ μ (x _ μ)2 (x _ μ)2f (x)
1 0.07 0.07 -2.12 4.494 0.314
2 0.21 0.42 -1.12 1.234 0.263
3 0.24 0.87 -0.72 0.014 0.004
4 0.39 1.56 0.88 0.774 0.302
5 0.04 0.2 1.88 3.534 0.941
 3.12 1.029

b. Calcule el valor esperado del grado de optimismo.

K= X = 2
e= 2,71828 Constante de Poisson
P (X=K) = (μΛk * e Λ-μ) / K!
P=51/131= 0,39
P (X=2) = μ² *2,71828∧-2 /2
0,39 = μ² *0,1353 /2
μ =√5,76 = 2,4

c. Calcule la varianza y la desviación estándar del grado de optimismo.

d. Haga un comentario sobre lo que le dicen sus resultados acerca del grado
de optimismo y su variabilidad.

55. Al hacer el presupuesto de gastos para el próximo año en una

universidad, se obtuvieron los siguientes pronósticos de gastos (dados en
millones de dólares) $9, $10, $11, $12 y $13. Como no se sabe cuáles son los
gastos actuales, a los gastos calculados se les asignaron las probabilidades
0.3, 0.2, 0.25, 0.05 y 0.2.
a. Dé la distribución de probabilidad para estos pronósticos de gastos.
x P(x) Valor x- μ x- μ² (x μ) 2f(x)
esperado
9 0.3 2.7 -1.65 2.7225 0.81675
10 0.2 2 -0.65 0.4225 0.0845
11 0.25 2.75 0.35 0.1225 0.030625
12 0.05 0.6 1.35 1.8225 0.091125
13 0.2 2.6 2.35 5.5225 1.1045
1 10.65 2.1275

b. ¿Cuál es el valor esperado en estos pronósticos de gastos?

10.65
c. ¿Cuál es la varianza en el pronóstico de gastos para el año próximo?
2.12
d. Si las proyecciones de ingreso estiman que éste será de $12 millones,
¿cómo será la situación financiera de la universidad?
La probabilidad es de 0.05 de que sea el gasto para el próximo año.

57. Una empresa piensa entrevistar a los usuarios de Internet para saber
cómo será recibida su página por los grupos de las distintas edades. De
acuerdo con la Census Bureau, 40% de las personas entre 18 y 54 años y
12% de las personas de 55 años o más usan Internet.
a. ¿Cuántas personas entre 18 y 54 años hay que contactar para hallar un
número esperado de por lo menos 10 usuarios de Internet?
Si 10 usuario representa el 40% de los entrevistados
x usuarios representan el 100%
x = 10*100/40
x= 25 personas entre 18 y 54 años por lo menos 10 usuarios de Internet
b. ¿Cuántas personas de 55 años o más hay que contactar para hallar un
número esperado de por lo menos 10 usuarios de Internet?
Si 10 usuario representa el 12% de los entrevistados
x usuarios representan el 100%
x = 10*100/12
x= 83 personas de más de 55 años para hallar un número esperado de por lo
menos 10 usuarios de Internet
c. Si se contacta el número de personas entre 18 y 54 años sugerido por el
inciso a, ¿cuál es la desviación estándar del número que será usuario de
Internet?
σ = p*q*n
σ= 0,4*0,6*25
σ =6

d. Si se contacta el número de personas de entre 55 años o más sugerido

por el inciso b, ¿cuál es la desviación estándar del número de quienes serán
usuarios de Internet?
σ = p*q*n
σ= 0,12*0,88*83
σ =8,76

59. La tasa de desempleo es 4.1% (Barron’s, 4 de septiembre de 2000).

Suponga que selecciona aleatoriamente 100 personas empleables.

a. ¿Cuál es el número esperado de personas que están desempleadas?

P=0.041
N=100
Q=1-0.041=0.959
b. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar del número de personas que
están desempleadas?
var(x)= =100*0.041*0.959= 3.9319 σ = 1.982901914

61. A un lavado de coches los automóviles llegan en forma aleatoria e

independiente; la probabilidad de una llegada es la misma en cualesquiera
dos intervalos de la misma duración. La tasa de llegada media es 15
automóviles por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora
cualquiera de operación lleguen 20 o más automóviles?
P(X=x)=((e^-u)*(u^x))/(x!)
p(x=5)=((e^-15)*(15^5))/(5!)
p(x=5)=0.001935788

63. Un director regional responsable del desarrollo de los negocios en una

determinada área está preocupado por el número de fracasos de pequeños
negocios. Si en promedio fracasan 10 pequeños negocios por mes, ¿Cuál es
la probabilidad de que exactamente cuatro pequeños negocios fracasen en
un mes determinado? Suponga que la probabilidad de fracasos es la misma
en cada dos meses que se tomen y que la ocurrencia o no–ocurrencia de
fracasos en un determinado mes es independiente de la ocurrencia o no–
ocurrencia de fracasos en cualquier otro mes.
(aproximadamente 2,71828), λ es el valor medio de la distribución (en este caso, λ
= 10), yk! es la factorial de k.
P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k!
P(X = 4) = (e^-10 * 10^4) / 4! ≈ 0.018
Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente cuatro pequeños negocios
fracasen en un mes determinado es de aproximadamente 0.018 o 1.8%.
65. Una baraja contiene 52 cartas, de las cuales cuatro son ases. ¿Cuál es la
probabilidad de que en una repartición de cinco cartas haya:
Primero, se eligen dos de los cuatro ases disponibles, lo cual se puede hacer de C
(4,2) formas distintas. Luego, se deben elegir tres cartas adicionales de las 48 que
no son ases. Esto se puede hacer de C (48,3) formas distintas.
a. Un par de ases?
P(por partes) = (C(4,2) * C(48,3)) / C(52,5) ≈ 0,1055
b. Exactamente un as?

Primero, se elige uno de los cuatro ases disponibles, lo cual se puede hacer de
C(4,1) = 4 formas distintas. Luego, se deben elegir cuatro cartas adicionales de las
48 que no son ases. Esto se puede hacer de C(48,4) formas distintas.
P(exactamente como) = (C(4,1) * C(48,4)) / C(52,5) ≈ 0,3828
c. Ningún as?
Se deben elegir cinco cartas de las 48 que no son ases. Esto se puede hacer de C
(48,5) formas distintas.
P(ningún as) = C(48,5) / C(52,5) ≈ 0,6152
d. Por lo menos un as?5
P(por lo menos un as) = 1 - P(ningún as) = 1 - (C(48,5) / C(52,5)) ≈ 0,3848