Nivel 3 - OMA - 06 Nacionales
Nivel 3 - OMA - 06 Nacionales
Nivel 3 - OMA - 06 Nacionales
Año 1995
Problema 1: A0A1...An es un polígono regular de n + 1 vértices (n > 2). Inicialmente se colocan n piedras
en el vértice A0. En cada operación permitida se mueven simultáneamente 2 piedras, a elección del
jugador: cada piedra se traslada desde el vértice en el que se encuentra hasta uno de los 2 vértices
adyacentes. Hallar todos los valores de n para los cuales es posible tener, después de una sucesión
de operaciones permitidas, una piedra en cada uno de los vértices A1,A2,... ,An.
Aclaración: Las dos piedras que se mueven en una operación permitida pueden estar en el mismo
vértice o en vértices distintos.
Problema 2: Para cada entero positivo n sea p(n) el número de pares ordenados (x,y) de enteros
1 1 1
positivos tales que, + = . Por ejemplo, para n = 2 los pares son (3,6); (4,4); (6,3). Por lo tanto
𝑥 𝑦 𝑛
p(2)=3.
a) Determinar p(n) para todo n y calcular p(1995).
b) Determinar todos los pares n tales que p(n)=3.
Problema 4: Hallar el menor número natural que es suma de 9 naturales consecutivos, es suma de
10 naturales consecutivos y además es suma de 11 naturales consecutivos.
Problema 5: Sean a, b números reales tales que la ecuación x3 + √3(a - 1).x2 – 6ax + b = 0 tiene tres
raíces reales. Demostrar que
|𝑏| ≤ |𝑎 + 1|3 .
Aclaración: |𝑥 | indica el valor absoluto de x. Por ejemplo, |5| = 5; |−1,23| = 1,23, etc.
Problema 6: Se marcan los 27 puntos (a,b,c) del espacio tales que a, b y c toman los valores 0, 1 o 2.
A estos puntos los llamaremos "coyunturas".
Utilizando 54 varillas de longitud 1 se unen entre sí todas las coyunturas que están a distancia 1.
Queda así formada una estructura cúbica de 2x2x2. Una hormiga parte de una coyuntura A y avanza
a lo largo de las varillas; cuando llega a una coyuntura gira 90 grados y cambia de varilla.
Si la hormiga regresa a A y no ha visitado más de una vez ninguna coyuntura, excepto A, a la que
visitó 2 veces, al iniciar el paseo y al finalizarlo, ¿cuál es la mayor longitud que puede tener el
recorrido de la hormiga?
Año 1996
Problema 1: Se escribieron 100 números alrededor de una circunferencia. La suma de los 100
números es igual a 100 y la suma de seis números consecutivos es siempre menor o igual que 6. El
primer número es 6. Hallar todos los números.
Problema 2: Decidir si existe algún número de 10 cifras tal que reordenando 10000 veces sus dígitos
se obtengan 10000 números distintos que sean múltiplos de 7.
Problema 4: Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD, DA y centro O tal que 𝐵𝐴̂𝐷 < 90° y
𝐴𝑂̂𝐵 > 90°. Consideremos A1 y B1 puntos de las semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 respectivamente, tales que A1B1
𝐴𝐵̂ 𝐶
es paralelo a AB y A1B1 = . Demostrar que A1D es perpendicular a B1C.
2
Problema 5: Determinar todos los números reales positivos x para los que se verifica
[𝑥 ] + [√1996𝑥 ] = 1996
Aclaración: los corchetes indican la parte entera del número que encierran; por ejemplo, [2,16] = 2,
[5] = 5, [√2] = 1.
Problema 6: En un torneo de tenis de 10 jugadores, todos jugaron contra todos una vez. En este
torneo, si el jugador i ganó el partido contra el jugador j, entonces la cantidad total de partidos que
perdió i más la cantidad total de partidos que ganó j es mayor o igual que 8.
Diremos que tres jugadores i, j, k forman un trío atípico si i le ganó a j, j le ganó a k y k le ganó a i.
Demostrar que en el torneo hubo exactamente 40 tríos atípicos.
Año 1997
Problema 1: Sean s y t dos rectas paralelas. Se han marcado k puntos en la recta s y n puntos en la
recta t (k ≥ n). Si se sabe que la cantidad total de triángulos que tienen sus tres vértices en puntos
marcados es 220, hallar todos los posibles valores de k y n.
Problema 2: Sean ABC un triángulo y M el punto medio del AB. Si se sabe que 𝐶𝐴̂𝑀+ 𝑀𝐶̂ 𝐵 = 90°,
demostrar que el triángulo ABC es isósceles o es rectángulo.
Problema 3: Sean x1, x2, x3, ..., x100 cien números reales mayores o iguales que 0 y menores o iguales
que 1. Hallar el máximo valor posible de la suma
S = x1(1-x2)+x2(1-x3)+x3(1-x4)+ ... + x99(1-x100) + x100(1-x1).
Problema 4: En el pizarrón están escritos los primeros 1997 números naturales: 1, 2, 3, ..., 1997.
Delante de cada número se escribirá un signo "+" o un signo "-", en forma ordenada, de izquierda a
derecha. Para decidir cada signo, se arroja una moneda; si sale cara se escribe "+", si sale ceca, se
escribe "-". Una vez escritos los 1997 signos, se efectúa la suma algebraica de la expresión que hay
en el pizarrón y el resultado es S. ¿Cuál es la probabilidad de que S sea mayor que 0?
ACLARACIÓN: La probabilidad de un suceso es igual a número de casos favorables número de casos
posibles.
Problema 5: Dados en el plano dos segmentos no paralelos AB y CD, hallar el lugar geométrico de los
puntos P del plano tales que el área del triángulo ABP es igual al área del triángulo CDP.
Problema 6: Decidir si existen diez números naturales distintos a1, a2, ... , a10 tales que
• cada uno de ellos es una potencia de un número natural con exponente natural y mayor que
1, y además
• los números a1, a2, ..., a10 forman una progresión aritmética.
Año 1998
Problema 1: Jorge escribe una lista con una cantidad par de números enteros, no todos iguales a 0
(puede haber números repetidos). Demostrar que Martín puede tachar un número de la lista, a su
elección, para que a Jorge le sea imposible separar los restantes números en dos grupos de modo tal
que la suma de todos los números de un grupo sea igual a la suma de todos los números del otro
grupo.
Problema 5: Sea ABC un triángulo isósceles y rectángulo de hipotenusa AB = √2. Determinar las
posiciones de los puntos X, Y, Z en los lados BC, CA, AB, respectivamente, de modo que el triángulo
XYZ es isósceles, rectángulo, y de área mínima.
Problema 6: Dados n números reales no negativos, n ≥ 3, tales que la suma de los n números es
menor o igual que 3 y la suma de los cuadrados de los n números es mayor o igual que 1, demostrar
que entre los n números se pueden elegir tres cuya suma es mayor o igual que 1.
Año 1999
Problema 1: Se escriben tres números naturales mayores o iguales que 2, no necesariamente
distintos, y a partir de ellos se construye una sucesión mediante el siguiente procedimiento: en cada
paso, si el antepenúltimo número escrito es a, el penúltimo es b y el último es c, se escribe x tal que
x . c = a + b + 186.
Determinar todos los valores posibles de los tres números escritos inicialmente para que al continuar
indefinidamente el proceso todos los números escritos sean naturales mayores o iguales que 2.
Problema 3: En un torneo de truco se inscriben 2k personas. Se juegan todos los partidos posibles
con la condición de que en cada partido, cada uno de los cuatro jugadores se conoce con su
compañero y no se conoce con ninguno de sus dos oponentes. Determinar el máximo número de
partidos que puede haber en un tal torneo.
Problema 4: Se han colocado monedas de diámetro 1 sobre un cuadrado de lado 11, sin que se
superpongan ni se sobresalgan del cuadrado. ¿Puede haber 126 monedas? ¿y 127? ¿y 128?
1
Problema 6: Consideramos el conjunto E de todas las fracciones , donde n es un número natural.
𝑛
Una progresión aritmética maximal de longitud k del conjunto E es una progresión aritmética de k
términos tal que todos sus términos pertenecen al conjunto E, y es imposible extenderla a derecha o
1 1 1
a izquierda con otro elemento de E. Por ejemplo, , , , es una progresión aritmética en E de
20 8 5
11
longitud 3, y es maximal, pues para extenderla hacia la derecha hay que agregar , que no pertenece
40
1
a E, y para extenderla a izquierda hay que agregar − 40, que tampoco pertenece a E. Demostrar que
para todo entero k, k ≥ 3, existe una progresión maximal de longitud k del conjunto E.
Año 2000
Problema 1: Se escriben en sucesión los números naturales, formando una secuencia de dígitos
12345678910111213141516171819202122232425262728293031 ...
Determinar cuántas cifras tiene el número natural que contribuye a esta secuencia con el dígito de
la posición 102000.
Aclaración: El número natural que contribuye a la secuencia con el dígito de la posición 10 tiene 2
cifras, porque es el 10; el número natural que contribuye a la secuencia con el dígito de la posición
102 tiene 2 cifras, porque es el 55.
Problema 2: Dado un triángulo ABC con el lado AB mayor que el BC, sean M el punto medio de AC y
L el punto en el que la bisectriz del ángulo 𝐵̂ corta al lado AC. Se traza por M la recta paralela a AB,
que corta a la bisectriz BL en D, y se traza por L la recta paralela al lado BC que corta a la mediana BM
en E. Demostrar que ED es perpendicular a BL.
Problema 3: Se tiene un tablero de 32 filas y 10 columnas. Pablo escribe en cada casilla 1 ó -1. Matías,
con el tablero de Pablo a la vista, elige una o varias columnas, y en cada una de las columnas elegidas,
cambia todos los números de Pablo por sus opuestos (donde hay 1 pone -1 y donde hay -1 pone 1).
En las demás columnas, deja los números de Pablo.
Matías gana si consigue que su tablero quede con cada una de las filas distinta de todas las filas del
tablero de Pablo. En caso contrario, es decir, si alguna fila del tablero de Matías es igual a alguna fila
del tablero de Pablo, gana Pablo.
Si los dos juegan a la perfección, determinar cuál de los dos tiene asegurada la victoria.
Problema 4: Determinar cuál es la cantidad de pares de números naturales (a, b) que verifican
simultáneamente que 4620 es múltiplo de a, 4620 es múltiplo de b y b es múltiplo de a.
Problema 5: Un programa de computadora genera una sucesión de números con la siguiente regla:
el primer número lo escribe Camilo; a partir de entonces, el programa calcula la división entera del
último número generado por 18; obtiene así un cociente y un resto. La suma de ese cociente más ese
resto es el siguiente número generado. Por ejemplo, si el número de Camilo es 5291, la computadora
hace 5291 = 293 . 18 + 17, y genera el 310 = 293 + 17. El siguiente número generado será 21, pues
310 = 17 . 18 + 4 y 17 + 4 = 21; etc.
Cualquiera sea el número inicial de Camilo, a partir de algún momento, la computadora genera
siempre un mismo número. Determinar cuál es ese número que se repetirá indefinidamente, si el
número inicial de Camilo es igual a 2110.
Año 2001
Problema 1: Sergio piensa un número entero positivo S, menor o igual que 100. Iván debe adivinar
el número que pensó Sergio, utilizando el siguiente procedimiento: en cada paso, elige dos números
enteros positivos A y B menores que 100, y le pregunta a Sergio cuál es el máximo común divisor
entre A + S y B. Dar una secuencia de siete pasos que le asegure a Iván adivinar el número S que
pensó Sergio.
Aclaración: En cada paso, Sergio responde correctamente la pregunta de Iván.
Problema 2: Sea ABC un triángulo tal que el ángulo 𝐴𝐵̂𝐶 es menor que el ángulo 𝐴𝐶̂ 𝐵. La bisectriz
del ángulo 𝐵𝐴̂𝐶 corta al lado BC en D. Sean E en el lado AB tal que 𝐸𝐷
̂ 𝐵 = 90° y F en el lado AC tal
que 𝐵𝐸̂ 𝐷 = 𝐷𝐸̂ 𝐹. Demostrar que 𝐵𝐴̂𝐷 = 𝐹𝐷̂ 𝐶.
Problema 3: Sean a y b enteros positivos, a < b, tales que en el desarrollo decimal de la fracción
𝑎
figuran, en algún lugar, los cinco dígitos 1, 4, 2, 8, 6, en ese orden y en forma consecutiva.
𝑏
Determinar el menor valor posible que puede tomar b.
Problema 4: Hallar todos los enteros positivos k que pueden expresarse como suma de 50 fracciones
tales que los numeradores sean los 50 números naturales del 1 al 50 y los denominadores sean
1 2 3 50
enteros positivos, es decir, k = + + + ... + con a1, a2, a3, ..., a50 enteros positivos.
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎50
Problema 5: Se consideran todos los conjuntos de 49 números enteros positivos distintos menores o
iguales que 100. Leandro le asignó a cada uno de estos conjuntos un número entero positivo menor
o igual que 100. Demostrar que hay un conjunto L de 50 números enteros positivos distintos menores
o iguales que 100, tal que para cada número x de L el número que asignó Leandro al conjunto de 49
números L - {x} es distinto de x.
Aclaración: L - {x} denota al conjunto que resulta de quitarle a L el número x.
Problema 6: Dado un rectángulo R de área 100000, Pancho debe cubrir completamente el rectángulo
R con una cantidad finita de rectángulos de lados paralelos a los lados de R. A continuación, Martín
colorea de rojo algunos rectángulos del cubrimiento de Pancho de modo que no haya dos rectángulos
rojos que tengan puntos interiores en común. Si el área roja es mayor que 0,00001 gana Martín. En
caso contrario, gana Pancho. Demostrar que Pancho puede realizar el cubrimiento para asegurarse
la victoria.
Año 2002
Problema 1: En la pantalla de la computadora hay inicialmente escritos dos 1. El programa insertar
hace que al apretar la tecla Enter se inserte entre cada par de números la suma de esos números.
En el primer paso se inserta un número y obtenemos 1-2-1; en el segundo paso se insertan dos
números y tenemos 1-3-2-3-1; en el tercero se insertan cuatro números y se tiene 1-4-3-5-2-5-3-4-1;
etc. Hallar la suma de todos los números que figuran en la pantalla al finalizar el paso número 25.
Problema 3: En una circunferencia se considera una cuerda PQ tal que el segmento que une el
punto medio del menor arco 𝑃𝑄 ̂ y el punto medio del segmento PQ mide 1. Sean 1, 2 y 3 tres
circunferencias tangentes a la cuerda PQ que están en el mismo semiplano que el centro de con
respecto a la recta PQ. Además, 1 y 3 son tangentes interiores a y tangentes exteriores a 2, y los
centros de 1 y 3 están en distintos semiplanos con respecto a la recta que determinan los centros
de y 2.
Si la suma de los radios de 1, 2 y 3 es igual al radio de , calcular el radio de 2.
Problema 4: Inicialmente en el pizarrón están escritos en una línea y en algún orden todos los
números enteros del 1 al 2002 inclusive, sin repeticiones.
En cada paso se borran el primero y el segundo número de la línea y se escribe al principio de la línea
el valor absoluto de la resta de los dos números que se acaba de borrar; los demás números no se
modifican en ese paso, y queda una nueva línea que tiene un número menos que la del paso anterior.
Luego de realizar 2001 pasos, queda sólo un número en el pizarrón.
Determinar todos los posibles valores del número que queda en el pizarrón al variar el orden de los
2002 números de la línea inicial (y realizar los 2001 pasos).
Aclaración: Si el comienzo de la línea inicial es 3 108 11 1021 1 ...
después del primer paso queda 105 11 1021 1 ...
después del segundo paso queda 94 1021 1 ...
etc.
Problema 5: Sea ABC un triángulo isósceles con AC = BC. Se consideran puntos D, E, F en BC, CA, AB,
respectivamente, tales que AF > BF y que el cuadrilátero CEFD sea un paralelogramo. La recta
perpendicular a BC trazada por B intersecta a la mediatriz de AB en G.
Demostrar que la recta DE es perpendicular a la recta FG.
Problema 6: Sean P1, P2, ..., Pn, progresiones aritméticas infinitas de números enteros positivos, de
diferencias d1, d2, ..., dn, respectivamente. Demostrar que si todo número entero positivo figura en
por lo menos una de las n progresiones entonces una de las diferencias di divide al mínimo común
múltiplo de las restantes n − 1 diferencias.
Aclaración: Pi = {𝑎𝑖 , 𝑎𝑖 + 𝑑𝑖 , 𝑎𝑖 + 2𝑑𝑖 , 𝑎𝑖 + 3𝑑𝑖 , 𝑎𝑖 + 4𝑑𝑖 , … } con ai y di enteros positivos.
Año 2003
Problema 1: Hallar todos los números positivos x tales que
1 1 1
- = ,
[𝑥] [2𝑥] 6{𝑥}
donde [𝑥 ] denota la parte entera de x; {x} = x - [x].
Problema 2: En el pizarrón están escritos los 2003 números enteros desde 1 hasta 2003. Lucas debe
borrar 90 números. A continuación, Mauro debe elegir 37 de los números que permanecen escritos.
Si los 37 números que elige Mauro forman una progresión aritmética, gana Mauro. Si no, gana Lucas.
Decidir si Lucas puede elegir los 90 números que borra de modo que se asegura la victoria.
Problema 4: El trapecio ABCD de bases AB y CD, y lados no paralelos BC y DA, tiene 𝐴̂ = 90°, AB = 6,
CD = 3 y AD = 4. Sean E, G, H los circuncentros de los triángulos ABC, ACD, ABD, respectivamente.
Hallar el área del triángulo EGH.
Aclaración: El circuncentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres mediatrices de sus
lados.
Problema 5: Carlos y Yue juegan al siguiente juego: Primero Carlos escribe un signo + o un signo −
delante de cada uno de los 50 números 1, 2, ..., 50. Luego, por turnos, cada uno elige un número de
la sucesión obtenida; comienza eligiendo Yue. Si el valor absoluto de la suma de los 25 números que
eligió Carlos es mayor o igual que el valor absoluto de la suma de los 25 números que eligió Yue, gana
Carlos. En el otro caso, gana Yue. Determinar cuál de los dos jugadores puede desarrollar una
estrategia que le asegure la victoria, no importa lo bien que juegue su oponente, y describir dicha
estrategia.
Problema 6: Determinar los enteros positivos n tales que el conjunto de todos los divisores positivos
de 30n se puede dividir en grupos de tres de modo que el producto de los tres números de cada grupo
sea el mismo.
Año 2004
Problema 1: Para cada entero positivo n consideramos la sucesión de 2004 números enteros
[𝑛 + √𝑛] , [𝑛 + 1 + √𝑛 + 1] , [𝑛 + 2 + √𝑛 + 2] , … , [𝑛 + 2003 + √𝑛 + 2003]
Determinar el menor entero n tal que los 2004 números de la sucesión son 2004 enteros
consecutivos.
ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera.
Problema 3: Diremos que un tablero rectangular de 0 y 1 es variado si cada fila contiene al menos un
0 y al menos dos 1. Dado n ≥ 3, hallar todos los enteros k ≥ 1 con la siguiente propiedad:
Las columnas de cada tablero variado de k filas y n columnas se pueden permutar de manera que en
cada fila del nuevo tablero los 1 no formen un bloque (es decir, haya al menos dos 1 que están
separados por uno o más 0).
Problema 4: Determinar todos los enteros positivos a y b tales que cada casilla del tablero de a b
se puede colorear con rojo, azul o verde de manera que cada casilla roja tenga exactamente una
vecina azul y una vecina verde, cada casilla azul tenga exactamente una vecina roja y una verde y
cada casilla verde tenga exactamente una vecina roja y una azul.
ACLARACIÓN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
Problema 6 Decidir si es posible generar una sucesión infinita de números enteros positivos an tal
que en la sucesión no haya tres términos que estén en progresión aritmética y que para todo n se
𝑛
verifique |𝑎𝑛 − 𝑛2 | < .
2
ACLARACIÓN: Tres números a, b, c están en progresión aritmética si y sólo si 2b = a + c.
Año 2005
Problema 1: Sean a b c d números enteros positivos que satisfacen
a + b + c + d = 502 y a2 – b2 + c2 – d2 = 502.
Calcular cuántos son los valores posibles de a.
Problema 2: En la isla Babba utilizan un alfabeto de dos letras, a y b, y toda secuencia (finita) de letras
es una palabra. Para cada conjunto P de seis palabras de 4 letras cada una, denotamos NP al conjunto
de todas las palabras que no contienen ninguna de las palabras de P como sílaba (subpalabra).
Demostrar que si NP es finito, entonces todas sus palabras son de longitud menor o igual que 10, y
hallar un conjunto P tal que NP sea finito y contenga por lo menos una palabra de longitud 10.
1
Problema 3: Sea a un número real tal que = a - [𝑎]. Demostrar que a es irracional.
𝑎
Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.
Problema 4: Diremos que un entero positivo es ganador si se puede escribir como suma de un
cuadrado perfecto más un cubo perfecto. Por ejemplo, 33 es ganador porque 33 = 52 + 23.
Gabriel elige dos enteros positivos, r y s, y Germán debe hallar 2005 enteros positivos n tales que
para cada n, los números r + n y s + n sean ganadores.
Demostrar que Germán siempre puede lograr su objetivo.
Problema 5: Sean AM y AN las rectas tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto A (M
𝐴𝐵 2
y N pertenecen a la circunferencia). Una recta por A corta a en B y C con B entre A y C, y = 3.
𝐵𝐶
𝐴𝑃
Si P es el punto de intersección de AB y MN, calcular .
𝑃𝐶
Problema 6: Sea k ≥ 1 un entero. En un grupo de 2k + 1 personas algunas son sinceras (siempre dicen
la verdad) y las restantes son impredecibles (a veces dicen la verdad y a veces mienten). Se sabe que
las impredecibles son a lo sumo k. Alguien ajeno al grupo debe determinar quién es sincero y quién
impredecible mediante una secuencia de pasos. En cada paso elige dos personas A y B del grupo y le
pregunta a A ¿es B sincero?
Demostrar que al cabo de 3k pasos el forastero podrá clasificar con certeza a las 2k + 1 personas del
grupo.
(Antes de formular cada pregunta se conocen las respuestas de las anteriores preguntas.)
Aclaración: Cada una de las 2k + 1 personas del grupo sabe cuáles son sinceras y cuáles
impredecibles.
Año 2006
Problema 1: Sea A el conjunto de los números reales positivos menores que 1 que tienen un
desarrollo decimal periódico con un período de diez dígitos distintos. Hallar un entero positivo n
mayor que 1 y menor que 1010 tal que na - a sea un entero positivo para todo a del conjunto A.
Problema 2: En el triángulo ABC, M es el punto medio de AB y D el pie de la bisectriz del ángulo 𝐴𝐵̂𝐶.
𝐴𝐵
Si se sabe que MD y BD son perpendiculares, calcular .
𝐵𝐶
Problema 4: Hallar el mayor número M con la siguiente propiedad: en cada reordenamiento de los
2006 números enteros 1,2,...2006 hay 1010 números ubicados consecutivamente en ese
reordenamiento cuya suma es mayor o igual que M.
Problema 5: El capitán repartió 4000 monedas de oro entre 40 piratas. Un grupo de 5 piratas se llama
pobre si esos 5 piratas recibieron, en conjunto, 500 monedas o menos. El capitán hizo la distribución
para que hubiera la mínima cantidad posible de grupos pobres de 5 piratas. Determinar cuántos son
los grupos pobres de 5 piratas.
Aclaración: Dos grupos de 5 piratas se consideran distintos si hay al menos un pirata en uno de ellos
que no está en el otro.
Problema 6: Diremos que un número natural n es adecuado si existen n enteros a1, a2, … an (que no
son necesariamente positivos y pueden estar repetidos) tales que
a1 + a2 + … + an = a1.a2 . … . an = n.
Determinar todos los números adecuados.
Año 2007
Problema 1: Hallar todos los números primos p, q tales que
p2 + q = 37q2 + p.
Aclaración: p > 1; q > 1.
Problema 2: Las piezas de un juego son cuadrados de lado 1 con sus lados coloreados con 4 colores:
azul, rojo, amarillo y verde, de modo que cada pieza tiene un lado de cada color. Hay piezas con cada
una de las posibles distribuciones de los colores, y el juego tiene un millón de piezas de cada clase.
Con las piezas se arman rompecabezas rectangulares, sin huecos ni superposiciones, de modo que
dos piezas que comparten un lado tienen ese lado del mismo color.
Determinar si con este procedimiento se puede armar un rectángulo de 99 x 2007 con un lado de
cada color. ¿Y de 100 x 2008? ¿Y de 99 x 2008?
𝐴𝐶
Problema 3: Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD, AD, tal que AB > AD y = 3. Sea r la
𝐵𝐷
recta simétrica de AD con respecto a AC y sea s la recta simétrica de BC con respecto a BD. Si r y s se
𝑃𝐴
cortan en P, calcular el valor de .
𝑃𝐵
Problema 4: Se dan 10 números reales a1 , a2 , . . . , a10 , y se forman las 45 sumas de dos de estos
números ai + aj , 1 ≤ i < j ≤ 10. Se sabe que no todas estas sumas son números enteros. Determinar
el mínimo valor de k tal que es posible que entre las 45 sumas haya k que no son números enteros y
45 – k que son números enteros.
Problema 6: Julián elige 2007 puntos del plano entre los que no haya 3 alineados, y traza con rojo
todos los segmentos que unen dos de esos puntos. A continuación, Roberto traza varias rectas. Su
objetivo es que cada segmento rojo sea cortado en un punto interior por (al menos) una de las rectas.
Determinar el menor ℓ tal que, no importa como elija Julián los 2007 puntos, con ℓ rectas
convenientemente elegidas Roberto logre con certeza su objetivo.
Año 2008
Problema 1: Beto eligió 101 enteros positivos y los escribió en una línea. Demostrar que se pueden
colocar paréntesis, signos de suma y signos de multiplicación entre los números de la lista de Beto
de modo que la expresión que resulte tenga sentido, y al efectuar las operaciones indicadas se
obtenga un número divisible por 16!. Está prohibido cambiar el orden de los números de la lista.
Aclaración: La notación 16! indica la multiplicación de los enteros desde 1 hasta 16:
16!=1.2.3….15.16.
Problema 2: En cada casilla de un tablero de 60 x 60 está escrito un número de valor absoluto menor
o igual que 1. La suma de todos los números del tablero es igual a 600. Demostrar que el tablero
contiene un cuadrado de 12 x 12 en el que la suma de los 144 números de sus casillas tiene valor
absoluto menor o igual que 24.
Problema 3: En una circunferencia de centro O sean A y B puntos de la circunferencia tales que 𝐴𝑂̂𝐵
= 120°. El punto C pertenece al menor arco 𝐴𝐵 ̂ y el punto D pertenece a la cuerda AB. Se sabe que
AD = 2, BD = 1 y CD = √2. Calcular el área del triángulo ABC.
Problema 5: Hallar todas las potencias perfectas que terminan con los dígitos 2, 0, 0, 8, en ese orden.
Aclaración: Se llama potencia perfecta a un número de la forma ak donde a y k son enteros positivos
y k ≥ 2. Por ejemplo, 62; 27; 1003.
Año 2009
Problema 1: Se han marcado 2009 puntos de una circunferencia. Lucía los colorea con 7 colores
distintos, a su elección. Luego Iván puede unir tres puntos de un mismo color, formando de este
modo triángulos monocromáticos. Los triángulos no pueden tener puntos en común; ni siquiera
vértices en común.
El objetivo de Iván es trazar la mayor cantidad posible de triángulos monocromáticos. El objetivo de
Lucía es impedir lo más posible la tarea de Iván mediante una buena elección del coloreo. ¿Cuántos
triángulos monocromáticos obtendrá Iván si los dos hacen lo mejor posible su tarea?
Problema 2: Diremos que un entero positivo n es aceptable si la suma de los cuadrados de sus
divisores propios es igual a 2n + 4 (un divisor de n es propio si es distinto de 1 y de n). Hallar todos
los números aceptables menores que 10000.
Problema 3: El trapecio isósceles ABCD de bases AB y CD tiene una circunferencia k que es tangente
a sus cuatro lados. Sea T el punto de tangencia de k con el lado BC, y P el segundo punto de
𝐴𝑃 2 𝐴𝐵
intersección de AT con k. Si se sabe que = , calcular .
𝐴𝑇 5 𝐶𝐷
Problema 4: Se tienen 100 varillas iguales. Está permitido partir cada varilla en dos o en tres varillas
más cortas, no necesariamente iguales. El objetivo es que reacomodando los trozos (y usándolos a
todos) se puedan armar q > 200 nuevas varillas, todas de igual longitud. Hallar los valores de q para
los que esto se puede hacer.
Año 2010
Problema 1: Dados varios enteros, la operación permitida es reemplazar dos de ellos por su
diferencia no negativa. La operación se repite hasta que queda un solo número.
Si los números iniciales son 1, 2, …, 2010, ¿cuál puede ser el último número que queda?
Problema 3: Los enteros positivos a, b, c son menores que 99 y satisfacen a2 + b2 = c2 + 992. Hallar el
mínimo y el máximo valor de a + b + c.
Problema 4: Hallar la suma de todos los productos a1a2…a10, donde a1, a2, …, a10 son enteros positivos
distintos, menores o iguales que 101, y tales que no haya dos de ellos que sumen 101.
Problema 5: Se escriben 21 números en una fila. Si u, v, w son tres números consecutivos entonces
2𝑢𝑤 1 1
v= . El primer número es , el último es . Hallar el 15° número.
𝑢+𝑤 100 101
Recopilación de Enunciados OMA – Nacionales – Nivel 3 Profesor Walter Oscar Rosello 11
OMA – Nacionales – Nivel 3
Problema 6: En una fila se han escrito los números 1, 2, …, 2010. Dos jugadores, en turnos, escriben
+ o x entre dos números consecutivos mientras sea posible. El primer jugador gana si la suma
algebraica obtenida es divisible por 3; en caso contrario, gana el segundo jugador. Hallar una
estrategia ganadora para uno de los jugadores.
Año 2011
1 1 1
Problema 1: Para k = 1, 2, …, 2011 denotamos Sk = + +…+ .
𝑘 𝑘+1 2011
Calcular la suma S1 + 𝑆12 + 𝑆22 + … + 𝑆2011
2
.
Problema 2: Tres jugadores, A, B y C sacan, por turnos, piedras de una pila de N piedras. Mueven en
el orden A, B, C, A, B, C, … . A comienza el juego, y pierde el juego el que saca la última piedra. Los
jugadores A y C forman un equipo contra B, ellos se ponen de acuerdo en una estrategia conjunta. B
puede sacar en cada jugada 1, 2, 3, 4 o 5 piedras, mientras que A y C pueden sacar, cada uno, 1, 2 o
3 piedras en cada turno. Determinar para qué valores de N tienen estrategia ganadora A y C, y para
qué valores la estrategia ganadora es de B.
Problema 3: Sea ABC un triángulo con 𝐴̂ = 90°, 𝐵̂ = 75° y AB = 2. Los puntos P y Q de los lados AC y BC
respectivamente son tales que 𝐴𝑃̂ 𝐵 = 𝐶𝑃̂𝑄 y 𝐵𝑄̂ 𝐴 = 𝐶𝑄̂ 𝑃. Calcular la medida del segmento QA.
Problema 4: Sea S un conjunto de enteros positivos tales que si x, y pertenecen a S y x < y entonces
xy < 111y – 148x. Hallar la máxima cantidad de elementos que puede tener S.
Problema 5: Hallar todos los enteros n tales que 1 < n < 106 y n3 – 1 es divisible por 106n – 1.
Problema 6: Se tiene un cuadrado de lado 1 y un número ℓ tal que 0 < ℓ < √2. Dos jugadores A y B,
por turnos, dibujan en el cuadrado un segmento abierto (sin sus dos extremos) de longitud ℓ;
empieza A. Cada segmento después del primero no puede tener puntos comunes con los segmentos
dibujados previamente. Pierde el jugador que no puede realizar su jugada. Determinar si alguno de
los dos jugadores tiene estrategia ganadora.
Año 2012
Problema 1: Determinar si existen tríos (x, y, z) de números reales tales que:
x + y + z = 7, xy + yz + zx = 11.
Si la respuesta es afirmativa, hallar el mínimo y el máximo valor de z en tal trío.
Problema 2: Determinar todos los números naturales n para los que existen 2n enteros positivos
distintos x1, …, xn, y1, …, yn tales que el producto (11𝑥12 + 12𝑦12 )(11𝑥22 + 12𝑦22 ) … (11𝑥𝑛2 + 12𝑦𝑛2 ) es
un cuadrado perfecto.
Problema 5: Dada una sucesión finita con términos en el conjunto A = {0, 1, … , 121}, está permitido
reemplazar cada término por un número del conjunto A de modo que términos iguales se reemplacen
por números iguales y términos distintos por números distintos. (Pueden quedar términos sin
reemplazar.) El objetivo es obtener, a partir de una sucesión dada, mediante varios de tales cambios,
una nueva sucesión con suma divisible por 121. Demostrar que es posible lograr el objetivo para toda
sucesión inicial.
Problema 6: Hay una persona en cada casilla de un tablero de 2012 x 2012; puede ser un honesto,
que siempre dice la verdad, o un mentiroso, que siempre miente. Cada persona hace la misma
afirmación: “En mi fila hay el mismo número de mentirosos que en mi columna.” Determinar el
número mínimo de personas honestas que puede haber en el tablero.
Año 2013
Problema 1: En una mesa hay 2013 naipes que tienen escritos, cada uno, un número entero distinto,
desde 1 hasta 2013; todos los naipes están boca abajo (no se puede ver qué número tienen). Está
permitido seleccionar cualquier conjunto de naipes y preguntar si el promedio de los números
escritos en esos naipes es entero. La respuesta será verdadera.
a) Hallar todos los números que se pueden determinar con certeza mediante varias de estas
preguntas.
b) Queremos dividir los naipes en grupos tales que se conozca el contenido de cada grupo aunque no
se conozca el valor individual de cada naipe del grupo. (Por ejemplo, hallar un grupo de 3 cartas que
contenga 1, 2 y 3, sin saber qué número tiene cada carta.) ¿Cuál es el máximo número de grupos que
se puede obtener?
Problema 2: En un cuadrilátero convexo ABCD los ángulos 𝐴̂ y 𝐶̂ son iguales y la bisectriz de 𝐵̂ pasa
𝐴𝐵
por el punto medio del lado CD. Si se sabe que CD = 3AD, calcular .
𝐵𝐶
Problema 3: Hallar cuántos son los números de 2013 dígitos d1d2 … d2013 con dígitos impares d1, d2,
… , d2013 tales que la suma de 1809 términos d1 . d2 + d2 . d3 + … + d1809 . d1810 tiene resto 1 al dividirla
por 4 y la suma de 203 términos d1810 . d1811 + d1811 . d1812 + … + d2012 . d2013 tiene resto 1 al dividirla
por 4.
Problema 4: Sean x ≥ 5, y ≥ 6, z ≥ 7 y x2 + y2 + z2 ≥ 125. Hallar el mínimo de x + y + z.
Problema 5: Dados varios enteros no negativos (se permiten repeticiones), la operación permitida es
elegir un número entero positivo a y reemplazar cada número b mayor o igual que a por b – a (los
números a, si hay alguno, se reemplazan por ). Inicialmente en el pizarrón están escritos los números
enteros desde 1 hasta 2013 inclusive. Al cabo de unas cuantas operaciones los números del pizarrón
tienen suma igual a 10. Determinar cuáles pueden ser los números que quedaron en el pizarrón.
Hallar todas las posibilidades.
Problema 6: Diremos que un entero positivo n es lindo si cada divisor d de n con 1 < d < n es igual a
la resta de dos divisores d1, d2 de N con 1 ≤ d1, d2 ≤ n (puede ser d1 = d o d2 = d). Hallar el menor
múltiplo lindo de 401 que es mayor que 401.
Año 2014
Problema 1: Son dados 201 números enteros positivos en una fila. El primero y el último de ellos son
iguales a 19999. Cada uno de los restantes números es menor que el promedio de sus vecinos y la
diferencia entre cada uno de los restantes números y el promedio de sus vecinos es siempre el mismo
entero. Hallar el anteúltimo número de la fila.
Problema 2: Dados varios números, elegimos uno de ellos, a, y lo reemplazamos por los tres números
𝑎 𝑎 𝑎
, , . A continuación, se aplica la misma operación en la nueva colección de números, y así
3 3 3
siguiendo. El proceso comienza con 1000 números 1. Diremos que un número m es bueno si hay m o
más números iguales después de cada paso, no importa cuántas ni qué operaciones se hayan
realizado. Hallar el mayor número bueno.
Problema 3: Dos circunferencias de radio 1 que no se cortan, c1 y c2, están dentro de un ángulo de
vértice O. La circunferencia c1 es tangente a un lado del ángulo, y la circunferencia c2 es tangente al
otro lado. Una de las tangentes interiores comunes a c1 y c2 pasa por O, y la otra corta a los lados del
ángulo en A y B, con AO = BO. Hallar la distancia del punto A a la recta OB.
Aclaración: Una recta tangente a dos circunferencias c1 y c2 se llama tangente interior si una de las
circunferencias está a uno de los lados de la recta y la otra está del otro lado.
Problema 6: Determinar si existen enteros positivos a1 < a2 < … < ak tales que las sumas ai + aj,
1 ≤ i < j ≤ k, son distintas y hay entre ellas 1000 enteros consecutivos.
Año 2015
Problema 1: Expresar la suma de 99 términos
1.4 2.7 𝑘.(3𝑘+1) 99.298
+ +…+ +…+
2.5 5.8 (3𝑘−1)(3𝑘+2) 296.299
como una fracción irreducible.
Problema 2: Hallar todos los pares de números naturales a, b, con a ≠ b, tales que a + b y ab + 1 son
potencias de 2.
Problema 5: Hallar todos los números primos p tales que p3 – 4p + 9 es un cuadrado perfecto.
Problema 6: Sea S el conjunto de los números naturales desde 1 hasta 1001, S = {1, 2, . . . ,1001}.
Lisandro piensa un número N de S, y Carla tiene que averiguar ese número con el siguiente
procedimiento. Ella le da a Lisandro una lista de subconjuntos de S, Lisandro la lee y le dice a Carla
cuántos subconjuntos de su lista contienen a N. Si Carla lo desea, puede repetir lo mismo con una
segunda lista, y luego con una tercera, pero no se permiten más de 3 listas.
¿Cuál es la menor cantidad total de subconjuntos que le permiten a Carla hallar N con certeza?
Año 2016
Problema 1: Dar una progresión aritmética de 2016 números naturales tales que ninguno sea
potencia perfecta pero su multiplicación sea una potencia perfecta.
Aclaración: Una potencia perfecta es un número de la forma nk donde n y k son ambos números
naturales mayores o iguales que 2.
1 1 1
Problema 2: Para un entero m ≥ 3 sea S(m) = 1 + +…+ (la fracción no participa en la suma y
3 𝑚 2
1
si participan las fracciones para los enteros desde 3 hasta m). Sean n ≥ 3 y k ≥ 3. Comparar los
𝑘
números S(nk) y S(n) + S(k).
Problema 3: Agustín y Lucas, por turnos, marcan cada vez una casilla que aún no ha sido marcada en
un tablero cuadriculado de 101 x 101. Agustín comienza el juego. No se puede marcar una casilla que
ya tenga dos casillas marcadas en su fila o su columna. El que no puede hacer su movida pierde.
Decidir cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora.
Problema 4: Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo ABCD tal que 𝐴𝐵̂𝐷 = 29°, 𝐴𝐷
̂ 𝐵 = 41°, 𝐴𝐶̂ 𝐵
̂
= 82° y 𝐴𝐶 𝐷 = 58°.
Problema 5: Sean a y b números racionales tales que a + b = a2 + b2. Supongamos que el valor común
𝑚
s = a + b = a2 + b2 no es entero, y escribámoslo como fracción irreducible: s = . Sea p el menor divisor
𝑛
primo de n. Hallar el mínimo valor de p.
Año 2017
Problema 1: Nico elige 13 números enteros positivos distintos de 3 dígitos cada uno. Luego Ian
selecciona varios de estos 13 números, los que quiera, y utilizando una sola vez cada número
seleccionado y algunas de las operaciones suma, resta, multiplicación y división (+, −, ×, :) debe
obtener una expresión cuyo valor sea mayor que 3 y menor que 4. Si lo logra, gana Ian; en otro caso,
gana Nico. ¿Cuál de los dos tiene estrategia ganadora?
Problema 2: En una fila hay escritos 51 números enteros positivos. Su suma es 100. Un entero es
representable si se puede expresar como suma de varios números consecutivos de la fila de 51
enteros. Demostrar que para cada k, con 1≤k≤100, uno de los números k y 100−k es representable.
Problema 3: Sean ABC un triángulo de perímetro 100 e I el punto de intersección de sus bisectrices.
Sea M el punto medio del lado BC. La recta paralela a AB trazada por I corta a la mediana AM en el
𝐴𝑃 7
punto P de modo que = . Hallar la longitud del lado AB.
𝑃𝑀 3
Problema 4: Para un número entero positivo n denotamos D2(n) a la cantidad de divisores de n que
son cuadrados perfectos y D3(n) a la cantidad de divisores de n que son cubos perfectos. Demostrar
que existe n tal que D2(n) = 999D3(n).
Nota: Los cuadrados perfectos son 12,22,32,42,…; los cubos perfectos son 13,23,33,43,…
Problema 5: Diremos que una lista de números enteros positivos es admisible si todos sus números
son menores o iguales que 100 y su suma es mayor que 1810. Hallar el menor entero positivos d tal
que a cada lista admisible se le pueden tachar algunos números de modo que la suma de los números
que quedaron sin tachar sea mayor o igual que 1810 − d y menor o igual que 1810 + d.
Nota: La lista puede tener números repetidos.
Problema 6: Se trazan todas las diagonales de un polígono convexo de 10 lados. Ellas dividen sus
ángulos en 80 partes. Se sabe que al menos 59 de esas partes son iguales. Determinar la mayor
cantidad de valores distintos entre los 80 ángulos de la división y cuántas veces ocurre cada uno de
esos valores.
Año 2018
Problema 1: Sea p un número primo y r el resto de la división de p por 210. Se sabe que r es un
número compuesto y que se puede escribir como suma de dos cuadrados perfectos distintos de cero.
Hallar todos los primos menores que 2018 que satisfacen estas condiciones.
Problema 2: Hay 𝑛 caballeros numerados de 1 a 𝑛 y una mesa redonda con 𝑛 sillas. El primer caballero
elige su silla, y a partir de él, el caballero número 𝑘 + 1 se sienta 𝑘 lugares a la derecha del caballero
número 𝑘, para todo 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 (se cuentan sillas ocupadas y vacías). En particular, el segundo
caballero se sienta al lado del primero. Hallar todos los valores de 𝑛 para que los 𝑛 caballeros ocupen
las 𝑛 sillas siguiendo el procedimiento descripto.
b) Demostrar que no importa en qué casilla coloque Mateo la moneda, Emi siempre podrá cubrir
las 48 casillas restantes usando 14 rectángulos de 3x1 y dos codos de tres casillas.
Problema 4: Se tiene un tablero cuadriculado de 50x50. Carlos va a escribir un número en cada casilla
con el siguiente procedimiento. Elige primero 100 números distintos que denotamos
f1, f2, f3, ..., f50, c1, c2, c3, ..., c50, entre los cuales hay exactamente 50 que son racionales. A continuación
escribe en cada casilla (i, j) el número fi . cj (la multiplicación de fi por cj).
Determinar la máxima cantidad de números racionales que pueden contener las casillas del tablero.
Problema 5: En el plano se tienen 2018 puntos entre los que no hay tres en una misma recta. Se
colorean estos puntos con 30 colores de modo que no haya dos colores que tengan la misma cantidad
de puntos. Se forman todos los triángulos con sus tres vértices de distinto color. Determinar la
cantidad de puntos de cada uno de los 30 colores para que el número total de triángulos con los tres
vértices de distinto color sea lo más grande posible.
Problema 6: Sea ABCD un paralelogramo. Una circunferencia interior del ABCD es tangente a las
rectas AB y AD y corta a la diagonal BD en E y F. Demostrar que existe una circunferencia que pasa
por E y F y es tangente a las rectas CB y CD.
Año 2019
Problema 1: Un conjunto de números enteros positivos distintos se llama singular si, para cada uno
de sus elementos, luego de tachar ese elemento, los restantes se pueden agrupar en dos conjuntos
sin elementos comunes de modo que la suma de los elementos de los dos grupos sea la misma. Hallar
el menor entero positivo n > 1 tal que existe un conjunto singular A con n elementos.
Problema 2: Sea n ≥ 1 un entero. Se tienen dos sucesiones, cada una de n números reales positivos
a1, a2, …, an y b1, b2, …, bn tales que a1 + a2 + … + an = 1 y b1 + b2 + … + bn = 1. Hallar el menor valor
posible que puede tomar la suma
𝑎1 2 𝑎2 2 𝑎𝑛 2
+𝑎 +…+𝑎
𝑎1 + 𝑏1 2 + 𝑏2 𝑛 + 𝑏𝑛
Problema 3: En el triángulo ABC vale que 𝐴𝐶̂ 𝐵 = 2. 𝐴𝐵̂𝐶. Además, P es un punto interior del triángulo
ABC tal que AP = AC y PB = PC. Demostrar que 𝐵𝐴̂𝐶 = 3. 𝐵𝐴̂𝑃 =
Problema 4: Se tiene un conjunto M de 2019 números reales tales que para todo par a, b de números
de M se verifica que a2 + b√2 es un número racional. Demostrar que para todo a de M vale que a√2
es un número racional.
Problema 6: Los números naturales desde 1 hasta 300 inclusive se ubican alrededor de una
circunferencia.
Decimos que un tal ordenamiento es alternado si cada número es menor que sus dos vecinos o es
mayor que sus dos vecinos. A un par de números vecinos lo llamaremos par bueno si al quitar ese par
de la circunferencia, los restantes números forman un ordenamiento alternado.
Determinar la menor cantidad posible de pares buenos que puede haber en un ordenamiento
alternado de los números del 1 al 300 inclusive.
Año 2020
Problema 1: Para todo número entero positivo n, sea S(n) la suma de los dígitos de n. Hallar, si existe,
un número entero positivo n de 171 dígitos tal que 7 divide a S(n) y 7 divide a S(n+1).
Problema 2: Sea k > 1 un entero. Determinar el menor entero positivo n tal que algunas casillas de
un tablero de n x n se pueden pintar de negro de modo que en cada fila y en cada columna haya
exactamente k casillas negras, y además, las casillas negras no compartan ni un lado ni un vértice con
otra casilla negra.
ACLARACIÓN: Hay que responder n en función de k.
Problema 3: Sea ABC un triángulo isósceles rectángulo con ángulo recto en A. Sean E y F puntos en
AB y AC respectivamente tales que 𝐸𝐶̂ 𝐵 = 30° y 𝐹𝐵̂𝐶 = 15°. Las rectas CE y BF se cortan en P y la recta
̂𝐶
AP corta al lado BC en D. Calcular la medida del ángulo 𝐹𝐷
5𝑎4 + 𝑎2
Problema 4: Sean a y b números enteros positivos tales que es un número entero.
𝑏4 + 3𝑏2 + 4
Demostrar que a no es primo.
Problema 6: Sea n ≥ 3 un entero. Lucas y Matías juegan un juego en un polígono regular de n lados
con un vértice marcado como trampa. Inicialmente Matías ubica una ficha en un vértice del
polígono. En cada paso, Lucas dice un entero positivo y Matías mueve la ficha ese número de
vértices en sentido horario o en sentido antihorario, a su elección.
a) Determinar todos los n = 3 tales que Matías puede ubicar la ficha y moverla de modo de no caer
nunca en la trampa, independientemente de los números que diga Lucas. Dar la estrategia para
Matías.
b) Determinar todos los n = 3 tales que Lucas puede obligar a Matías a caer en la trampa. Dar la
estrategia para Lucas.
Nota. Los dos jugadores conocen el valor de n y ven el polígono.
Año 2021
Problema 1: Una sucesión de dígitos 1 y 2 está determinada por las siguientes dos propiedades:
(i) La sucesión se construye escribiendo, en algún orden, bloques 12 y bloques 112.
(ii) Si se reemplaza cada bloque 12 por 1 y cada bloque 112 por 2 se obtiene, de nuevo, la misma
sucesión.
¿En qué posición está el centésimo dígito 1? ¿Cuál es el milésimo dígito de la sucesión?
Problema 2: Sea m un entero positivo para el que existe un entero positivo n tal que la multiplicación
mn es un cuadrado perfecto y m − n es primo.
Hallar todos los m para 1000 ≤ m ≤ 2021.
Problema 3: Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tal que 𝐴𝐵̂𝐶 = 60°.
a) Demostrar que si BC = CD entonces AB = CD + DA.
b) ¿Es cierto que si AB = CD + DA entonces BC = CD?
Problema 6: Decimos que un entero positivo k es tricúbico si existen tres enteros positivos 𝑎, 𝑏, 𝑐, no
necesariamente distintos, tales que k = 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐 3 .
𝑎) Demostrar que existen infinitos enteros positivos 𝑛 que satisfacen la siguiente condición:
exactamente uno de los tres números 𝑛, 𝑛 + 2 y 𝑛 + 28 es tricúbico.
𝑏) Demostrar que existen infinitos enteros positivos 𝑛 que satisfacen la siguiente condición:
exactamente dos de los tres números 𝑛, 𝑛 + 2 y 𝑛 + 28 son tricúbicos.
c) Demostrar que existen infinitos enteros positivos 𝑛 que satisfacen la siguiente condición:
los tres números 𝑛, 𝑛 + 2 y 𝑛 + 28 son tricúbicos.
Año 2022
Problema 1: Para todo número entero positivo 𝑛 se define 𝑃(𝑛) de la siguiente manera: Para cada
divisor primo 𝑝 de 𝑛 se considera el mayor entero 𝑘 tal que 𝑝𝑘 ≤ 𝑛 y se suman todos los 𝑝𝑘 .
Por ejemplo, para 𝑛 = 100=25.52, como 26 < 100 < 27 y 52 < 100 < 53, resulta que 𝑃(100) = 26 + 52 = 89.
Demostrar que existen infinitos enteros positivos 𝑛 tales que 𝑃(𝑛) > 𝑛.
Problema 2: Determinar todos los enteros positivos 𝑛 para los que se pueden escribir en algún orden
los 𝑛 números enteros entre 1 y 𝑛 inclusive, digamos 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , con la propiedad de que el número
𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑘 sea divisible por 𝑘, para todo 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛. Es decir, que
1 divide a 𝑥1 , 2 divide a 𝑥1 + 𝑥2 , 3 divide a 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ,
y así siguiendo hasta que 𝑛 divide a 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛 .
Problema 3: Dado un cuadrado ABCD consideremos un triángulo equilátero KLM, cuyos vértices K, L,
M pertenecen a los lados AB, BC, CD respectivamente. Hallar el lugar geométrico de los puntos
medios de los lados KL para todos los posibles triángulos equiláteros KLM.
Nota. Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que satisfacen una propiedad.
Problema 5: Hallar todos los pares de números enteros positivos 𝑥, 𝑦 tales que
𝑥 3 + 𝑦 3 = 4.(𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 − 5).
Triángulo isósceles.
Problema 2 Base media de un N° 18/Pág. ̅̅̅̅
𝐴𝐵
2006 (XXIV-328) triángulo. Teorema de 157 y 158. ̅̅̅̅
= 3.
𝐵𝐶
XXIII la bisectriz.
Problema 3 N° 18/Pág.
Inecuaciones. Gana Nacho.
(XXIV-329) 158 y 159.
Problema 4 Ecuaciones e Nº 18/Pág.
Ver libro.
(XXIV-330) inecuaciones. 160 y 161.
Problema 2
2020
XXXVII
Problema 3 ̂ 𝐶 = 90°.
El ángulo 𝐹𝐷
Problema 4 Ver libro.
El mayor valor posible de S es
Problema 5
1388844046825.
Problema 6
El centésimo dígito 1 está en la
Problema 1 posición 170.
El milésimo dígito es un 1.
Los pares (𝑚 , 𝑛) que cumplen las
condiciones del problema son los
Problema 2
2021 siguientes: (1089,1156), (1225,1296),
XXXVIII (1296,1369), (1521,1600), (1681,1764)
Problema 3 Ver libro.
23 23 23
Problema 4 𝑥= ,𝑦= ,𝑧= .
10 6 2
Problema 5
Problema 6 Ver libro.
Problema 1 Ver libro.
Los únicos valores que satisfacen el
Problema 2
problema son 𝑛 = 1 y 𝑛 = 3.
El lugar geométrico de los puntos
medios S es un segmento entre C y E
Problema 3
que debe satisfacer que: AS ≥ BS y
2022 𝐶𝐵̂𝑆 ≥ 45°.
XXXIX
Se pueden colocar como máximo
Problema 4
100.000 fichas en el tablero.
Los únicos pares de números enteros
Problema 5 positivos (𝑥, 𝑦) que satisfacen el
problema son (1, 3) y (3 , 1).
Problema 6 El menor valor posible de 𝑛 es 100.